Riemann–Hilbert-type problems for the generalized Cauchy–Riemann equation with a leading coefficient having a singularity in a circle

Full Text

1. История вопроса. В конечной области $0\in D\subseteq ℂ$ рассматривается эллиптическое уравнение вида

$\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}+au+b\overline{u}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{,}$

c комплекснозначными функциями $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, заданными в ограниченной области $D$, причем коэффициенты $a$, $b$ этих уравнений могут допускать в множестве $l\in D$ степенные особенности по $z$.

Обозначим через $C_{\lambda }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\lambda \mathrm{<mo><</mo>0}$, пространство всех непрерывных в $\overline{D}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$ функций $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с точечной особенностью $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и c поведением $O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\lambda }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $z\to 0$. Оно снабжается нормой

$\parallel \phi \parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\underset{z\in D}{{\displaystyle \sup }}\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\lambda }\mathrm{<mo>|</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>,}$

относительно которой указанное пространство является банаховым.

Классическая теория И. Н. Векуа обобщенных аналитических функций (см. [3]) охватывает случай, когда коэффициенты и правая часть уравнения (1₀) принадлежат пространству $L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с показателем $p\mathrm{<mo>></mo>2}$ (везде далее считаем это условие выполненным). Коэффициенты таких систем могут допускать слабые особенности с требованием их $p$ -интегрируемости в области $D$. Уравнения с коэффициентами $a\in C_{-\alpha -1}$, $\alpha \ge 0$, и $b\in C_{-1}$ не удовлетворяют этому условию.

В монографии Л. Г. Михайлова [5] решение уравнения (1₀) с коэффициентами $a\mathrm{,}b\in C_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ищется в классе $C_{-\lambda }$, $\mathrm{0<mo><</mo>}\lambda \mathrm{<mo><</mo>1}$. Разрешимость интегрального уравнения, к которому сводится уравнение (1₀), доказывается при определенных условиях малости этих коэффициентов.

З. Д. Усмановым [11] построена теория уравнения (1₀) при $a\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\overline{z}}^{-1}\beta e^{ik\phi }$, $k\in Z$. Однако случай, когда $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\overline{z}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\beta }_1{e}^{ik\phi }+{\beta }_2{e}^{im\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где ${\beta }_1\ne {\beta }_2$, приводит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, исследование которой представляет собой весьма нетривиальную проблему и ранее не проводилось. Также показано, что для случая $a\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $b\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }$, $\alpha \mathrm{<mo>></mo>0}$, существуют решения уравнения (1₀) в виде рядов Фурье, коэффициенты которых определяются через функции Бесселя и Макдональда.

На необходимость изучения уравнений с коэффициентами, допускающими особенности не ниже первого порядка, впервые было указано И. Н. Векуа [3] и A. В. Бицадзе [2]. Понятие же сверхсингулярной особенности принадлежит Н. Р. Раджабову [8].

В последние время исследованию уравнения (1₀), а также других аналогичных уравнений с сингулярными коэффициентами были посвящены многочисленные работы (см., например, [>8, 12, 14] и др.).

В [13] изучалась разрешимость задачи Римана$–$ Гильберта для уравнения

$w_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{w}\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>1.}$

где полином $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ внутри круга $\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}\le 1$ имеет простые корни, $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Показано, что число непрерывных решений зависит не только от индекса, но и от места расположения и типа особенностей.

В настоящей статье изучен эффект влияния неизолированных особенностей в младшем коэффициенте (т.е. когда младший коэффициент имеет особенность по замкнутой линии $l$, лежащей внутри области) уравнения (1₀) [ниже уранение (1)] на постановку краевых задач. Оказывается, условие задачи Римана$–$ Гильберта по границе области недостаточно для ее корректной постановки. Естественной постановкой задачи является объединение элементы задач Римана$–$ Гильберта на границе области и задачи линейного сопряжения на окружности $—$ носителе сингулярности коэффициента лежащего внутри области.

2. Интегральное представление решения. Пусть область $D$ ограничена простым ляпуновским контуром $\Gamma$, ориентированным против часовой стрелки, содержит окружность $l\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}R\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ), и $D_0\mathrm{<mo>=</mo>}D\backslash \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}\cup l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Кроме того, для связных компонент открытого множества $D_0$ используем обозначения $D_1\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}R\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $D_2\mathrm{<mo>=</mo>}D\cap \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}R\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

В открытом множестве $D_0$ рассмотрим уравнение

$\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}-\frac{z{a}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}u+\frac{b_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^m}\overline{u}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1)

где функции $a_0\mathrm{,}{b}_0\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Относительно правой части $f$ предполагаем, что она принадлежит классу $L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{G}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, в каждой подобласти $G_0\subseteq D_0$, лежащей вне некоторой окрестности точке $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и границы $\Gamma$.

Напомним некоторые известные факты из теории эллиптических систем, изложенной в [1, 3].

Пусть в некотором открытом множестве $Q$ на плоскости задана линейная эллиптическая система первого порядка с постоянными старшими коэффициентами, младшие коэффициенты и правая часть которой принадлежат $L_{loc}^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$, т.е. принадлежат $W^{\mathrm{1,}p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в любой ограниченной области $Q_0$, лежащей в $Q$ вместе со своей границей. Тогда на основании внутренней регулярности (см. [3]) любое слабое решение $u$ этого уравнения регулярно в том смысле, что оно принадлежит классу $W_{loc}^{\mathrm{1,}p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и удовлетворяют рассматриваемой системе. В силу теоремы вложения функция $u$ в действительности принадлежит классу $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q_0}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с показателем $\mu \le \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}p$. Этот факт был доказан И. Н. Векуа в [3]. В соответствии с этим в дальнейшем функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in W_{loc}^{\mathrm{1,}p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющая уравнению (1) почти всюду, называется его регулярным решением.

Рассмотрим сначала случай

$u_{\overline{z}}-au\mathrm{<mo>=</mo>}f$ (2)

с коэффициентом

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{a_{\mathrm{<mo>*</mo>}}z}{\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{a}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in ℂ\mathrm{,}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

При построении общего решения уравнения (2) и его описания существенную роль играет интегральный оператор Помпейю$–$ Векуа:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_D}\frac{f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta }{\zeta -z}\mathrm{,}$

с плотностью $f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая обладает свойством ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}f$. Здесь и ниже $d_2\zeta$ означает элемент площади.

Лемма 1. Одним из решений уравнения ${\Omega }_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}a$ в множестве $D_0$ является функция

$\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{a}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\ln \mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-R\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\in D_0\mathrm{.}$ (3)

Доказательство непосредственно получится из равенств ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\ln \mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-R\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}z{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_0$.

Теорема 1. Пусть функция $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет вид (3) и $e^{-\Omega }f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда общее решение уравнения (2) в классе $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\backslash l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дается формулой

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\varphi +T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

где $\varphi \in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\backslash l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольная аналитическая функция в открытом множестве $D\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}l\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

Утверждение показывает, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-R{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{2a_{\ast }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}\to R$. Используя обозначение $f_0\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }f$, уравнение (1) с ненулевыми $a_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $b_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с помощью леммы 1 по отношению к функции $\phi \mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }u\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно свести к уравнению

${\phi }_{\overline{z}}+b_{0}c\overline{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_0\mathrm{,}$

которое эквивалентным образом редуцируется к интегральному уравнению

$\phi +T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_1\overline{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varphi +T{f}_0\mathrm{,}$ (4)

где $b_1\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{0}c$, $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-2iIm\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, функция $\varphi \in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ аналитична в $D$. Для исследования уравнения (4) необходимо предварительно изучить действие в различных пространствах интегрального оператора вида

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_0\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_D}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta }{\mathrm{<mo>|</mo>}\zeta {\mathrm{<mo>|</mo>}}^m\mathrm{<mo>|</mo>}\zeta -z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}\mathrm{,}z\in D\mathrm{,}$

где положительные $m$, $\alpha$ удовлетворяют условиям

$\mathrm{0<mo><</mo>}m\mathrm{<mo><</mo>1}\le \alpha \mathrm{<mo><</mo>}\frac{3-m}{2}\mathrm{,}$

так что $\mathrm{0<mo><</mo>3}-m-2\alpha \mathrm{<mo><</mo>1}$.

Лемма 2 (см. [15]). Пусть

$p\mathrm{<mo>></mo>}\frac{2}{3-m-2\alpha }\mathrm{,}\mu \mathrm{<mo>=</mo>3}-m-2\alpha -\frac{2}{p}\mathrm{.}$

Тогда оператор $K_0\mathrm{<mo>:</mo>}{L}^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничен.

Из леммы 2 следует, что при $m+\mu +\mathrm{2<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo><</mo>1}$ оператор $T{b}_1\mathrm{<mo>:</mo>}$ $L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничен и компактен в каждом из пространств $L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, принадлежащих классу $C^{\mu }$ в каждой из компонент связности множества $D_0$. Согласно (4) в представлении общего решения уравнения (2) важную роль играет линейный интегральный оператор $K\phi \mathrm{<mo>=</mo>}T{b}_1\overline{\phi }$, а также связанное с ним уравнение Фредгольма $\phi +K\phi \mathrm{<mo>=</mo>}f$.

Теорема 2.

>(a>) Однородное уравнение $\phi +K\phi \mathrm{<mo>=</mo>0}$ в классе $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет конечное число линейно независимых (над полем $ℝ$ ) решений ${\phi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\phi }_n\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и существуют такие линейно независимые суммируемые функции $h_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{h}_n$, что условия ортогональности

$Re{\displaystyle {\int }_D}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta \mathrm{<mo>=</mo>0,}1\le j\le n\mathrm{,}$ (5)

являются необходимыми и достаточными для разрешимости неоднородного уравнения $\phi +K\phi \mathrm{<mo>=</mo>}f$.

>(b>) При выполнении условий (5) любое решения уравнения $\phi +K\phi \mathrm{<mo>=</mo>}f$ дается формулой $\phi \mathrm{<mo>=</mo>}f+Pf$, с оператором

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Pf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_D}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+p_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}{d}_2\zeta }{\mathrm{<mo>|</mo>}\zeta {\mathrm{<mo>|</mo>}}^m\mathrm{<mo>|</mo>}\zeta -z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}\mathrm{,}$ (6)

где $1\le \alpha \mathrm{<mo><</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>3}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}$, который действует из пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в пространство $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 любое решение $u$ уравнения (1) с правой частью $f_0\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ представимо в виде

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\Omega }\left[\varphi +T{f}_0+P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi +T{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _1^n}{\xi }_j{\phi }_j\right]$ (7)

с произвольными ${\xi }_j\in ℝ$, и функция $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, аналитическая в области $D$, удовлетворяет условиям

$Re{\displaystyle {\int }_D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi +T{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta \mathrm{<mo>=</mo>0,}1\le j\le n\mathrm{.}$

Схемы доказательства теорем 2, 3 приведены в [15].

3. Постановка краевой задачи. Для уравнения (2), исследуем краевую задачу, объединяющую элементы задач Римана$–$ Гильберта на $\Gamma$ и линейного сопряжения на $l$.

Задача $R$. Найти регулярное решение уравнения (2) в классе $e^{-\Omega }u\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, по краевым условиям

$ReG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \Gamma \mathrm{<mo>;</mo>}$

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in l\mathrm{,}$

где знаки $+$ и $-$ указывают на граничные значения со стороны $D_1$ и $D_2$.

Эту задачу рассматриваем при следующих требованиях на ее данные:

(i) $e^{-\Omega }f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

>(ii>) коэффициенты $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всюду отличны от нуля, причем $\ln G_1\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

>(iii>) правые части краевых условий удовлетворяют условиям $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Предварительно напомним хорошо известные результаты относительно классической задачи Римана$–$ Гильберта в монографиях Н. И. Мусхелишвили [6] и Ф. Д. Гахова [4]:

Классическая задача Римана$–$ Гильберта. Найти аналитическую в области $D$ функцию $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая на границе $\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\partial D$ удовлетворяет условию

$ReG\varphi {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{,}$ (8)

 где функция $G\mathrm{<mo>=</mo>}{G}_1+i{G}_2\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всюду отлична от нуля, $H$ $—$ класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера с некоторым показателем (см. [6]).

В дальнейшем воспользуемся компактным изложением А. П. Солдатова относительно решения задачи Римана$–$ Гильберта (8) и вкратце приведем некоторые факты о разрешимости этой задачи в случае единичного круга $\mathbb{D}$ с границей $\mathbb{T}\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \mathbb{D}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1<mo>\}</mo>}$. C этой целью функцию $\varphi$ продолжим в область $ℂ\backslash \mathbb{D}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>1<mo>\}</mo>}$, полагая, что она удовлетворяет условию $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}{\varphi }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, где ${\varphi }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ определяется с помощью инверсии ${\varphi }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\overline{\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Операция $\varphi \to {\varphi }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, являющаяся линейной, над полем $ℝ$ инволютивна, т.е. ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varphi }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\varphi$. Видно, что ${\varphi }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\overline{{\varphi }^{\mp }}$, $t\in \mathbb{T}$. Очевидно, задачу (8) с коэффициентом $G$ можем представить в форме

${\varphi }^{+}-\tilde{G}{\varphi }^{-}\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{g}$ (9)

по отношению к коэффициенту $\tilde{G}\mathrm{<mo>=</mo>}-\overline{G}\mathrm{<mo>/</mo>}G$ и правой части $\tilde{g}\mathrm{<mo>=</mo>2}g\mathrm{<mo>/</mo>}G$.

Исследование последней задачи с коэффициентом $\tilde{G}\mathrm{<mo>=</mo>}-\overline{G}\mathrm{<mo>/</mo>}G$ осуществляется с помощью так называемой $\tilde{G}$ -канонической функции. По определению под ней понимается функция $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая аналитична в каждой связной компоненте $\mathbb{D}$, $ℂ\backslash \mathbb{D}$ и продолжается по непрерывности на ее замыкание $\overline{\mathbb{D}}$, $\overline{ℂ\backslash \mathbb{D}}$ и всюду отлична от нуля, включая ее граничные значения $X^{\pm }$, вместе с $X^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет конечный порядок на бесконечности и удовлетворяет соотношению

$X^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{G}{X}^{-}\mathrm{.}$

Лемма 3. Пусть $\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}In{d}_{\Gamma }G$, так что функция $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\arg G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\varkappa \arg t\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и пусть

$R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1,}& \mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>1,}\\ z^{2\varkappa }\mathrm{,}& \mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>1,}\end{array}\right.\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\frac{\pi -2\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{t-z}dt\mathrm{.}$

Тогда функция

$X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}$

является $\tilde{G}$ -канонической и обладает свойством

$X_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}^{-2\varkappa }\mathrm{.}$

Теорема 4. В условиях леммы 3 все решения задачи (8) в классе $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\mathbb{D}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ описываются формулой

$\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Ig\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}p\in P_{-2\varkappa }^0\mathrm{,}Ig\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\frac{g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{dt}{t-z}\mathrm{,}$ (10)

где функция $g$ удовлетворяет условиям ортогональности

${\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\frac{g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0,}q\in P_{2\varkappa -2}^0\mathrm{,}$ (11) где $P_k^0$ $—$ класс многочленов степени $k$.

Доказательство. Как уже отмечалось, при дополнительном условии $\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}{\varphi }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ задача (8) эквивалентна задаче (9). Последняя представляет собой задачу линейного сопряжения по отношению к $\tilde{G}\mathrm{<mo>=</mo>}-\overline{G}\mathrm{<mo>/</mo>}G$ и $g\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo>/</mo>}G$. Следовательно, мы приходим к теореме 4.

Очевидно, при $\varkappa \le 0$ размерность пространства $P_{-2\varkappa }^0$ над полем $ℝ$ равна $-2\varkappa +1$. Аналогично, при $\varkappa \ge 0$ размерность пространства $P_{2\varkappa -2}^0$ равна $2\varkappa -1$. Во всех случаях индекс задачи (8) равен $-2\varkappa +1$ и, в частности, всегда отличен от нуля.

Остановимся еще на граничном значении функции

$A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2,}z\in \mathbb{D}\mathrm{,}$

фигурирующей в представлении канонической функции $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В явном виде

$A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\pi i}{2}-\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\frac{\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt}{t-z}+\frac{i}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_{1}t\mathrm{,}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\pi i}{2}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_{1}t\mathrm{.}$

По формуле Сохоцкого$–$ Племеля отсюда

$A^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\pi i}{2}-ia\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\frac{\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt}{t-t_0}+\frac{i}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_{1}t\mathrm{.}$

Полагая $e^{2i\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0\mathrm{<mo>/</mo>}t$, можем записать

$\frac{dt}{t-t_0}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{i{d}_{1}t}{1-e^{2i\beta }}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{i-\mathrm{ctg}\beta }{2}{d}_{1}t\mathrm{,}$

так что

$A^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\pi i}{2}-ia\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{ctg}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}{d}_{1}t\mathrm{.}$

Следовательно, функцию $A$ можем однозначно определить по условиям

$Im{A}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi }{2}-\theta \mathrm{,}ReA\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\mathbb{T}}}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_{1}t\mathrm{.}$ (12)

Доказательство завершено.

Обратимся к общему случаю односвязной области $D$. Пусть простой контур $\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\partial D$ принадлежит классу $C^{\mathrm{1,}\mu }$; тогда по теореме Келлога конформное отображение $w\mathrm{<mo>=</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ этой области на единичный круг $\mathbb{D}$ принадлежит классу $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ или, что равносильно, его производная удовлетворяет условию ${\omega }^{\prime }\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Зафиксируем точку $z_0\in D$; по условию $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Теорема 5. Пусть $\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}In{d}_{\Gamma }G$, так что $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\arg G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\varkappa \arg t\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и пусть $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}$, где функция $\Theta \in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется как решение задачи Дирихле

$Im{\left(\Theta -\frac{1}{2}\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi }{2}-\theta \mathrm{,}Re\Theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\omega }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{d}_{1}t\mathrm{.}$ (13)

Тогда все решения задачи (8) в классе $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ описываются формулой

$\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{{\omega }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt}{\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}p\in P_{-2\varkappa }^0\mathrm{,}$ (14)

где функция $g$ удовлетворяет условиям ортогональности

${\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}{\omega }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0,}q\in P_{2\varkappa -2}^0\mathrm{.}$ (15)

Доказательство почти очевидно.

4. Решение задачи $R$. Решения задачи $R$ рассмотрим в двух случаях: (a) область $D$ является единичным кругом $\mathbb{T}$; (b) $D$ $—$ произвольная конечная область, ограниченная гладким замкнутым контуром $\Gamma$.

Случай (a). Рассмотрим задачу $R$ в случае единичного круга $\mathbb{T}$; тогда $l\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}R\mathrm{<mo><</mo>1<mo>\}</mo>}$. Рассмотрим задачу (B). Пусть $G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, $g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $t\in l$. Тогда она примет вид

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_l^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_l^{-}\mathrm{,}$

где $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{a}_{\ast }\ln \mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-R\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Из формулы $u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\varphi +T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ теоремы 1 видно, что аналитическая функция $\varphi$ определяется по $u$ однозначно и восстанавливается по формуле

$\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }u-T{e}^{-\Omega }f\mathrm{.}$

Соответствие между решением $e^{-\Omega }u\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\mathbb{T}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (2) и аналитический в $\mathbb{T}$ функцией $\varphi \in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\mathbb{T}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является взаимно однозначным. Так как $f_0\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }f\in L^p$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$, то ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\mathbb{T}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}T{f}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in l$. Следовательно, задача (B_>0) в данном случае сводится к эквивалентной задаче: ${\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in l$, где через ${\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно обозначены предельные значения функций ${\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно из областей $D_1$ и $D_2$.

Известно, что условие ${\varphi }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\varphi }^{-}$ на $l$ определяет аналитическую функция в области $D_1\cup D_2\cup l$. Этот факт позволяет нам переходить к изучению краевой задачи $A$ и перевести ее к краевой задаче Гильберта со следующими данными:

$Re{G}_0\varphi {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_0\mathrm{,}$

с коэффициентом $G_0\mathrm{<mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{\Omega }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }$ и правой частью

$g_0\mathrm{<mo>=</mo>}f-Re\left[G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{\Omega }T{e}^{-\Omega }f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\right]\mathrm{,}$

и сформулировать ее решение в виде теоремы 5 в рассмотренном случае (a).

Переходим к второму случаю, когда $G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 1$, $g_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ для всех $t\in l$.

Теорема 6. При выполнении условий теоремы 1 задача $R$ является фредгольмовой в классе

$\mathrm{<mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo>:</mo>}{e}^{-\Omega }u\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ (16)

и ее индекс равен

$IndR\mathrm{<mo>=</mo>1}-2\varkappa \mathrm{,}\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }\arg G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{.}$

Более точно, все решения задачи $R$ в классе $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ описываются формулой

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\varphi +T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

где функция $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется по формуле

$\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\pi i}{\displaystyle {\int }_l}\frac{g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{dt}{t-z}+X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}p\in P_{-2\varkappa }^0\mathrm{,}$ (17)

где каноническая функция $X$ фигурирует в теореме 4 и функция $g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ удовлетворяет условиям ортогональности

${\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0,}p\in P_{2\varkappa -2}^0\mathrm{,}$ (18)

причем $g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}g-Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha e^{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{f}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}-Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}G{X}_1\psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }$,

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_l}\frac{g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dt\mathrm{,}{g}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}T{f}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_l\mathrm{.}$

По теореме 1 общее решение $u$ уравнения (2) в классе (16) представимо в виде

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\varphi +T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

где аналитическая в $D\backslash l$ функция $\varphi$ принадлежит $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_1\cup D_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Кроме того, в силу леммы 1, имеем $\Omega \in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поэтому, подставляя данное представление в (A) и (A), в результате для $\varphi$ получим краевую задачу

$Re{G}_0\varphi {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_0\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\varphi }^{+}-G_1{\varphi }^{-}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_l\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_2\mathrm{,}$ (19)

с коэффициентом $G_0\mathrm{<mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{\Omega }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }$ и правыми частями

$g_0\mathrm{<mo>=</mo>}f-Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{\Omega }T{f}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{g}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}_l\mathrm{.}$

Заметим, что

$\frac{1}{2\pi }\arg G_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }\arg G{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}\varkappa \mathrm{.}$ (20)

Согласно хорошо известным свойствам интеграла типа Коши (см. [6]) функция

$X_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \left(\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_l}\frac{\ln G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt}{t-z}\right)\mathrm{,}z\in D_0\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_1\cup D_2\mathrm{,}$ (21)

принадлежит классу $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{D}}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, причем ее граничные значения $\ln X_1^{\pm }\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на окружности $l$ удовлетворяет краевому условию $X_1^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{G}_1{X}_1^{-}$. Поэтому второе краевое условие в (19) можно записать в виде

$\frac{{\varphi }^{+}}{X_1^{+}}-\frac{{\varphi }_1^{-}}{X_1^{-}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{g_2}{X_1^{+}}\mathrm{.}$

Функция

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_l}\frac{g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dt$

принадлежит классу $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{D}}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, и удовлетворяет краевому условию

${\psi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Следовательно, разность

${\varphi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (22)

аналитична в области $D$ и принадлежит классу $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В результате подстановки (22) в первое условие (18) приводит к эквивалентной задаче Римана$–$ Гильберта

$Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_1{\varphi }_1{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_1\mathrm{,}$

где ${\alpha }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{G}_0{X}_1{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }$ и $f_1\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_0-Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{G}_0{X}_1\psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }$. Нетрудно видеть, что равенство (19) сохраняется и для $G_1$. Положим

$g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}g-Re\left[G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{\Omega }T{e}^{-\Omega }f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\right]-Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}G{X}_1\psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{,}$ (23)

где

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_l}\frac{g_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X_1^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dt\mathrm{,}{g}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_l\mathrm{.}$

Обратимся к общему случаю односвязной области $D$. Пусть простой контур $\Gamma \in C^{\mathrm{1,}\mu }$; тогда по теореме Келлога конформное отображение $w\mathrm{<mo>=</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ этой области на единичный круг $\mathbb{D}$ принадлежит классу $C^{\mathrm{1,}\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ . Зафиксируем точку $z_0\in D$ по условию $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Следовательно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 7. При выполнении условий теоремы 1 задача $R$ является фредгольмовой в классе

$\mathrm{<mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo>:</mo>}{e}^{-\Omega }u\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

и ее индекс

$IndR\mathrm{<mo>=</mo>1}-2\varkappa \mathrm{,}\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi }\arg G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{.}$

Более точно, в обозначениях теоремы 6 и (21), (23) все решения задачи $R$ в классе $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ описываются формулой

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi +T{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{X}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[\frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{{\omega }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt}{\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\right]\mathrm{,}$

где $p\in P_{-2\varkappa }^0$, а функции $q$, $g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ удовлетворяет условиям ортогональности

${\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{g_1^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}{\omega }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0,}q\in P_{2\varkappa -2}^0\mathrm{.}$

5. Краевая задача для уравнения (1). Теперь рассмотрим выше рассмотренную задачу для общего уравнения (1).

Задача $R_1$. Найти регулярное решение $u$ уравнения (1) в классе

$e^{-\Omega }u\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$

по краевым условиям

$ReG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \Gamma \mathrm{<mo>;</mo>}$

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in l\mathrm{,}$

где знаки $+$ и $-$ указывают на граничные значения со стороны $D_1$ и $D_2$.

Эту задачу рассматриваем при следующих требованиях на ее данные: [ (i)]

(i) $e^{-\Omega }f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

>(ii>) коэффициент $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всюду отличен от нуля;

>(iii>) правая часть краевого условия удовлетворяет условию $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Для решения этой задачи используем теорему 3 об интегральном представлении решений уравнения (1).

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 3 и $f_0\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$. Тогда задача $R$ является фредгольмовой в классе $\mathrm{<mo>\{</mo>}u\mathrm{,}{e}^{-\Omega }u\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ и ее индекс равен $1-2\varkappa$. Другими словами, однородная задача имеет конечное число $m$ линейно независимых решений, неоднородная задача разрешима при выполнении некоторого числа $m^{\prime }$ условий ортогональности на правую часть $f$ уравнения (1) и правой части $g$ задачи R ${}_1$, причем $m-m^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>1}-2\varkappa$.

Доказательство. Подставляя представление (7) в задачу R ${}_1$, для аналитической функции $\varphi$ вместе с дополнительными условиями

$Re{\displaystyle {\int }_D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi +T{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta \mathrm{<mo>=</mo>0,}1\le j\le n\mathrm{,}$

получим краевую задачу

$Re{G}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi +R\varphi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }+{\displaystyle \sum _1^n}{\xi }_{j}Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{G}_0{\phi }_j{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_0\mathrm{,}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{-}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_1$ (24)

с коэффициентом $G_0\mathrm{<mo>=</mo>}G{e}^h{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }$ и правыми частями

$g_0\mathrm{<mo>=</mo>}g-Re\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{G}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}_0+P{f}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{,}{g}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{-}\mathrm{.}$

Неизвестными в этой задаче вместе с $\varphi$ являются и вещественные числа ${\xi }_j$.

Из теоремы 3 следует, что для достаточно малого $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ оператор $P\mathrm{<mo>:</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to C^{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничен, функция $f_0\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а функция $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ аналитична в области $D$. Отсюда следует, что второе условие задачи (24) эквивалентно к ${\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in l$. Это позволяет нам записать соотношения (24) в следующем операторном виде:

$R^0\varphi +P^0\varphi +{\displaystyle \sum _1^n}{\xi }_j{\phi }_j^0\mathrm{<mo>=</mo>}{g}^0\mathrm{,}Re{\displaystyle {\int }_D}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}{\eta }_j\mathrm{,}1\le j\le n\mathrm{,}$ (25)

где

$R^0\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}Re{G}_0\varphi {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{,}{P}^0\varphi \mathrm{<mo>=</mo>}Re{G}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\varphi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{,}{\phi }_j^0\mathrm{<mo>=</mo>}Re{G}_0{\phi }_j{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\Gamma }\mathrm{,}{g}^0\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_0\mathrm{,}{\eta }_j\mathrm{<mo>=</mo>}-Re{\displaystyle {\int }_D}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta \mathrm{.}$

Обозначим $X$ банахово пространство функций $\varphi$, которые аналитичны в $D$ и принадлежат $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть $Y^0\mathrm{<mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ пространство вещественных функций. Тогда при достаточно малом показателе Гельдера $\mu$ оператор $R^0\mathrm{<mo>:</mo>}X\to Y^0$ ограничен, а с учетом теоремы 3 оператор $P^0\mathrm{<mo>:</mo>}X\to Y^0$ компактен. Как видно из теоремы 8, оператор $R^0\mathrm{<mo>:</mo>}X\to Y^0$ фредгольмов и его индекс равен $1-2\varkappa$, поэтому на основании известных свойств (см. [7, 10]) фредгольмовых операторов это же верно и для оператора $N\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}^0+P^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. С другой стороны, оператор системы (25) можно рассматривать как ограниченный оператор $\tilde{N}\mathrm{<mo>:</mo>}X\times {ℝ}^n\to Y^0\times {ℝ}^n$, главная часть которого совпадает с $N$. Поэтому (см. [7, 10]) оператор $\tilde{N}$ также фредгольмов и его индекс $Ind\tilde{N}\mathrm{<mo>=</mo>}IndN\mathrm{<mo>=</mo>1}-2\varkappa$. Остается заметить (см. [6]), что система (25) эквивалентна исходной задаче R ${}_1$.

About the authors

Abdurauf B. Rasulov

Russian National Research University “Moscow Power Engineering Institute”

Author for correspondence.
Email: rasulzoda55@gmail.com
Russian Federation, Moscow

Yurii S. Fedorov

Russian National Research University “Moscow Power Engineering Institute”

Email: FedorovYS@mpei.ru
Russian Federation, Moscow

Anna M. Sergeeva

Russian National Research University “Moscow Power Engineering Institute”

Email: hmelevs@ya.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files