№ 2 (2023)

Годовой отчет о работе научно-исследовательского семинара по компьютерной алгебре

Демонстрируется применение метода вычисления расположения всех типов линий уровня вещественного многочлена на вещественной плоскости, теория которого основана на методах локального и глобального анализа стредствами степенной геометрии и компьютерной алгебры. Подробно рассмотрены 3 нетривиальных примера вычисления линий уровня вещественных многочленов на вещественной плоскости. При этом используются следующие алгоритмы компьютерной алгебры: факторизация многочлена, вычисление базиса Гребнера, построение многоугольника Ньютона, изображение алгебраической кривой на плоскости. Показано, как преодолевать вычислительные трудности.

В настоящей работе предложен метод вычисления и визуализации амебы многочлена Лорана нескольких комплексных переменных, применимый в произвольной размерности. Разработанные на основе этого метода алгоритмы реализованы в виде общедоступного сетевого сервиса http://amoebas.ru/, позволяющего осуществлять интерактивный расчет амеб многочленов двух переменных и содержащего набор рассчитанных амеб и их сечений в более высоких размерностях. Тестирование корректности и скорости работы предложенных алгоритмов осуществлено с использованием набора оптимальных многочленов двух, трех и четырех переменных, для генерации которых применен функционал системы компьютерной алгебры Mathematica. Разработанный программный код позволяет, в частности, осуществлять генерацию оптимального гипергеометрического многочлена от произвольного числа переменных с носителем в произвольном зонотопе, заданном набором порождающих векторов.

Разработка нового программного обеспечения для решения задач синтеза и анализа управляемых моделей с учетом детерминированного и стохастического описания является актуальным научным направлением. В статье представлены результаты разработки программного комплекса моделирования динамических систем, поведение которых может быть описано одношаговыми процессами. В качестве примеров рассмотрены модели популяционной динамики. Программный комплекс с использованием на входе детерминированного описания модели позволяет получить соответствующую стохастическую модель в символьном виде, а также провести детальный анализ модели (расчет траекторий в детерминированном и стохастическом случаях, поиск управляющих функций, графическая визуализация результатов). Важным аспектом разработки программного комплекса является применение методов компьютерной алгебры в задачах анализа модели и синтеза управлений. В программном комплексе реализованы методы и алгоритмы, базирующиеся на детерминированных и стохастических методах Рунге–Кутты, методах теории устойчивости и теории управления, методе построения самосогласованных стохастических моделей, алгоритмах численной оптимизации и искусственного интеллекта. Предложенный программный комплекс разрабатывается на основе языков высокого уровня Python и Julia. В качестве базового инструментального программного обеспечения используются высокопроизводительные библиотеки для векторно-матричных расчетов, библиотеки символьных вычислений, библиотеки для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, библиотеки алгоритмов глобальной оптимизации.