Completeness of exponential systems
- Authors: Khabibullin B.N.1, Kudasheva E.G.2
-
Affiliations:
- Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
- Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы
- Issue: Vol 233 (2024)
- Pages: 107-117
- Section: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2782-4438/article/view/257221
- ID: 257221
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper, we establish completeness conditions for exponential systems in spaces of functions that are continuous on a compact set with connected complement and holomorphic inside this compact set, in spaces of holomorphic functions in a bounded simply connected domain in terms of the Euclidean area of the convex hull of this compact set or a domain and in terms of some special characteristics or distribution densities of the exponents of the exponential system.
Full Text
1. Введение
1.1 Некоторые обозначения, понятия и соглашения
Пустое множество обозначаем через , "— множество всех натуральных чисел, , "— расширение множества со стандартным отношением порядка и точной верхней гранью , для которой неравенства выполнены при всех . Множество всех действительных чисел с таким же отношением порядка рассматриваем и как вещественную ось в комплексной плоскости с евклидовой нормой "— модулем . Порядковое пополнение множества верхней и нижней гранями и определяет расширенную вещественную ось , где, в дополнение к стандартным допустимым операциям, полагаем . Величина рассматривается и как функция, тождественно равная , как правило, на плоскости . Символом наряду с , обозначаем и нулевые функции, меры и т. п.
Промежутки с концами и "— это множества "— отрезок в , , , а и , "— открытые промежутки в , образующие базу открытых множеств при . Используем также обозначение для положительной полуоси с расширением . При этом величина положительна при , строго положительна при , отрицательна при , строго отрицательна при , "— положительная часть величины , "— её отрицательная часть.
Обозначим через и , а также , соответственно, открытый и замкнутый круги, а также окружность с центром в нуле радиуса . Для через , , и обозначаем соответственно замыкание, внутренность, границу и выпуклую оболочку множества в . Таким образом, при имеют место равенства и , но не при , поскольку в этом случае это уже не так, а именно: .
Для расширенной числовой функции через обозначаем её положительную часть, а через "—отрицательную часть. Если , то функция положительная, а если , то отрицательная. Если и для любых из следует нестрогое неравенство (соответственно, строгое неравенство ), то функция возрастающая (соответственно, строго возрастающая) на ; функция убывающая (соответственно, строго убывающая) на , если противоположная функция возрастающая (соответственно, строго возрастающая) на .
1.2 Постановка задачи
Всюду далее через обозначаем распределение точек на комплексной плоскости , среди которых могут быть повторяющиеся. Распределение точек однозначно определяется функцией, действующей из в и равной в каждой точке количеству повторений этой точки в . Для такой функции, которую часто называют функцией кратности распределения точек (см. [13, пп.~0.1.2--0.1.3]), или его дивизором, сохраняем то же самое обозначение . Другими словами, "— это количество вхождений точки в распределение точек ; пишем , если . Распределение точек можно эквивалентным образом трактовать и как распределение масс, или меру, со значениями в с тем же самым обозначением:
для любого (1)
Если считающая радиальная функция
(2)
для конечна при каждом , т.е. для всех , то "— локально конечное распределение.
Евклидову площадь множества обозначаем через
если двойные интегралы справа корректно определены, или множество измеримо по плоской мере Лебега на . В частности, это всегда имеет место для выпуклых ограниченных .
Система векторов из топологического векторного пространства полна в нём, если замыкание линейной оболочки этой системы совпадает с этим пространством. Для распределения точек на в данной статье далее исследуется полнота лишь экспоненциальных систем
(3)
с распределением показателей , что, в частности, актуально в спектральной теории операторов.
Для функции на со значениями в или в полагаем
, (4)
а через обозначаем пространство непрерывных функций с "=нормой (4). Для открытого подмножества через обозначаем пространство голоморфных функций с топологией равномерной сходимости на всех компактах , определяемой "=полунормами . Для компакта с внутренностью через обозначаем банахово пространство непрерывных на и голоморфных на внутренности функций с "=нормой . Таким образом, если в последнем случае "— пустое множество, то "— это банахово пространство непрерывных на функций со значениями в . Книга [13, п. 3.2] содержит детальный обзор по вопросам полноты экспоненциальных систем по состоянию вплоть до 2012 г. в разнообразных функциональных пространствах "— в значительной мере именно для пространств или функций соответственно на области или компакте . Основная задача "— получить условия полноты экспоненциальной системы из (3) в функциональных пространствах или , когда соответственно для ограниченной области или компакта априори известна лишь евклидова площадь его выпуклой оболочки или площадь в случае выпуклой соответственно области или компакта . Естественно требовать, чтобы эти условия выражались через соотношения между какими-либо характеристиками распределения точек"=показателей и площадью и были точны. В данной работе мы не останавливаемся на подтверждении точности наших результатов, хотя это так и есть, например, для любых выпуклых . Требуемые для этого примеры основаны на построении довольно тонких примеров целых функций экспоненциального типа и очень регулярного роста, особенно для компактов . Построение таких примеров предполагается обсудить в другой работе.
1.3 Основные результаты
В теории целых функций одной комплексной переменной (см. [5, 6, 8]) а также в некоторых других вопросах, связанных с геометрией на плоскости (см. [8, отдел третий, гл. 3, §1], [11, гл. 1, §2]), опорную функцию подмножества чаще всего определяли как функцию
(5)
По построению (5) -периодические на опорные функции множества , его замыкания в , выпуклых оболочек , и замыкания совпадают. Сдвиг компакта или ограниченной области в не влияет на полноту экспоненциальной системы соответственно в пространстве или . Поэтому, не умаляя общности, всюду далее нам удобно считать, что, после сдвига ограниченного и сохранении за ним того же обозначения , нулевая точка принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества , т.е. выполнено условие
(6)
Если "— компакт, то условие (6) эквивалентно условию . Кроме того, по определению (5) для произвольного условие (6) эквивалентно положительности опорной функции
(7)
При трактовке распределения точек как распределения масс (1) для любой положительной функции на можно корректно определить сумму
. (8)
Для точки через обозначаем множество значений всех её угловых аргументов. Для "=периодической функции на со значениями в однозначно определены значения этой функции на для любых . При ограниченном считающую радиальную функцию для распределения точек по аргументам относительно определяем как
(9)
При условии (6)–(7) функция положительная, возрастающая и непрерывная справа на .
Для или их опорные функции тождественно равны
(10)
"— считающая радиальная функция из (2). В отличие от последней считающая радиальная функция для по аргументам относительно ограниченного учитывает распределение точек из не только по радиусу, но и по аргументам.
Комплексно сопряжённое к с и число обозначаем через , а для подмножества сопряжённое подмножество, зеркально симметричное относительно вещественной оси , обозначаем с опорной функцией .
Следующая теорема "— частный случай результата, анонсированного в [14, основная теорема].
Теорема 1 Пусть "— распределение точек в . Если для компакта со связным дополнением при оговорённом в (6)–(7) условии для некоторого строго положительного выполнено равенство
(11)
то система из (3) полна в пространстве .
Следствие 1 Если для произвольных распределения точек в и ограниченной односвязной области при условии (6)–(7) выполнено неравенство
(12)
то система из (3) полна в пространстве .
Замечание 1 Величину в левой части неравенства (12) по аналогии с подобными плотностями из [19], [21, гл.22], [13, гл.3], [4], [9], [10] можно назвать верхней логарифмической блок"=плотностью для относительно евклидовой площади выпуклой оболочки множества .
2. Доказательства результатов
Доказательство теоремы 1. Предположим противное, а именно: в условиях теоремы 1 система не полна в пространстве . Тогда по теореме Рисса о представлении линейных непрерывных функционалов на пространстве вкупе с теоремой Хана"– Банаха о продолжении линейных непрерывных функционалов с сохранением нормы "— в данном случае с замкнутого подпространства в , а также из известных следствий из неё, существует борелевская комплекснозначная мера с носителем в , аннулирующая экспоненциальную систему , но не аннулирующая хотя бы одну функцию из . Последнее означает, что заданная преобразованием Фурье"– Лапласа целая функция
(13)
обращается в нуль на с учётом кратности, а именно: кратность корня функции в каждой точке не превышает . В силу связности дополнения целая функция из (13) ненулевая. Действительно, если , то согласно (13) мера аннулирует экспоненциальную систему , замыкание линейной оболочки которой содержит все многочлены (см. [3, теорема1], [13, гл.1, п. 1.1.1, пример 1.1.1]). Следовательно, мера аннулирует все многочлены. Но по теореме"=критерию Мергеляна при условии связности множество всех многочленов плотно в . Тогда мера аннулирует все функции из , что не согласуется с выбором меры . Таким образом, далее .
В обозначении для полной вариации меры и записи в полярной форме с и для целой функции из (13) имеет место оценка сверху
где по определению опорной функции (5)
"— значения опорной функции сопряжённого компакта в точках . Следовательно, эта оценка после логарифмирования может быть продолжена как
(14)
Поскольку целая функция ненулевая, можем рассмотреть субгармоническую функцию
(15)
с распределением масс Рисса, или мер Рисса (см. [16, 17, 20])
(16)
где "— оператор Лапласа, действующий на субгармоническую функцию как обобщённую функцию на пространстве основных финитных функций на . В частности, ввиду обращения в нуль целой функции на и известного вида [20, теорема 3.7.8] распределения масс Рисса субгармонической функции при рассмотрении распределения точек как распределения масс в смысле (1) имеет место неравенство
и, как следствие, приходим к неравенству
для распределений масс и на . Это неравенство в силу положительности при условии (6) по условию"=равенству (11) показывает, что
(17)
где в порядке переноса определения (9) с распределений точек на распределения масс мы положили
(18)
"— считающая радиальная функция для распределения масс по аргументам относительно вне , которая при (6)–(7) положительная, возрастающая и непрерывная справа на . Напомним, что для субгармонической на и непрерывной функции (см. [2])
(19)
её распределение масс Рисса определяется как произведение мер [13, п. 3.3.1] через её плотность
(20)
в полярных координатах, где "— длина дуги границы , отсчитываемой при движении по границе <<против часовой стрелки>> от последней точки опоры опорной к компакту прямой, ортогональной положительной полуоси , до последней точки опоры опорной к компакту прямой, ортогональной направлению радиус-вектора точки (см. [1, 11, 13]). В частности, вычисление площади выпуклого компакта путём аппроксимации его выпуклыми описанными многоугольниками, площади которых вычисляются через сумму площадей внутренних треугольников с центрами в нулей как половины произведений длин апофем на длины соответствующих сторон, дают равенство для площади
(21)
Отсюда для вычитаемого произведения с из (17) при всех имеем
(22)
а для интеграла из (17) при всех интегрирование по частям даёт равенство
(23)
При этом в силу (14) и (15) имеют место отграничения
(24)
откуда "— субгармоническая функция конечного типа при порядке (см. [16, гл. 4]), для которой
(25)
В частности, из последнего предельного соотношения ввиду ограниченности на получаем
откуда для первых двух слагаемых в правой части (23) имеем
а последний интеграл в (23) согласно (18) можем записать как
Отсюда согласно (17) и (22) получаем
(26)
Итоговая наша задача "— получить противоречие между этим равенством и ограничением (24), показав,что из (24) следует конечность левой части (26). Для этого рассмотрим функцию
(27)
которая по построению положительна на ввиду условия (6)–(7), обращается в нуль на окружности и непрерывна ввиду непрерывности опорных функций ограниченных множеств. Кроме того, согласно последнему равенству в (27), функция представляет собой точную верхнюю грань локально ограниченного сверху семейства гармонических на функций
Отсюда сразу следует, что функция субгармонична на .
При этом выпуклый компакт можно представить как пересечение последовательности выпуклых компактов , вложенных друг в друга, для которых их опорные функции дважды непрерывно дифференцируемы. По построению убывающая последовательность положительных опорных функций стремится к опорной функции и функции
(28)
согласно обоснованному выше, положительны на , а также субгармоничны и имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно на .
Далее нам потребуется следующее объединение двух утверждений из [12], которые могут быть выведены и по общим интегральным формулам из [7, теорема 2].
Лемма 1 (см. [12, леммы~2.2--2.3]). Пусть и функция положительна на замкнутом кольце , субгармонична в его внутренности , тождественно равна нулю на окружности и совпадает с сужением на некоторой дважды непрерывно дифференцируемой в окрестности кольца функции. Используя инверсию функции относительно окружности , построим положительную на функцию
(29)
Тогда для любой пары субгармонических на окрестности круга функций и с распределениями масс Рисса соответственно и из неравенства на этой окрестности следует неравенство
(30)
где "— оператор дифференцирования по внешней нормали к кольцу на .
Интегральное среднее функции по окружности обозначим следующим образом:
(31)
Следующая лемма "— предельная форма предшествующей леммы 1.
Лемма 2 Пусть в убывающей последовательности функций каждая из них обладает теми же свойствами, что и функция в предыдущей лемме, а также модули производных по радиусу от них равномерно по ограничены сверху во всех точках на окружности некоторым числом . Обозначим теперь через уже предельную функцию для последовательности . Тогда для субгармонических на окрестности замкнутого круга функций , где , имеет место неравенство
(32)
Доказательство леммы.. Производная по внешней нормали кольцу на "— это, с точностью до знака, производная по радиусу на . Поэтому в силу положительности функции , известной теореме о монотонном пределе в интегралах, а также равномерных оценок на через на производные по радиусу функций , переходя к пределу по , из неравенства (30) леммы 1 получаем
,
что и даёт требуемую оценку (32), завершая доказательство леммы 2.
Для применения леммы 2 к убывающей последовательности функций (28) с предельной функцией из (27) отметим, что функции удовлетворяют всем требованиям леммы 2 по установленным выше перед леммой 1 их свойствам и для них выполнены равномерные по неравенства для производных по радиусу:
(33)
где число , очевидно, не зависит от . Таким образом, заключительная оценка (32) леммы 2 может быть записана для функций и из (19) как
Отсюда, учитывая явный вид функции из (19) и её распределения масс Рисса из (20), имеем
. (34)
Первое, третье и четвёртое слагаемые из правой части этого неравенства оцениваются сверху числом, не зависящим от значений радиуса . Действительно, для первого получаем
где число не зависит от , поскольку для субгармонической функции конечного типа при порядке выполнено (25). В третьем слагаемом просто исчезает и оно
оценивается сверху через некоторое число . Наконец, при всех , а для интегральных средних по окружностям модуля субгармонической функции конечного типа при порядке удовлетворяет, как следует, например, из [15, лемма 6.2], соотношению . Это даёт возможность оценить сверху четвёртое слагаемое числом , не зависящим от . Таким образом, полагая из (34) с учётом (21) получаем оценку
для всех . (35)
Это противоречит равенству (26), что и завершает доказательство теоремы 1.
Доказательство следствия 1. Для ограниченной односвязной области существует последовательность компактов со связными дополнениями при всех , объединение которых совпадает с односвязной областью . При этом для выпуклой оболочек этих компактов имеем . Для полноты системы в с топологией равномерной сходимости на компактах достаточно показать, что система полна в каждом из пространств при . Положим
При фиксированном из равенства (11) следует существование возрастающей неограниченной последовательности чисел , для которой
при всех
Отсюда для каждого найдётся достаточно большое , для которого
что может быть записано как неравенства
Применяя операцию по к обеим частям, получаем
поскольку . Тем более, имеет место равенство
Отсюда по теореме 1 система полна в пространстве . В силу произвола в выборе получаем и полноту системы в пространстве , что и требовалось.
About the authors
B. N. Khabibullin
Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Author for correspondence.
Email: khabib-bulat@mail.ru
Russian Federation, Уфа
E. G. Kudasheva
Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы
Email: lena_kudasheva@mail.ru
Russian Federation, Уфа
References
- BF Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел М. Фазис 2002
- GriMal15 Гришин А. Ф., Малютин К. Г. Тригонометрически выпуклые функции Курск Юго-Западный гос. ун-т 2015
- Gro03 Громов В. П. О полноте системы значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше Мат. заметки. 2003 73 6 827–840
- KKh00 Каримов М. Р., Хабибуллин Б. Н. Совпадение некоторых плотностей распределения множеств и полнота систем целых функций Тр. Междунар. конф. <<Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы>>. III. Анализ и дифференциальные уравнения Мерзляков С. Г., 2000 Уфа Ин-т мат. с ВЦ УНЦ РАН 2000 29–34
- Levin56 Левин Б. Я. Распределение корней целых функций М. Физматгиз 1956
- Leo Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент М. Наука 1978
- Men22 Меньшикова Э. Б. Интегральные формулы типа Карлемана и Левина Б. Я. для мероморфных и субгармонических функций Изв. вузов. Мат. 2022 6 37–53
- PolSeg78 Полиа Г., Сег Г. Задачи и теоремы из анализа М. Наука 1978
- SalKha20 Салимова А. Е., Хабибуллин Б. Н. Рост субгармонических функций вдоль прямой и распределение их мер Рисса Уфим. мат. ж. 2020 12 2 35–48
- SalKha21 Салимова А. Е., Хабибуллин Б. Н. Рост целых функций экспоненциального типа и характеристики распределений точек вдоль прямой на комплексной плоскости Уфим. мат. ж. 2021 13 3 116–128
- Sant Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности М. Наука 1983
- Kha91_1 Хабибуллин Б. Н. Теорема единственности для субгармонических функций конечного порядка Мат. сб. 1991 182 6 811–827
- Khsur Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности Уфа БГУ 2012
- Kha23V Хабибуллин Б. Н. Смешанные площади и полноты систем экспоненциальных функций Мат. Междунар. конф. "Современные методы теории краевых задач". Воронежская весенняя мат. школа "Понтрягинские чтения–XXXIV" Воронеж, 3–9 мая 2023 г. Воронеж Издательский дом ВГУ 2023 390–392
- KhaShm19 Хабибуллин Б. Н., Шмел ва А. В. Выметание мер и субгармонических функций на систему лучей. Классический случай Алгебра анал. 2019 31 1 156–210
- HK Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции М. Мир 1980
- Hor94 Hörmander L. Notions of Convexity Boston Birkhäuser 1994
- Levin96 Levin B. Ya. Lectures on Entire Functions Providence, Rhode Island Am. Math. Soc. 1996
- MR Malliavin P., Rubel L. A. On small entire functions of exponential type with given zeros Bull. Soc. Math. France. 1961 89 2 175–201
- Rans Ransford T. Potential Theory in the Complex Plane Cambridge Cambridge Univ. Press 1995
- RC Rubel L. A., Colliander J. E. Entire and Meromorphic Functions Berlin Springer-Verlag 1996