Том 232 (2024)

Работа посвящена построению приближенного решения параболического дифференциального уравнения c оператором Бесселя. Решение задачи ищется в виде линейной комбинации кусочно непрерывных базисных функций, имеющих компактный носитель. Построение решения осуществляется в два этапа. Первоначально проводится аппроксимация по пространственной переменной с использованием проекционно-сеточного метода Бубнова—Галеркина. Затем конечно-разностным методом проводится приближение по t. Возникающая при этом система уравнений имеет трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки.

В работе построены новые математические модели охлаждения и замораживания живой биологической ткани плоским, достаточно протяженным линейчатым аппликатором, располагаемым на ее поверхности. Модели представляют собой двумерные краевые задачи (в том числе типа Стефана) и имеют приложение в криохирургии. Метод численного исследования поставленных задач, основан на сглаживании разрывных функций и применении к <<сглаженным>> задачам локально-одномерных разностных схем без явного выделения границы влияния холода и границ фазового перехода.

Известным методом Римана и новым методом компенсации граничного режима правой частью уравнения получены формулы Римана единственного и устойчивого классического решения первой смешанной задачи для линейного общего неоднородного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости. Из постановки смешанной задачи, определения классических решений и установленного критерия гладкости правой части уравнения выведен её критерий корректности по Адамару. Этот критерий корректности состоит из требований гладкости и трёх условий согласования правой части уравнения, граничного и начальных данных. Подтверждена справедливость полученных формул Римана и критерия корректности тем, что доказано их совпадение с известными формулами классического решения и критерием корректности для модельного телеграфного уравнения.

Для системы управления в частных производных выведен критерий полной управляемости системы. Исследование ведется методом каскадной декомпозиции, которая заключается в пошаговом эквивалентном переходе от исходной системы к редуцированнным системам в подпространствах. Получена функция, принадлежащая подпространству минимальной размерности, определяющая вид решения задачи программного управления — функций состояния и управления в аналитическом виде. Установлены необходимые и достаточные условия существования определяющей функции, приведена схема ее построения. Найдены необходимые и достаточные условия существования определяющей функции в полиномиальном, экспоненциальном, дробно-рациональном видах; приведены формулы для построения функций такого вида. Для исходной системы построено решение задачи программного управления.

Исследуется начально-граничная задача в полуполосе для неоднородного гиперболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, содержащего смешанную производную, с ненулевым потенциалом. Рассматриваемое уравнение является уравнением поперечных колебаний движущейся конечной струны. Рассматриваются общие начальные условия (ненулевой профиль струны и ненулевая начальная скорость точек струны) и закрепленные концы (условия Дирихле). Сформулированы теоремы о существовании и единственности решения и получены формулы для решения.

Задача обнаружения аномального поведения крупных программных систем может быть сведена к задаче обнаружения аномалий в потоках текстовых данных. В работе предлагается подход, основанный на комбинации глубокого обучения (автокодировщика с использованием сверточных нейронных сетей и однослойного полносвязного декодировщика) и подходов, основанных на нечетком методе кластеризации. Предложенное решение позволяет эффективно строить векторные представления групп последовательных событий и определять выбросы в данных за счет разработанного слоя, основанного на методах нечеткой кластеризации и радиально-базисных функций.