Spectrum of the Laplace operator on closed surfaces

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A survey is given of classical and relatively recent results on the distribution of the eigenvalues of the Laplace operator on closed surfaces. For various classes of metrics the dependence of the behaviour of the second term in Weyl's formula on the geometry of the geodesic flow is considered. Various versions of trace formulae are presented, along with ensuing identities for the spectrum. The case of a compact Riemann surface with the Poincare metric is considered separately, with the use of Selberg's formula. A number of results on the stochastic properties of the spectrum in connection with the theory of quantum chaos and the universality conjecture are presented.Bibliography: 51 titles.

About the authors

Dmitrii Aleksandrovich Popov

Lomonosov Moscow State University, Belozersky Research Institute of Physico-Chemical Biology

Doctor of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. Г. В. Розенблюм, М. З. Соломяк, М. А. Шубин, “Спектральная теория дифференциальных операторов”, Дифференциальные уравнения с частными производными – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989, 5–242
  2. M. Berger, P. Gauduchon, E. Mazet, Le spectre d'une variete riemannienne, Lecture Notes in Math., 194, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, vii+251 pp.
  3. Л. Хeрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 4, Интегральные операторы Фурье, Мир, М., 1988, 448 с.
  4. Я. Г. Синай, А. И. Шафаревич (ред.), Квантовый хаос, Сб. cт., РХД, М.–Ижевск, 2008, 384 с.
  5. Х.-Ю. Штокман, Квантовый хаос, Физматлит, М., 2004, 376 с.
  6. P. Sarnak, “Arithmetic quantum chaos”, The Shur lectures (1992) (Tel Aviv), Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat-Gan, 1995, 183–236
  7. Н. Надирашвили, Дж. Тот, Д. Якобсон, “Геометрические свойства собственных функций”, УМН, 56:6(342) (2001), 67–88
  8. А. В. Пенской, “Метрики, экстремальные для собственных чисел оператора Лапласа–Бельтрами на поверхностях”, УМН, 68:6(414) (2013), 107–168
  9. С. Хелгасон, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, Мир, М., 1964, 533 с.
  10. L. Hörmander, “The spectral function on an elliptic operator”, Acta Math., 121 (1968), 193–218
  11. J. J. Duistermaat, V. W. Guillemin, “The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics”, Invent. Math., 29 (1975), 39–79
  12. А. Бессе, Многообразия с замкнутыми геодезическими, М., Мир, 1981, 327 с.
  13. Т. Е. Гуреев, Ю. Г. Сафаров, “Точная асимптотика спектра оператора Лапласа на многообразии с периодическими геодезическими”, Краевые задачи математической физики. 13, Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 179, 1988, 36–53
  14. A. V. Volovoy, “Improved two-term asymptotics for the eigenvalue distribution function of an elliptic operator on a compact manifold”, Comm. Partial Differential Equations, 15:11 (1990), 1509–1563
  15. P. H. Berard, “On the wave equation on a compact Riemannian manifold without conjugate points”, Math. Z., 155:3 (1977), 249–276
  16. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения, 2-е изд., перераб., Наука, М., 1986, 760 с.
  17. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях, Библиотека “Регулярная и хаотическая динамика”, Едиториал УРСС, М., 1999, 328 с.
  18. Y. Colin de Verdière, “Spectre conjoint d'operateurs pseudo-differentiels qui commutent. II. Le cas integrable”, Math. Z., 171:1 (1980), 51–73
  19. P. M. Bleher, “Distribution of energy levels of a quantum free particle on a surface of revolution”, Duke. Math. J., 74:1 (1994), 45–93
  20. Д. В. Косыгин, А. А. Минасов, Я. Г. Синай, “Статистические свойства спектров операторов Лапласа–Бельтрами на поверхностях Лиувилля”, УМН, 48:4(292) (1993), 3–130
  21. P. M. Bleher, D. V. Kosygin, Ya. G. Sinai, “Distribution of energy levels of quantum free particle on the Liouville surface and trace formulae”, Comm. Math. Phys., 170:2 (1995), 375–403
  22. H. Lapointe, “A remainder estimate for Weyl's law on Liouville tori”, Spectrum and dynamics, CRM Proc. Lecture Notes, 52, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 89–112
  23. Д. А. Попов, “О втором члене в формуле Вейля для спектра оператора Лапласа на двумерном торе и числе целых точек в спектральных областях”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 139–176
  24. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, 3-е изд., Физматгиз, М., 1961, 112 с.
  25. Д. А. Попов, “Проблема круга и спектр оператора Лапласа на замкнутых двумерных многообразиях”, УМН, 74:5(449) (2019), 145–162
  26. В. И. Арнольд, А. Авец, Эргодические проблемы классической механики, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 1999, 284 с.
  27. У. Тeрстон, Трехмерная геометрия и топология, т. 1, МЦНМО, М., 2001, 312 с.
  28. B. Randol, “The Riemann hypothesis for Selberg's zeta-function and the asymptotic behavior of eigenvalues of the Laplace operator”, Trans. Amer. Math. Soc., 236 (1978), 209–223
  29. B. Randol, “A Dirichlet series of eigenvalue type with applications to asymptotic estimates”, Bull. London Math. Soc., 13:4 (1981), 309–315
  30. D. A. Hejhal, The Selberg trace formula for $operatorname{PSL}(2,mathbb{R})$, v. 1, Lecture Notes in Math., 548, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1976, vi+516 pp.
  31. С. Б. Каток, Фуксовы группы, Факториал Пресс, М., 2002, 160 с.
  32. Г. Шимура, Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, Мир, М., 1973, 326 с.
  33. D. Jakobson, I. Polterovich, J. A. Toth, “A lower bound for the remainder in Weyl's law on negatively curved surfaces”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2008:2 (2008), rnm142, 38 pp.
  34. Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд., Наука, М., 1966, 543 с.
  35. H. P. McKean, Jr., I. M. Singer, “Curvature and the eigenvalues of the Laplacian”, J. Differential Geometry, 1:1 (1967), 43–69
  36. А. Б. Венков, “Спектральная теория автоморфных функций, дзета-функция Сельберга и некоторые проблемы аналитической теории чисел и математической физики”, УМН, 34:3(207) (1979), 69–135
  37. D. A. Hejhal, “The Selberg trace formula and the Riemann zeta-function”, Duke Math. J., 43:3 (1976), 441–482
  38. Д. А. Попов, “О формуле Сельберга для строго гиперболических групп”, Функц. анализ и его прил., 47:4 (2013), 53–66
  39. Y. Colin de Verdière, “Spectre du laplacien et longueurs des geodesiques periodiques. I”, Compositio Math., 27 (1973), 83–106
  40. J. Chazarain, “Formule de Poisson pour les varietes riemanniennes”, Invent. Math., 24 (1974), 65–82
  41. H. Donnelly, “On the wave equation asymptotics of a compact negatively curved surface”, Invent. Math., 45:2 (1978), 115–137
  42. Д. А. Попов, “Явная формула для функции распределения собственных значений оператора Лапласа на компактной римановой поверхности рода $g>1$”, Функц. анализ и его прил., 46:2 (2012), 66–82
  43. Д. А. Попов, “О формуле Вейля для оператора Лапласа на гиперболических римановых поверхностях”, Функц. анализ и его прил., 48:2 (2014), 93–96
  44. Б. М. Левитан, Почти-периодические функции, Гостехиздат, М., 1953, 396 с.
  45. A. S. Besicovitch, Almost periodic functions, Dover Publications, Inc., New York, 1955, xiii+180 pp.
  46. P. M. Bleher, Zheming Chang, F. J. Dyson, J. L. Lebowitz, “Distribution of the error term for the number of lattice points inside a shifted circle”, Comm. Math. Phys., 154:3 (1993), 433–469
  47. D. R. Heath-Brown, “The distribution and moments of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 60:4 (1992), 389–415
  48. Yuk-Kam Lau, “On the existence of limiting distributions of some number-theoretic error terms”, J. Number Theory, 94:2 (2002), 359–374
  49. А. Бекер, Ф. Штайнер, “Квантовый хаос и квантовая эргодичность”, Квантовый хаос, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2008, 60–101
  50. М. А. Мета, Случайные матрицы, МЦНМО, М., 2012, 648 с.
  51. W. Luo, P. Sarnak, “Number variance for arithmetic hyperbolic surfaces”, Comm. Math. Phys., 161:2 (1994), 419–432

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Popov D.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).