Том 88, № 1 (2024)

Рассмотрена задача об устойчивости невырожденных линейных систем, допускающих первый интеграл в виде невырожденной квадратичной формы. Установлены новые алгебраические критерии устойчивости, а также полной неустойчивости таких систем в виде равенства нулю следов произведений матриц, куда входит дополнительная симметрическая матрица. Эти условия тесно связаны с симплектической геометрией фазового пространства, которая определяется матрицей исходной линейной системы и симметрической матрицей, задающей первый интеграл. Результаты общего характера применяются к нахождению условий полной неустойчивости линейных гироскопических систем.

В статье получены гарантированные оценки снизу и сверху для приращения угла прецессии за период по углу нутации при невырожденных движениях динамически симметричного твердого тела (волчка) вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа для произвольных значений начальных условий и параметров тела. Вся область начальных условий задачи разбита на два множества: в одном из этих множеств имеет место прецессия, среднее направление которой совпадает с направлением закрутки тела вокруг оси динамической симметрии, а в другом множестве — направление прецессии противоположно направлению этой закрутки.

Для нелинейных конфликтно управляемых процессов (дифференциальных игр) рассматривается задача уклонения траекторий в постановке Л.С. Понтрягина и Е.Ф. Мищенко. Терминальное множество имеет разреженную структуру. В отличие от известных работ оно может иметь предельную точку. Получены новые достаточные условия и методы уклонения, позволяющие решить задачи уклонения траекторий нелинейных колебательных систем. В качестве примера приведено решение задачи о раскачке обобщенного математического маятника.

Аналитически исследуется задача о разгоне из состояния покоя сдвигового течения в вязкопластической полуплоскости при задании на границе касательного напряжения. Предполагается, что динамическая вязкость и плотность среды постоянны, а предел текучести может меняться непрерывным либо разрывным образом в зависимости от глубины. Вся полуплоскость в любой момент времени состоит из заранее неизвестных слоев, где реализуется сдвиговое течение, и жестких зон. Последние могут перемещаться как жесткое целое, а могут быть неподвижны, как, например, полуплоскость, до которой возмущения, вызванные действием касательных усилий, еще не дошли. Для нахождения полей напряжения и скорости развивается метод, основанный на квазиавтомодельных диффузионно-вихревых решениях параболических задач в областях с движущимися границами. Обсуждается вопрос о том, какие выводы о распределении предела текучести по глубине можно сделать по доступным измерениям скорости границы полуплоскости.

Исследуется распределение остаточных и эксплуатационных напряжений в полой сферической заготовке, предварительно упрочненной с помощью комбинации гидравлического и температурного автофретирования. Постановка задачи основана на теории малых упругопластических деформаций, условии пластичности Треска или Мизеса, ассоциированном законе течения и законе линейного изотропного упрочнения. При разгрузке материал сферы может проявлять эффект Баушингера. Все механические и теплофизические параметры считаются независимыми от температуры. Найдены точные аналитические решения для стадии нагрузки и разгрузки, включая повторное пластическое течение. Установлены значения технологических параметров, при которых эффект упрочнения достигается вблизи внутренней поверхности сферы. Анализ полученных результатов показал, что использование положительного градиента температуры позволяет повысить абсолютную величину остаточных напряжений на внутренней поверхности сферы. С другой стороны, с помощью отрицательного градиента можно добиться снижения эксплуатационных напряжений в сфере.