Symbolic studies of Maxwell’s equations in space-time algebra formalism

Full Text

1. Введение

Разные реализации геометрической алгебры рассматривались авторами в работах [1] (обзор различных реализаций), [2] (реализация на языке Julia), [3] (реализации на основе библиотеки SymPy). В работе [4] демонстрировалось применение геометроалгебраического подхода к геометризованному представлению уравнений Максвелла [5, 6]. Все исследования реализовывались на основе систем компьютерной алгебры. Таким образом, данная работа продолжает наш цикл исследований. В данной статье рассматривается мультивекторная запись уравнений Максвелла.

Геометрическая алгебра основывается на работах Г. Г. Грассмана [7], У. Р. Гамильтона [8], У. К. Клиффорда [9]. В геометрической алгебре рассматривается конкретная реализация алгебры Клиффорда, основанная на мультивекторах, которая включает в себя реализацию алгебры Грассмана в виде внешней алгебры p-векторов (контравариантных антисимметричных тензоров с операцией внешнего умножения). Алгебра кватернионов также является частным случаем алгебры мультивекторов.

В статье символьные вычисления производятся с помощью модуля Galgebra [10, 11], основанного на пакете символьной алгебры SymPy [12, 13] для языка Python.

1.1. Структура статьи

В разделе 1.2 даются основные обозначения и соглашения, применяемые в статье. В разделе 2 излагаются основы алгебраической геометрии. Данное направление изучает ассоциативную алгебру мультивекторов, являющуюся реализацией абстрактной алгебры Клиффорда. Развитый в данной области математический аппарат пока не получил широкой известности, поэтому авторам показалось необходимым кратко изложить его основы. В разделе 3 по шагам производится переход от стандартного векторного формализма к формализму геометрической алгебры на примере системы вакуумных уравнений Максвелла. В мультивекторной записи уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению. В разделе 4 мы выполним в некотором роде обратную задачу, но теперь нашей целью будет демонстрация использования программных средств компьютерной алгебры.

1.2. Обозначения и соглашения

1. Будем придерживаться следующих соглашений. Греческие индексы α, β будут относиться к четырёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: α = $\overline{0, 3.}$ Латинские индексы из середины алфавита i, j, k будут относиться к трёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: i = $\overline{1, 3}$.
2. Контравариантные векторы (или просто векторы) будем обозначать строчными латинскими буквами и выделять с помощью полужирного шрифта, например v, x.
3. Линейное пространство контравариантных векторов будем обозначать буквой L и полагать существование базиса $⟨e_1,\dots ,e_n⟩$. Нумерацию векторов базиса будем вести нижними индексами от 1 до n. Буквой n всегда будем обозначать размерность пространства L, т.е. dim L = n.
4. Под полем скаляров будем подразумевать поле действительных чисел $\mathrm{ℝ}$, хотя многие формулы и утверждения остаются справедливыми для любого произвольного поля R. Скаляры будем обозначать строчными греческими буквами α, β и т.д.
5. Будем полагать, что пространство L наделено структурой скалярного произведения и базис $⟨e_1,\dots ,e_n⟩$ является ортонормированным.
6. Скалярное произведение векторов u и v будем обозначать (u,v), векторное произведение — [u,v] или u × v, смешанное произведение трех векторов — (u,v,w).
7. Для записи уравнений электродинамики в работе используется система СИ [14]. Это вызвано тем, что формализм геометрической алгебры и пространственно-временной алгебры ориентируется, в первую очередь, на инженеров.

2. Геометрическая алгебра пространства-времени

2.1. Основные понятия геометрической алгебры

Геометрическая алгебра является реализацией абстрактной алгебры Клиффорда [9], где элементами являются мультивекторы, а операцией “умножения” — операция геометрического умножения.

Мультивектор является градуированным объектом, представляющим собой линейную комбинацию разложимых p-векторов (кососимметричных ковариантных тензоров). Сами p-векторы совместно с операцией внешнего произведения ∧ представляют собой реализацию абстрактной алгебры Грассмана [7]. Основным отличительным свойством внешнего произведения векторов является свойство кососимметричности: v ∧ v = 0. Более подробно о внешней алгебре можно прочитать в фундаментальных работах [15–21].

Рассмотрим четырехмерное пространство Минковского (пространство-время) E₁⁴_,3 с базисом  метрическим тензором g = diag(1,–1,–1,–1) (иначе говоря с сигнатурой (+,–,–,–)):

$(e_0,e_0)=\mathrm{1,}(e_0,e_i)=\mathrm{0,}(e_i,e_j)=-{\delta }_{ij}.$

Операцию геометрического умножения для двух векторов $u,v\in E_{\mathrm{1,3}}^4$ можно определить конструктивно с помощью формулы:

$uv=(u,v)+u\wedge v,$

где сама операция не обозначается никаким знаком. Результатом действия геометрического произведения является элемент градуированной алгебры Клиффорда, называемой геометрической алгеброй.

Работа с геометрической алгеброй упрощается, если введен ортогональный базис. В случае пространства Минковского из определения геометрического умножения выводятся два ключевых свойства для базисных векторов:

$e_{\alpha }{e}_{\beta }=-e_{\beta }{e}_{\alpha },\alpha \ne \beta èe_i{e}_i=-\mathrm{1,}{e}_0{e}_0=+1.$

Также $e_{\alpha }\wedge e_{\beta }=e_{\alpha }{e}_{\beta }, e_{\alpha }\wedge e_{\beta }\wedge e_{\gamma }=e_{\alpha }{e}_{\beta }{e}_{\gamma }$  и т.д. Часто используют обозначение $e_{\alpha }{e}_{\beta }=e_{\alpha \beta }$ и т.д.

В пространстве-времени операция внешнего произведения порождает четыре внешние алгебры:

• алгебру 1-векторов с базисом $⟨e_0,e_1,e_2,e_3⟩$;
• алгебру 2-векторов (бивекторов) c базисом $⟨e_0{e}_1,e_0{e}_2,e_0{e}_3,e_1{e}_2,e_1{e}_3,e_2{e}_3⟩$;
• алгебру 3-векторов с базисом $⟨e_{012},e_{013},e_{023},e_{123}⟩;$
• алгебру 4-векторов (квадривекторов) с одним базисным 4-вектором e₀₁₂₃, который обычно обозначают как I.

Шесть бивекторных базисов распадаются на два класса — пространственно-временной базис $\{e_0{e}_1,e_0{e}_2,e_0{e}_3\}$ и чисто пространственный базис $e_1{e}_2,e_1{e}_3,e_2{e}_3.$ Пространственно-временные базисы обладают свойством гиперболической мнимой единицы, т.е. $e_{0i}{e}_{0i}=\mathrm{1,}$ а чисто пространственные — свойством эллиптической мнимой единицы, т.е. $e_{ij}{e}_{ij}=-1.$

Можно составить следующие таблицы геометрического умножения:

 

	е01	е02	е03
е01	1	–Iе03	Iе02
е02	Iе03	1	–Iе01
е01	–Iе02	Iе01	1
	е12	е13	е23
е12	–1	е23	–е13
е13	–е23	–1	е12
е23	е13	–е12	–1

 

Из первой таблицы видно, что пространственно-временные базисы изоморфны матрицам Паули (с точности до знаков), поэтому в [19, стр. 135] для обозначения e_0i используется буква сигма σ_i.

2.2. Дифференциальные операторы

Введем оператор векторной производной (vector derivative) [19, стр. 168], определяемый следующей формулой:

$\nabla =e^i\frac{\partial }{\partial x^i}=e^1\frac{\partial }{\partial x^{i1}}+\dots +e^n\frac{\partial }{\partial x^n},$

где {eⁱ} — взаимный базис (reciprocal frame), векторы которого определяются следующим образом:

$(e^i,e_j)={\delta }_j^i.$

Для произвольного вектора x выполняется равенство 

$\begin{array}{c}(e^i,x)=(e^i,x^j{e}_j)=x^j(e^i,e_j)=\\ =x^j{\delta }_j^i=x^i\Rightarrow x^i=(e^i,x).\end{array}$

В случае ортонормированного евклидова пространства eⁱ = e_i. В случае трехмерного или двумерного ортонормированного евклидова пространства оператор Δ совпадает с классическим дифференциальным оператором $\overrightarrow{\nabla }$. С помощью Δ и геометрического умножения можно записать операции градиента, дивергенции и ротора классического векторного анализа, а также обобщить их на большие размерности и метрики, отличные от ортонормированной.

Умножив геометрически Δ на скалярную функцию f (x), где $x=x^i{e}_i=x^1{e}_1+\dots +x^n{e}_n,$ получим формулу для градиента:

$\nabla f\left(x\right)=e^i\frac{\partial f}{\partial x^i}=\left(\frac{\partial f}{\partial x^1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x^n}\right),$

который представляет собой вектор, записанный в взаимном базисе $⟨e^1,\dots ,e^n⟩.$

Умножим Δ на векторное поле u(x) и получим сумму скалярной и бивекторной частей: 

$\nabla u=(\nabla ,u)+\nabla \wedge u.$

Скалярная часть является обобщением оператора дивергенции. Используем равенство $x^i=(e^i,x)$ и запишем:

$\begin{array}{c}\left(\nabla ,u\left(x\right)\right)=\left(\frac{\partial }{\partial x^i}{e}^i,u\right)=\\ =\frac{\partial }{\partial x^i}(e^i,u)=\frac{\partial u^i}{\partial x^i}=\frac{\partial u^1}{\partial x^1}+\dots +\frac{\partial u^n}{\partial x^n}.\end{array}$

Бивекторная часть обобщает операцию ротора:

$\nabla \wedge u=e^i\wedge \frac{\partial u}{\partial x^i}=\frac{\partial u^j}{\partial x^i}{e}^i\wedge e_i.$

3. Мультивекторная запись уравнений максвелла

Получим мультивекторную запись вакуумных уравнений Максвелла.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме в системе СИ имеют следующий вид:

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\nabla }\times H=\frac{\partial D}{\partial t}+j,\\ \overrightarrow{\nabla }\times E=-\frac{\partial B}{\partial t},\\ \overrightarrow{\nabla }\cdot D=\rho ,\\ \overrightarrow{\nabla }\cdot B=0.\end{array}\right.$ (1)

Здесь B — вектор индукции магнитного поля, E — вектор напряженности электрического поля, H — напряжённость магнитного поля, D — электрическая индукция, j — вектор плотности внешнего электрического тока, ρ — плотность электрического заряда.

3.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для изотропной среды

Диэлектрическую и магнитную проницаемости положим равными единице, т.е. $\epsilon =\mu =1$ (вакуум). Кроме того, будем считать, что

$\begin{array}{c}H=B,\\ D=E.\end{array}$ (2)

Тогда вакуумные уравнения Максвелла в дифференциальной форме (1) приобретают вид:

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\nabla }\times B=\frac{\partial E}{\partial t}+j,\\ \overrightarrow{\nabla }\times E=-\frac{\partial B}{\partial },\\ \overrightarrow{\nabla }\cdot E=\rho ,\\ \overrightarrow{\nabla }\cdot B=0.\end{array}\right.$ (3)$\overrightarrow{\nabla }\cdot j+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0.$

При этом для плотностей тока j и заряда ρ выполняется уравнение непрерывности:

$\overrightarrow{\nabla }\cdot j+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0.$

Символом Δ в данной системе обозначен оператор набла, с помощью которого записаны операторы ротора $\overrightarrow{\nabla }\times$ и дивергенции $\overrightarrow{\nabla }\times$. Далее данный символ будет выступать только в роли оператора векторной производной.

Отметим, что все векторы в данной записи уравнений Максвелла являются векторами трехмерного Евклидова пространства (а точнее векторными полями, зависящими явно от трех координат и неявно от времени t). Их компоненты обозначаются с нижними индексами x,y,z, например $E_x$, $E_y$, $E_z$.

3.2. Мультивектор Фарадея

Рассмотрим теперь необходимые элементы, с помощью которых можно записать уравнения Максвелла в мультивекторном виде. Для этого введем пространство Минковского с сигнатурой $(+,-,-,-)$ и базисными векторами $⟨e_0,e_1,e_2,e_3⟩$. Оператор векторной производной в этом базисе записывается следующим образом:

$\nabla =e_0\frac{\partial }{\partial x^0}-e_1\frac{\partial }{\partial x^1}-e_2\frac{\partial }{\partial x^2}-e_3\frac{\partial }{\partial x^3},$

так как взаимный базис {e^α}, α = 0, 1, 2, 3 имеет вид $⟨e_0,-e_1,-e_2,-e_3⟩,$ в чем можно убедиться, вычислив скалярные произведения:

$\begin{array}{c}(e_0,e_0)=\mathrm{1,}\\ (e_1,-e_1)=\mathrm{1,}\\ (e_2,-e_2)=\mathrm{1,}\\ (e_3,-e_3)=1.\end{array}$

Единичный элемент объема e₀e₁e₂e₃ обозначим как I.

Напряженность электрического поля E представим в виде бивектора с тремя пространственно-временными компонентами:

$E=E^{10}{e}_1{e}_0+E^{20}{e}_2{e}_0+E^{30}{e}_3{e}_0.$

Бивекторные компоненты E ¹⁰, E ²⁰, E ³⁰ соответствуют координатам вектора E_x, E_y, E_z классической векторной записи. Хотя у бивектора в четырехмерном пространстве Минковского может быть шесть ненулевых компонент, бивектор E имеет только три указанные ненулевые компоненты.

Аналогично представим индукцию магнитного поля B:

$\begin{array}{c}B=B^{10}{e}_1{e}_0+B^{20}{e}_2{e}_0+B^{30}{e}_3{e}_0=\\ =B_x{e}_1{e}_0+B_y{e}_2{e}_0+B_z{e}_3{e}_0.\end{array}$

Объединим плотность электрического заряда ρ (скаляр) и плотность внешнего электрического тока j (вектор) в четырехмерный пространственно-временной вектор J. Вектор J будем называть пространственно-временной плотностью электрического тока [19, стр. 230] и запишем его в следующем виде:

$\begin{array}{c}J=\rho e_0+j^1{e}_1+j^2{e}_2+j^3{e}_3=\\ =\rho e_0+j_x{e}_1+j_y{e}_2+j_z{e}_3.\end{array}$

Если умножить J справа на e₀, то получим мультивектор со скалярной и бивекторной частями:

$J{e}_0=\rho +j_x{e}_1{e}_0+j_y{e}_2{e}_0+j_z{e}_3{e}_0.$

Следовательно, плотность электрического тока j можно представить в виде бивектора j¹⁰e₁e₀ + + j²⁰e₂e₀ + j³⁰e₃e₀ с пространственно-временными компонентами (по аналогии с представлением E и B).

Наконец составим бивектор Фарадея F как сумму бивекторов E и IB:

$\mathrm{F}=\mathrm{E}+\mathrm{IB}.$

При умножении на I пространственно-временные бивекторные базисы e₀e₁, e₀e₂, e₀e₃ превращаются в чисто пространственные: $I{e}_1{e}_0=-e_2{e}_3,I{e}_2{e}_0=+e_1{e}_3,I{e}_3{e}_0=-e_1{e}_2,$

из-за чего бивектор Фарадея имеет шесть компонент — максимально возможное количество компонент в четырехмерном пространстве Минковского: 

$\begin{array}{c}\mathrm{F}=E^{10}{e}_1{e}_0+E^{20}{e}_2{e}_0+E^{30}{e}_3{e}_0-\\ -B^{10}{e}_2{e}_3+B^{20}{e}_1{e}_3-B^{30}{e}_3{e}_2.\end{array}$

Теперь уравнения Максвелла можно записать в очень компактной форме: $\nabla \mathrm{F}=\mathrm{J}.$

4. Вывод дифференциальной формы уравнений максвелла из мультивекторной с помощью символьных вычислений

Используем библиотеку Galgebra для того, чтобы вычислить компоненты мультивектора ΔF – J в декартовых координатах.

Вначале импортируем все необходимые модули: 

import sympy as sp
from galgebra.ga import Ga
from galgebra.printer import latex #
$\hookrightarrow$ функция нужна для распечатки исходного
$\hookrightarrow$кода LaTeX формул
from IPython.display import Math,
$\hookrightarrow$ DisplayObject # Функции нужны для
$\hookrightarrow$ отображения обработки и отображения
$\hookrightarrow$ LaTeX формул

sp.init_printing(latex_printer=latex,
$\hookrightarrow$ use_latex=' mathjax ' ,
$\hookrightarrow$use_unicode=True)

Все вычисления мы будем проводить в интерактивной оболочке Jupyter Notebook [22]. Настроим отображение формул с помощью вызова следующей функции:

m4d = Ga(' e ' , g=[1, -1, -1, -1],
$\hookrightarrow$coords=sp.symbols(' t, x, y,
$\hookrightarrow$z ' ,real=True))

После всех настроек зададим пространство Минковского и структуру геометрической алгебры на нем:

(grad, rgrad) = m4d.grads()

Здесь мы указываем символ e, который будет использоваться для обозначения базисного вектора, а также символы t, x, y, z, используемые для обозначения индексов. Также в параметре g указывается метрика, которая может быть только диагональной, но не обязательно нормированной.

Далее в отдельные переменные записываем базисные векторы, пространственно-временную часть бивекторного базиса и квадривекторный базисный элемент I:

# Пространственно временная часть
$\hookrightarrow$ бивекторного базиса
σ1 = e10 = e1*e0
σ2 = e20 = e2*e0
σ3 = e30 = e3*e0

I = e0*e1*e2*e3

Ex = sp.Function(' E_1 ' )(t,x,y,z)

Греческие буквы можно вводить в блокноте Jupyter с помощью их обозначений в формате LaTeX. Для этого следует набрать, например, \sigma и нажать клавишу Tab.

Для использования оператора векторной производной следует вызвать метод grads объекта m4d класса Ga:

(grad, rgrad) = o3d.grads()

Этот метод возвращает правый и левый операторы векторной производной, так как геометрическое умножение не коммутативно и при умножении слева следует использовать grad, а справа rgrad. Их значения равны соответственно:

$\begin{array}{c}{e}_t\frac{\partial }{\partial t}-e_x\frac{\partial }{\partial x}-e_y\frac{\partial }{\partial y}-e_z\frac{\partial }{\partial z},\\ \frac{\partial }{\partial t}{e}_t-\frac{\partial }{\partial x}{e}_x-\frac{\partial }{\partial y}{e}_y-\frac{\partial }{\partial z}{e}_z.\end{array}$

Такое разграничение двух операторов имеет смысл только в рамках модуля Galgebra в силу ограничений синтаксиса языка Python.

Далее задаем компоненты электрического и магнитного полей, вектор тока и плотность заряда как функции от переменных $t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z$:

Ez = sp.Function(' E_3 ' )(t,x,y,z)
Bx = sp.Function(' B_1 ' )(t,x,y,z)
By = sp.Function(' B_2 ' )(t,x,y,z)
Bz = sp.Function(' B_3 ' )(t,x,y,z)

jx = sp.Function(' j_1 ' )(t,x,y,z)
jy = sp.Function(' j_2 ' )(t,x,y,z)
jz = sp.Function(' j_3 ' )(t,x,y,z)

ρ = sp.Function(' ρ ' )(t,x,y,z)

# напряженность электрического поля

После этого можно записать E, B, j и ρ:

# индукция магнитного поля
B = Bx*σ1 + By*σ2 + Bz*σ3
# плотность внешнего электрического тока
j = jx*σ1 + jy*σ2 + jz*σ3
# Пространственно-временной вектор тока
J = ρ*e0 + jx*e1 + jy*e2 + jz*e3

# Бивектор Фарадея

Теперь можно составить бивектор Фарадея:

# Бивектор Фарадея

В результате получим следующий бивектор с полным набором как пространственных, так и пространственно-временных компонент:

$\begin{array}{c}F=-E_x{e}_{tx}-E_y{e}_{ty}-E_z{e}_{tz}-\\ -B_z{e}_{xy}+B_y{e}_{xz}-B_x{e}_{yz}.\end{array}$

Запишем теперь уравнения Максвелла в виде мультивектора:

# - уравнение непрерывности из равенства
$\hookrightarrow$нулю скалярной части получившегося
$\hookrightarrow$мультивектора;

Данный мультивектор имеет ненулевую векторную и тривекторную части. Приравняв весь мультивектор к нулю, мы получим дифференциальную форму уравнений Максвелла, если распишем отдельные компоненты данного мультивектора.

Векторную часть можно вычленить, вызвав метод grade:

Eq.grade(1)

Эта часть обладает следующими компонентами:

$\begin{array}{c}-\rho +\frac{\partial E_x}{\partial x}x+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z},\\ -j_x-\frac{\partial B_y}{\partial z}+\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial E_x}{\partial t},\\ -j_y+\frac{\partial B_x}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial x}-\frac{\partial E_y}{\partial t},\\ -j_z-\frac{\partial B_x}{\partial y}+\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial E_z}{\partial t}.\end{array}$

Приравнивание полученных компонент векторной части к нулю даст нам первое и третье уравнения из системы (3). В свою очередь, тривекторная часть получается вызовом метода Eq.grade(3) и также имеет четыре компоненты:

$\begin{array}{c}-\frac{\partial B_z}{\partial t}+\frac{\partial E_x}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial x},\\ \frac{\partial B_y}{\partial t}+\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x},\\ \frac{-\partial B_x}{\partial t}+\frac{\partial E_y}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial y},\\ \frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z},\end{array}$

приравняв которые к нулю мы получим второе и четвертое уравнения из (3).

Взяв повторно векторную производную:

$\nabla \nabla \mathrm{F}-\nabla \mathrm{J}=0,$ (4)

получим мультивектор со скалярной и полной бивекторной частями (с шестью компонентами).

Равенство нулю скалярной части выражения (4) дает уравнение непрерывности. Равенство нулю пространственно-временных компонент в выражении (4) дает волновое уравнение для электрического поля. Равенство нулю чисто пространственных компонент выражения (4) дает волновое уравнение для магнитного поля.

5. Заключение

В статье была рассмотрена мультивекторная запись уравнений Максвелла. Работу следует рассматривать как продолжение цикла исследований по реализациям геометрической алгебры и пространственно-временной алгебры для систем компьютерной алгебры. Статья носит не только прикладной, но и учебно-методический характер, поскольку в ней кроме демонстрации инструментального применения систем компьютерной алгебры рассмотрен вопрос получения с их помощью новых (не столь сложных, но скорее непривычных) математических формализмов для решения конкретных задач.

Источники финансирования

Публикация выполнена в рамках проекта № 021934-0-000 Системы грантовой поддержки научных проектов РУДН (Королькова А.В., Геворкян М.Н.) и при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН (Кулябов Д.С., Фёдоров А.В., Штепа К.А.).

About the authors

A. V. Korol’kova

RUDN University

Author for correspondence.
Email: korolkova-av@rudn.ru
Russian Federation, 6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198

M. N. Gevorkyan

RUDN University

Email: gevorkyan-mn@rudn.ru
Russian Federation, 6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198

A. V. Fedorov

RUDN University

Email: 1042210107@rudn.ru
Russian Federation, 6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198

K. A. Shtepa

RUDN University

Email: 1042210111@pfur.ru
Russian Federation, 6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198

D. S. Kulyabov

RUDN University; Joint Institute for Nuclear Research

Email: kulyabov-ds@rudn.ru
Russian Federation, 6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198; Dubna, Moscow oblast, 141980

References

Supplementary files