Localization of natural oscillations of thin elastic gaskets

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

We study natural oscillations of thin homogeneous isotropic gaskets of constant or variable thickness whose bases are rigidly fixed. It is shown that the traditional two-dimensional model, namely the plane problem of the elasticity theory in the longitudinal section with the Dirichlet condition at the boundary, gives correct results for eigenfrequencies of the this spatial solid only for the plate of a constant thickness with clamped lateral surface. In other cases the asymptotic analysis provides another models of reduced dimension, in particular, ordinary differential equations, while modes of natural oscillations enjoy concentration near the lateral side or some points on the boundary.

全文:

受限制的访问

作者简介

S. Nazarov

Institute of Mechanical Engineering Problems, RAS

编辑信件的主要联系方式.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
俄罗斯联邦, Saint-Petersburg

参考

  1. Ladyzhenskaya O.A. The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Appl. Math. Sci., vol. 49. N.Y.: Springer, 1985.
  2. Fichera G. Existence Theorems in Elasticity. Berlin: Springer, 1972.
  3. Shoikhet B.A. On asymptotically exact equations of thin plates of complex structure // JAMM, 1973, vol. 37, no. 5, pp. 867‒877.
  4. Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity. II: Theory of Plates. Studies in Mathematics and Its Applications. Vol. 27. Amsterdam: SIAM, 1997.
  5. Le Dret H. Problemes variationnels dans les multi-domains modélisation des jonctions et applications. Paris: Masson, 1991.
  6. Nazarov S.A. Asymptotic Theory of Thin Plates and Rods. Vol.1. Dimension Reduction and Integral Estimates. Novosibirsk: Nauch. Kniga, 2002.
  7. Panasenko G. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Dordrecht: Springer, 2005.
  8. Nazarov S.A. Two-dimensional asymptotic models of thin cylindrical elastic gaskets // Diff. Eqns., 2022, vol. 58, no.12, pp. 1651–1667.
  9. Landau L.D., Lifshitz E.M. Quantum Mechanics. Non-Relativistic Theory. Oxford: Pergamon, 1963.
  10. Molchanov S., Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics // Comm. Math. Phys., 2007, vol. 273, no. 2, pp. 533–559.
  11. Nazarov S.A. Threshold resonances and virtual levels in the spectrum of cylindrical and periodic waveguides // Math. Izv., 2020, vol. 84, no. 6, pp. 1105–1180.
  12. Kamotskii I.V., Nazarov S.A. On eigenfunctions localized in a neighborhood of the lateral surface of a thin domain // J. Math. Sci., 2000, vol. 101, no. 2, pp. 2941–2974.
  13. Nazarov S.A. Discrete spectrum of cranked quantum and elastic waveguides // Comput. Math.&Math. Phys., 2016, vol. 56, no. 5, pp. 864–880.
  14. Nazarov S.A. Natural oscillations of elastic semi-strip for different distribution of the fixation parts of the edge // Acoust. Phys., 2023, vol. 69, no. 4, pp. 424–435.
  15. Nazarov S.A. Elastic waves trapped by a semi-strip with fixed lateral sides and curved or broken butt-end // Mech. Solids, 2023, vol. 58, no. 7, pp. 172–183.
  16. Rellich F. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von in unendlichen Gebieten // Jahresber. Dtsch. Math. Ver., 1943, bd. 53, abt. 1, s. 57–65.
  17. Van-Dyke M. Perturbation Methods in Fluid Mechanics. N.Y.: Acad. Press, 1964.
  18. Il’in A.M. Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems. Providence, RI: Am. Math. Soc., 1992.
  19. Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains. Vol. 1, 2. Basel: Birkhäuser, 2000.
  20. Birman M.S., Solomyak M.Z. Spectral Theory and Self-Adjoint Operators in Hilbert Space. Dordrecht: Reidel, 1987.
  21. Leis R. Initial Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Stuttgart: B.G. Teubner, 1986.
  22. Visik M.I., Ljusternik L.A. Regular degeneration and boundary layer of linear differential equations with small parameter // Amer. Math. Soc. Transl., 1962, vol. 20, pp. 239–364.
  23. Maz’ya V.G., Plamenevskii B.A. Estimates in Lp and in Hölder classes and the Miranda–Agmon maximum principle for solutions to elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary // Amer. Math. Soc. Transl. (Ser. 2), 1984, vol. 123, pp. 1–56.
  24. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys., 2008, vol. 15, no. 2, pp. 238-–242.
  25. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math., 2009, vol. 170, pp. 337-–354.
  26. Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincaré. Anal. Non Linèaire, 2009, vol. 26, no. 2, pp. 547–560.
  27. Borisov D., Freitas pp. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in Rd // J. Funct. Anal., 2010, vol. 258, no. 3, pp. 893–912.
  28. Nazarov S.A. The localization for eigenfunctions of the Dirichlet problem in thin polyhedra near the vertices // Sib. Math. J., 2013, vol. 54, no. 3, pp. 517–532.
  29. Nazarov S.A., Perez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunctions in thin non-smooth domains // Trans. Amer. Math. Soc., 2016, vol. 368, no. 7, pp. 4787–4829.
  30. Gómez D., Nazarov S.A., Pérez-Martinez M.-E. Localization effects for Dirichlet problems in domains surrounded by thin stiff and heavy bands // J. Diff. Eqns., 2021, vol. 270, pp. 1160–1195.
  31. Nazarov S.A. The structure of solutions of elliptic boundary value problems in slender domains // Vestn. Leningr. Univ. Math., 1983, vol. 15, pp. 99–104.
  32. Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc., 2008, vol. 97, no. 3, pp. 718–752.
  33. Nazarov S.A. A general scheme for averaging self-adjoint elliptic systems in multidimensional domains, including thin domains // St. Petersburg Math. J., 1996, vol. 7, no. 5, pp. 681–748.
  34. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II // Commun. on Pure and Appl. Math., 1962, V. 17, no. 1, pp. 35–92.
  35. Ladyzhenskaya O.A. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow. N.Y.: Gordon&Breach, 1969.
  36. Pichugin A.V., Rogerson G.A. A two-dimensional model for extensional motion of a pre-stressed incompressible elastic layer near cut-off frequencies // IMA J. Appl. Math., 2001, vol. 66, pp. 357–385.
  37. Pichugin A.V., Rogerson G.A. An asymptotic membrane-like theory forlong-wave motion in a pre-stressed elastic plate // Proc. R. Soc. London A, 2002, vol. 458, pp. 1447–1468.
  38. Kaplunov Y.D., Nolde Y.V. Long-wave vibrations of a nearly incompressible isotropic plate with fixed faces // Quart. J. Mech. Appl. Math., 2002, vol. 55, no. 3, pp. 345–356.

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
下载
2. Fig. 1. Cross-sections of plates of variable (a) and constant thickness (b).

下载 (47KB)
索引源数据
3. Fig. 2. A semi-infinite elastic band used to describe the boundary layer phenomenon.

下载 (30KB)
索引源数据
4. Fig. 3. Circular plate with cut out circles (a), egg-shaped region (b), ellipse (c), elliptical ring (d). Points of global and local maxima and minima of curvature are indicated by marks ● and ○, respectively.

下载 (76KB)
索引源数据
5. Fig. 4. Compound contour - a pair of semicircles and a pair of straight segments (a). Corner points on the contour (b), points of jumps in the curvature of the contour (a) are indicated by the mark ●.

下载 (41KB)
索引源数据
6. Fig. 5. Plates with a rounded surface (a), protruding beyond the edges of the stamps indicated by bold lines (b), a half-strip used to describe the boundary layer (c).

下载 (46KB)
索引源数据

版权所有 © Russian Academy of Sciences, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».