Some functionals for random walks and critical branching processes in an extremely unfavorable random environment

Пусть $\{S_{n}, n\geqslant 0\}$ – случайное блуждание, распределение шага которого принадлежит без центрировки области притяжения устойчивого распределения индекса $\alpha $, т.е. существует такая нормирующая последовательность констант $a_{n}$, что последовательность $S_{n}/a_{n}$, $n=1,2,…$, слабо сходится при $n\to \infty $ к случайной величине, имеющей устойчивое распределение индекса $\alpha $. Пусть $S_{0}=0$,$$L_{n}:=\min (S_{1},…,S_{n}),\qquad\tau _{n}:=\min \{ 0\leqslant k\leqslant n\colon S_{k}=\min (0,L_{n})\} .$$В предположении, что $S_{n}\leqslant h(n)$, где функция $h(n)$ имеет порядок $o(a_{n})$ при $n\to\infty$ и $\lim_{n\to \infty }h(n)\in [ -\infty,+\infty ]$ существует, доказан ряд предельных теорем, описывающих асимптотическое поведение функционалов вида$$\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}};  S_{n}\leqslant h(n)], \qquad \lambda>0,$$при $n\to \infty $. Полученные результаты используются при исследовании вероятности невырождения критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в экстремально неблагоприятной среде.Библиография: 15 названий.

устойчивые случайные блуждания, ветвящиеся процессы, вероятность невырождения, экстремальная случайная среда