Том 77, № 1 (2022)

Рассматриваются структуры разрывов в решениях гиперболической системы уравнений. Система уравнений имеет достаточно общий вид и, в частности, может описывать в простейшей постановке продольно-крутильные нелинейные волны в упругих стержнях, а также одномерные волны в неограниченной упругой среде. Ранее свойства разрывов в решениях этих уравнений изучались в предположении, что на разрывах выполняются только соотношения, следующие из законов сохранения продольного импульса и момента импульса вокруг оси стержня, а также условие непрерывности перемещений. Была изучена ударная адиабата. В данной работе исследуется стационарная структура разрывов в предположении, что главным, определяющим механизмом внутри структуры является вязкость. Показано, что некоторые части ударной адиабаты соответствуют эволюционным разрывам, не имеющим структуры. Кроме того, показано, что существуют особые разрывы, на которых должно выполняться дополнительное соотношение, которое находится как условие существования структуры разрыва. Дополнительное соотношение зависит от процессов, происходящих в структуре. Особый разрыв удовлетворяет условиям эволюционности, которые отличаются от известных условий Лакса. Обсуждаются выводы, которые могут представлять интерес также для других систем гиперболических уравнений. Библиография: 58 названий.

Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли образуют важный класс задач с большой группой симметрий. Они интересны в теоретическом плане, так как часто допускают полное исследование и на этих модельных задачах можно изучить общие закономерности. В частности, задачи на нильпотентных группах Ли доставляют фундаментальную нильпотентную аппроксимацию общих задач. Левоинвариантные задачи также часто возникают в приложениях: в классической и квантовой механике, геометрии, робототехнике, моделях зрения и обработке изображений. Цель данной работы – дать обзор основных понятий, методов и результатов, относящихся к левоинвариантным задачам оптимального управления на группах Ли, интегрируемым в элементарных функциях. Основное внимание уделено описанию экстремальных траекторий и их оптимальности, времени разреза и множества разреза, оптимального синтеза. Также затрагиваются вопросы классификации левоинвариантных субримановых задач на группах Ли размерности 3, 4. Библиография: 91 название.