Acceleration of shear flow ina viscoplastic half-plane with a depth-varying yield stress

Full Text

1. Диффузия вихревого слоя в вязкопластической полуплоскости. В работе [1] ставится и исследуется начально-краевая задача о нестационарном сдвиговом течении несжимаемой вязкопластической среды с плотностью $\rho$, динамической вязкостью $\mu$ и пределом текучести ${\sigma }_s$ в полуплоскости

$\begin{array}{c}{\Omega }_{\infty }=\left\{-\infty <x_1<\infty ,x_2>0\right\}\\ \partial {\Omega }_{\infty }=\left\{-\infty <x_1<\infty ,x_2=0\right\}\end{array}$ (1.1)

Тензорно-линейные определяющие соотношения двухконстантного тела Бингама, связывающие декартовы компоненты девиатора напряжений $s_{ij}$ и тензора скоростей деформаций $v_{ij}$, в силу несжимаемости совпадающего со своим девиатором, принимаются в виде

$s_{ij}=\left(\frac{{\sigma }_s}{v_u}+2\mu \right)v_{ij};v_u=\sqrt{v_{kl}{v}_{kl}}$ (1.2)

Кинематика и напряженное состояние при нестационарном одномерном сдвиге в условиях плоской деформации характеризуются единственной отличной от нуля компонентой скорости $v_1(x_2, t)\equiv v(x, t)$ и единственной ненулевой компонентой девиатора напряжений $s_{12}(x_2,t)\equiv \sigma (x,t)$. Интенсивность скоростей деформаций имеет вид $v_u=|\partial v/\partial x|/\sqrt{2}$.

Изначально вся полуплоскость ${\Omega }_{\infty }$ покоилась, а начиная с момента времени $t=0$ на границе $\partial {\Omega }_{\infty }$ действует заданное касательное напряжение

$\sigma \left(\mathrm{0,}t\right)=S\left(t\right)h\left(t\right),$ (1.3)

где $h\left(t\right)$ — функция Хевисайда, $S\left(t\right)$ — неотрицательная, кусочно-непрерывная, монотонно неубывающая функция, ограниченная при конечных $t$. Обозначим через $t_0\ge 0$ момент времени такой, что $S\left(t\right)>{\sigma }_s/\sqrt{2}={\tau }_s$ при $t>t_0$. Величину ${\tau }_s$ называют пределом текучести при сдвиге.

Вся полуплоскость ${\Omega }_{\infty }$ (1.1) в любой момент $t>t_0$ состоит из двух частей [2]: ${\Omega }_f$ и ${\Omega }_r$. Зона сдвигового течения ${\Omega }_f$ представляет собой расширяющийся со временем слой

${\Omega }_f=\left\{-\infty <x_1<\infty ,0<x<x^{*}\left(t\right)\right\},$ (1.4)

где $x^{*}\left(t\right)$ — определяемая в процессе решения монотонно возрастающая функция; $x^{*}\left(t_0\right)=0$. При $t\le t_0$ подобласть ${\Omega }_f$ отсутствует.

Остальная часть полуплоскости ${\Omega }_{\infty }$ — неподвижная полуплоскость

${\Omega }_r=\{-\infty <x_1<\infty ,x\ge x^{*}(t\left)\right\},$ (1.5)

занятая жесткой зоной. В ней $\left|\sigma \left(x,t\right)\right|\equiv {\tau }_s$ вплоть до бесконечности по $x$.

Таким образом, в зоне сдвига имеет место система уравнений

$\begin{array}{c}\frac{\partial \sigma }{\partial x}=\rho \frac{\partial v}{\partial t}\\ \sigma ={\tau }_{s}sign\frac{\partial v}{\partial x}+\mu \frac{\partial v}{\partial x}\\ 0<x<x^{*}\left(t\right),t>t_0\end{array}$ (1.6)

с граничными условиями (1.3) и

$\left|\sigma \right(x^{*}\left(t\right),t\left)\right|={\tau }_s$ (1.7)

Начальных условий ставить не требуется, поскольку в момент начала сдвига $t=t_0$ толщина слоя ${\Omega }_f$ равна нулю, т. е. $\underset{t\to t_0+0}{\lim }{x}^{*}\left(t\right)=0$.

В жесткой зоне вместо уравнений (1.6) справедлива система

$\begin{array}{c}\frac{\partial \sigma }{\partial x}=\rho \frac{\partial v}{\partial t},\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ x\ge x^{*}\left(t\right),t>t_0\end{array}$ (1.8)

с одним граничным условием $\underset{x\to \infty }{\lim }v=0$. Разыскиваются функции $\sigma \left(x,t\right)$ и $v\left(x,t\right)$ соответственно классов $C_0$ и $C_1$ во всей полуплоскости ${\Omega }_{\infty }$ (1.1), занятой вязкопластическим материалом. Из указанных требований непрерывности и системы (1.8) следует неподвижность жесткой полуплоскости и равенство $\left|\sigma \right|={\tau }_s$ всюду в ней.

В качестве дополнительного условия для нахождения подвижной границы $x^{*}\left(t\right)$ принимается следующее альтернативное в теории задач Стефана [3] требование к решению. Оно при любых фиксированных $x$ и $t$ должно стремиться к решению соответствующей задачи вязкого течения (задачи о диффузии вихревого слоя в ньютоновской вязкой полуплоскости) в предельном переходе ${\tau }_s\to 0$. Это означает, что вязкое течение должно быть устойчивым по отношению к малому возмущению предела текучести среды.

Выпишем [1] точное решение поставленной начально-краевой задачи в области сдвигового течения в случае, когда в (1.3)

$S\left(t\right)\equiv S_0,$ (1.9)

где $S_0$ — приложенное касательное напряжение, разумеется, большее чем ${\tau }_s$. При этом $sign\sigma =sign(\partial v/\partial x)=1$. Имеем

$\begin{array}{c}\sigma (x,t)=S_0\left(1-\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\xi }{\int }}{e}^{-{\eta }^2}d\eta \right)\equiv \\ \equiv S_{0}erfc\xi ;0<x<x^{*}\left(t\right)=2{\xi }^{*}\sqrt{\nu t},\end{array}$ (1.10)

где $v=\mu /\rho$ — кинематическая вязкость; $\xi =x/\left(2\sqrt{vt}\right)$ — классическая в параболических задачах автомодельная переменная; $erfc\xi$ — дополнительная функция ошибок; ${\xi }^{*}$ — постоянная величина ($0<{\xi }^{*}\le \infty$), которая находится из алгебраического уравнения

$erfc{\xi }^{*}=\gamma ;\gamma =\frac{{\tau }_s}{S_0}<1$ (1.11)

Интегрируя второе уравнение (1.6) $\partial v/\partial x=(\sigma -{\tau }_s)/\mu$ с граничным условием $v\left(x^{*}\right(t),t)=0$, найдем профиль скорости

$v(x,t)=\frac{2S_0}{\mu }\sqrt{\nu t}\left[\begin{array}{l}\xi \left(erfc\xi -\gamma \right)-\\ -\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(e^{-{\xi }^2}-e^{-{\xi }^{*2}}\right)\end{array}\right];0<x<x^{*}\left(t\right)$ (1.12)

$v\left(\mathrm{0,}t\right)=-\frac{2S_0}{\mu }\sqrt{\frac{\nu t}{\pi }}\left(1-e^{-{\xi }^{*2}}\right)$ (1.13)

Скорость границы $x=0$ слоя ${\Omega }_f$ (1.4) неограниченно растет пропорционально $\sqrt{t}$.

Заметим, что известное автомодельное решение, называемое диффузией вихревого слоя в ньютоновской вязкой жидкости, получается из (1.10), (1.12) и (1.13) в пределе ${\xi }^{*}\to \infty$. При этом в любой момент времени области ${\Omega }_{\infty }$ (1.1) и  (1.4) совпадают, а жесткая зона ${\Omega }_r$ (1.5) отсутствует.

2. Зависимость предела текучести от глубины. Рассмотрим случай неоднородной вязкопластической среды, занимающей область ${\Omega }_{\infty }$ (1.1), когда предел текучести при сдвиге ${\tau }_s$ — заданная неотрицательная кусочно-непрерывная функция координаты $x$, в то время как динамическая вязкость $\mu$, плотность $\rho$, а следовательно, и кинематическая вязкость $v$ — как и ранее, постоянные величины. На границе полуплоскости ${\Omega }_{\infty }$, по-прежнему, задано касательное напряжение (1.3), (1.9) в виде ступеньки Хевисайда.

Распределение жестких зон по глубине в каждый момент времени $t>0$, естественно, зависит от вида функции ${\tau }_s\left(x\right)$, в частности от ее монотонности. Вязкопластический сдвиг может реализовываться не только в расширяющемся со временем слое ${\Omega }_f$ (1.4), но и в более сложных образованиях, состоящих из нескольких слоев, способных смыкаться и расходиться друг от друга. То же можно сказать и о наборе жестких зон по толщине.

В любой момент $t>0$ сдвиговое течение имеет место при значениях , удовлетворяющих алгебраическому неравенству

$erfc\xi >\frac{{\tau }_s\left(x\right)}{S_0};\xi =\frac{x}{2\sqrt{\nu t}}$ (2.1)

Точки, находящиеся внутри жестких зон, неподвижных либо движущихся поступательно как твердое целое, имеют координаты $x$, удовлетворяющие обратному к (2.1) неравенству

$erfc\xi <\frac{{\tau }_s\left(x\right)}{S_0}$ (2.2)

В зонах сдвигового течения вид касательного напряжения $\sigma \left(x,t\right)$, как следует из системы уравнений (1.6), совпадает с распределением (1.10). Из системы же (1.8) можно заключить, что в жестких зонах касательное напряжение — линейная функция от $x$, восстанавливаемая очевидным образом так, чтобы функция $\sigma \left(x,t\right)$ была непрерывной на всей полуоси $x>0$.

Поясним сказанное графически. На рис. 1 для двух моментов времени $t_1$ и $t_2$ ($0<t_1<t_2$) и фиксированного непрерывного по глубине распределения предела текучести ${\tau }_s\left(x\right)$ приведены профили касательного напряжения $\sigma \left(x,t_1\right)$ и $\sigma \left(x,t_2\right)$. Прямолинейные отрезки и предельные горизонтальные лучи на графиках соответствуют областям жестких зон, а криволинейные участки — областям вязкопластического сдвига, в которых решение $\sigma \left(x,t\right)$ описывается выражением (1.10).

 

Рис. 1

 

На рис. 2 и 3 приведены случаи кусочно-постоянных функций ${\tau }_s\left(x\right)$, т. е. слоистых композитов. Выбраны три характерных момента $t_1$, $t_2$ и $t_3$ ($0<t_1<t_2<t_3$), для которых построены профили касательного напряжения $\sigma \left(x,t_1\right)$, $\sigma \left(x,t_2\right)$ и $\sigma \left(x,t_3\right)$. Эти профили на определенных интервалах по $x$ включают в себя прямолинейные отрезки и предельные лучи, соответствующие жестким слоям и полуплоскостям.

 

Рис. 2

 

Рис. 3

 

Поскольку рассматриваемая задача статически определима, по известной функции $\sigma \left(x,t\right)$ из определяющего соотношения (1.6) и требования того, что в жесткой зоне скорость постоянна по $x$, восстанавливается профиль скорости $v\left(x,t\right)$. Для любого конечного момента времени $t_1$ интегрирование уравнения

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{\mu }\left(\sigma (x,t_1)-{\tau }_s\left(x\right)\right)$ (2.3)

с уже известной правой частью начинается с последней по глубине зоны сдвигового течения, у которой одна из границ примыкает к неподвижной полуплоскости. Непрерывно-дифференцируемая по $x$ функция $v\left(x,t_1\right)$ находится последовательно по слоям по направлению из глубины к границе $x=0$. Характерный профиль скорости $v\left(x,t_1\right)$ в случае непрерывного распределения предела текучести ${\tau }_s\left(x\right)$ приведен на рис. 4.

 

Рис. 4

 

3. Определение недоступных для измерения параметров по движению границы. Рассмотрим аналитически подробнее случай слоистого композита (рис. 2) с кусочно-постоянным распределением предела текучести

${\tau }_s=\left\{\begin{array}{c}{\tau }_s,0<x<h\\ {\tau }_s^{\text{'}},h<x<\infty \end{array}\right.{\tau }_s<{\tau }_s^{\text{'}}<S_0,$ (3.1)

где $h$ — неизвестная толщина примыкающего к границе $\partial {\Omega }_{\infty }$ менее жесткого слоя, причем параметры $h$ и ${\tau }_s$ не доступны для прямого измерения.

Выделим три интервала времени: $0<t<T$, $T<t<T\text{'}$ и $T\text{'}<t<\infty$, где моменты $T$ и $T\text{'}$ находятся из условий

$x^{*}\left(T\right)=hилиT=\frac{h^2}{4\nu {\xi }^{*2}},erfc\frac{h}{2\sqrt{\nu T^{\text{'}}}}=\frac{{\tau }_s^{\text{'}}}{S_0},$ (3.2)

а ${\xi }^{*}$ — по-прежнему корень уравнения (1.11). На рис. 2 кривые $\sigma \left(x,T\right)$ и $\sigma \left(x,T\text{'}\right)$ проходят соответственно через нижнюю и верхнюю точки разрыва функции (3.1).

1°. На первом интервале времени $0<t<T$ решения для касательного напряжения ${\sigma }_{\left(1\right)}\left(x,T\right)$ и продольной скорости $v_{\left(1\right)}\left(x,T\right)$ совпадают с (1.10) и (1.12). При этом скорость $v_{\left(1\right)}\left(0,t\right)$ границы $\partial {\Omega }_{\infty }$ имеет вид (1.13).

2°. На втором интервале $T<t<T\text{'}$ толщина области сдвига ${\Omega }_f$ не меняется со временем и равна $h$. Непрерывный по $x$ профиль касательного напряжения следующий:

${\sigma }_{\left(2\right)}(x,t)=\left\{\begin{array}{c}{S}_{0}erfc\xi ,0<x<h\\ S_0\left(1-\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{h/\left(2\sqrt{\nu t}\right)}{\int }}{e}^{-{\eta }^2}d\eta \right),h\le x<\infty \end{array}\right.$ (3.3)

Как видно из (3.2) и (3.3), с момента $t=T$ до момента $t=T\text{'}$ функция времени $\sigma \left(h,t\right)$ возрастает от значения ${\tau }_s$ до $\tau {\text{'}}_s$.

Поскольку на втором временном интервале оба граничных условия для функции $v$ заданы на фиксированных по $x$ границах и не зависят от $t$:

${\left.v_{\left(2\right)}\right|}_{x=h}=\mathrm{0,}{\left.\frac{\partial v_{\left(2\right)}}{\partial x}\right|}_{x=0}=\frac{1}{\mu }\left(S_0-{\tau }_s\right),$ (3.4)

профиль скорости перестраивается с (1.12) и начинает стремиться к отрезку

$v_{\left(2\right)}^{\infty }\left(x\right)=-\frac{1}{\mu }\left(S_0-{\tau }_s\right)\left(h-x\right)\equiv -\frac{S_0}{\mu }\left(1-\gamma \right)\left(h-x\right),$ (3.5)

соответствующему стационарному сдвиговому движению среды.

Точное решение для $v_{\left(2\right)}(x,t)$ имеет следующий вид:

$\begin{array}{c}{v}_{\left(2\right)}(x,t)=\frac{2S_0}{\mu }\sqrt{\nu t}\times \\ \times \left[\begin{array}{c}\xi erfc\xi +\frac{1}{2\sqrt{\nu t}}\left(\gamma \left(h-x\right)-herfc\frac{h}{2\sqrt{\nu t}}\right)-\\ -\frac{1}{\sqrt{\pi }}\left(e^{-{\xi }^2}-e^{-h^2/\left(4\nu t\right)}\right)\end{array}\right]\\ 0<x<h,\end{array}$ (3.6)

$\begin{array}{c}{v}_{\left(2\right)}\left(\mathrm{0,}t\right)=-\frac{2S_0}{\mu }\sqrt{\frac{\nu t}{\pi }}\left(1-e^{-h^2/\left(4\nu t\right)}\right)-\\ -\frac{S_{0}h}{\mu }\left(erfc\frac{h}{2\sqrt{\nu t}}-\gamma \right)\end{array}$ (3.7)

Сравнивая выражения (1.12) и (3.6), заметим, что

$\underset{t\to T-0}{\lim }{v}_{\left(1\right)}(x,t)=\underset{t\to T+0}{\lim }{v}_{\left(2\right)}(x,t);0<x<h$ (3.8)

Кроме того, если $\tau {\text{'}}_s\ge S_0$, т.е. $T\text{'}=\infty$, то имеет место стремление к прямолинейному профилю (3.5):

$\underset{t\to \infty }{\lim }{v}_{\left(2\right)}(x,t)=v_{\left(2\right)}^{\infty }\left(x\right)$ (3.9)

3°. На третьем интервале $t>T\text{'}$ толщина области ${\Omega }_f$ вновь начинает увеличиваться, начиная с $x=h$. Профиль касательного напряжения имеет вид

${\sigma }_{\left(3\right)}(x,t)=\left\{\begin{array}{c}{S}_{0}erfc\xi ,0<x<x^{*\text{'}}\left(t\right)=2{\xi }^{*\text{'}}\sqrt{\nu t}\\ {\tau }_s^{\text{'}},x^{*\text{'}}\left(t\right)<x<\infty \end{array}\right.,$ (3.10)

где ${\xi }^{*\text{'}}$ — постоянная величина, определяемая из алгебраического уравнения

$erfc{\xi }^{*\text{'}}={\gamma }^{\text{'}};{\gamma }^{\text{'}}=\frac{{\tau }_s^{\text{'}}}{S_0}<1$ (3.11)

Так как $\tau {\text{'}}_s>{\tau }_s$, то ${\xi }^{*\text{'}}<{\xi }^{*}$.

Продольная скорость $v\left(x,t\right)$ находится в результате интегрирования по  уравнения

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{\mu }\left({\sigma }_{\left(3\right)}(x,t)-{\tau }_s\left(x\right)\right);0<x<x^{*\text{'}}\left(t\right)$ (3.12)

с граничным условием $v\left(x^{*\text{'}}\left(t\right),t\right)=0$ и разрывным пределом текучести (3.1).

Таким образом, в момент $t=T\text{'}$ происходит еще одна после $t=T$ перестройка профиля скорости и, в частности, скорости границы $v\left(0,t\right)$, считающейся доступной для измерения. Характерный график функции $v\left(0,t\right)$ на всем временном интервале $t>0$ приведен на рис. 5. Находя из наблюдения за движением границы $x=0$ времена $T$ и $T\text{'}$, можно из формул (3.2) последовательно вычислить сначала $h$, а затем ${\tau }_s$, т. е. не доступные для прямого измерения толщину вязкопластического слоя, примыкающего к границе, и предел текучести глубинно залегающей среды. Эти данные могут быть полезны в различного рода гидро- и геофизических приложениях.

 

Рис. 5

 

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-00077).

About the authors

D. V. Georgievskii

Lomonosov Moscow State University; Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS; Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics

Author for correspondence.
Email: georgiev@mech.math.msu.su
Russian Federation, Moscow; Moscow; Moscow

V. A. Banko

Lomonosov Moscow State University

Email: mr.banko.vlad@mail.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files