Completeness of exponential systems

Full Text

1. Введение

1.1 Некоторые обозначения, понятия и соглашения

 Пустое множество обозначаем через $⌀$, $\mathrm{\mathbb{N}}:=\{1,2,\dots \}$ "— множество всех натуральных чисел, ${\mathrm{\mathbb{N}}}_0:=\left\{0\right\}\cup \mathrm{\mathbb{N}}=\{0,1,2,\dots \}$,  ${\overline{\mathrm{\mathbb{N}}}}_0:={\mathrm{\mathbb{N}}}_0\cup \{+\infty \}$"— расширение множества ${\mathrm{\mathbb{N}}}_0$ со стандартным отношением порядка $\le$ и точной верхней гранью $+\infty :=sup{\mathrm{\mathbb{N}}}_0\notin {\mathrm{\mathbb{N}}}_0$, для которой неравенства $n\le +\infty$ выполнены при всех $n\in {\overline{\mathrm{\mathbb{N}}}}_0$. Множество всех действительных чисел $\mathrm{ℝ}$ с таким же отношением порядка $\le$ рассматриваем и как вещественную ось в комплексной плоскости $\mathrm{ℂ}$ с евклидовой нормой "— модулем $|\cdot |$. Порядковое пополнение множества $\mathrm{ℝ}$ верхней и нижней гранями $+\infty :=sup\mathrm{ℝ}=inf⌀\notin \mathrm{ℝ}$ и $-\infty :=inf\mathrm{ℝ}=sup⌀\notin \mathrm{ℝ}$ определяет расширенную вещественную ось $\overline{\mathrm{ℝ}}:=\mathrm{ℝ}\cup \pm \infty$, где, в дополнение к стандартным допустимым операциям, полагаем $0\cdot (\pm \infty )=(\pm \infty )\cdot 0:=0$. Величина $c\in \overline{\mathrm{ℝ}}$ рассматривается и как функция, тождественно равная $c$, как правило, на плоскости $\mathrm{ℂ}$. Символом $0,$ наряду с $0\in \overline{\mathrm{ℝ}}$, обозначаем и нулевые функции, меры и т. п. 

Промежутки с концами $a\in \overline{\mathrm{ℝ}}$ и $b\in \overline{\mathrm{ℝ}}$ "— это множества $[a,b]:=x\in \overline{\mathrm{ℝ}}|a\le x\le b$ "— отрезок в $\overline{\mathrm{ℝ}}$, $(a,b]:=[a,b]\backslash a$, $[a,b):=[a,b]\backslash b$, а $(a,b):=[a,b)\backslash a$ и $(a,+\infty ]$, $[-\infty ,b)$ "— открытые промежутки в $\overline{\mathrm{ℝ}}$, образующие базу открытых множеств при $a<b$. Используем также обозначение ${\mathrm{ℝ}}^{+}:=[0,+\infty )$ для положительной полуоси с расширением ${\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}:=[0,+\infty ]$. При этом величина $x\in \overline{\mathrm{ℝ}}$ положительна при $x\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$, строго положительна при $0\ne x\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$, отрицательна при $x\in -{\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$, строго отрицательна при $0\ne x\in -{\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$, $x^{+}:=sup\{0,x\}\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$ "— положительная часть величины $x\in \overline{\mathrm{ℝ}}$, $x^{-}:=(-x{)}^{+}\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$ "— её отрицательная часть.

Обозначим через $D\left(r\right):=\{z\text{'}\in C|\left|z\right|<r\}$ и $\overline{D}\left(r\right):=z\text{'}\in C\left|\right|z|\le r$, а также $\partial \overline{D}\left(r\right):=\overline{D}\left(r\right)\backslash D\left(r\right)$, соответственно, открытый и замкнутый круги, а также окружность с центром в нуле радиуса $r\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$. Для $S\subset \mathrm{ℂ}$ через $clS$, $intS$, $bdS$ и $coS$ обозначаем соответственно замыкание, внутренность, границу и выпуклую оболочку множества $S$ в $\mathrm{ℂ}$. Таким образом, при $0<r\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$ имеют место равенства $\overline{D}\left(r\right)=clD\left(r\right)$ и $\partial \overline{D}\left(r\right)=bdD\left(r\right)$, но не при $r=0$, поскольку в этом случае это уже не так, а именно: $clD\left(0\right)=cl⌀=⌀=bdD\left(0\right)\ne \left\{0\right\}=\overline{D}\left(0\right)=\partial \overline{D}\left(0\right)$.

Для расширенной числовой функции $f:X\to \overline{\mathrm{ℝ}}$ через $f^{+}:x[x\in X]\left(f\right(x){)}^{+}$ обозначаем её положительную часть, а через $f^{-}:=(-f{)}^{+}$ "—отрицательную часть. Если $f=f^{+}$, то функция $f$ положительная, а если $f=-f^{-}$, то отрицательная. Если $X\subset \overline{\mathrm{ℝ}}$ и для любых $x_1,x_2\in X$ из $x_1<x_2$ следует нестрогое неравенство $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ (соответственно, строгое неравенство $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$), то функция $f$ возрастающая (соответственно, строго возрастающая) на $X$; функция $f$ убывающая (соответственно, строго убывающая) на $X$, если противоположная функция $-f$ возрастающая (соответственно, строго возрастающая) на $X$.

 

1.2 Постановка задачи

Всюду далее через $Z$ обозначаем распределение точек на комплексной плоскости $\mathrm{ℂ}$, среди которых могут быть повторяющиеся. Распределение точек $Z$ однозначно определяется функцией, действующей из $\mathrm{ℂ}$ в $\overline{{\mathrm{\mathbb{N}}}_0}$ и равной в каждой точке $z\in \mathrm{ℂ}$ количеству повторений этой точки $z$ в $Z$. Для такой функции, которую часто называют функцией кратности распределения точек $Z$ (см. [13, пп.~0.1.2--0.1.3]), или его дивизором, сохраняем то же самое обозначение $Z$. Другими словами, $Z\left(z\right)$ "— это количество вхождений точки $z\in \mathrm{ℂ}$ в распределение точек $Z$; пишем $z\in Z$, если $Z\left(z\right)>0$. Распределение точек $Z$ можно эквивалентным образом трактовать и как распределение масс, или меру, со значениями в ${\overline{\mathrm{\mathbb{N}}}}_0$ с тем же самым обозначением:

$Z\left(S\right):={\sum }_{z\in S}‍Z\left(z\right)\in {\overline{\mathrm{\mathbb{N}}}}_0$ для любого $S\subset \mathrm{ℂ}.$ (1)

Если считающая радиальная функция

$Z^{rad}\left(r\right):=Z\left(\overline{D}\right(r\left)\right)\stackrel{\left(1\right)}{=}{\sum }_{z\in \overline{D}\left(r\right)}Z\left(z\right)\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}, r\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+},$ (2)

для $Z$ конечна при каждом $r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$, т.е. $Z^{rad}\left(r\right)<+\infty$ для всех $r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$, то $Z$ "— локально конечное распределение.

Евклидову площадь множества $S\subset \mathrm{ℂ}$ обозначаем через

$area\left(S\right):={\iint }_S‍dx dy={\iint }_S‍r dr d\theta ,x+iy=r{e}^{i\theta },x,y,\theta \in \mathrm{ℝ},r\in {\mathrm{ℝ}}^{+},$

если двойные интегралы справа корректно определены, или множество $S$ измеримо по плоской мере Лебега на $\mathrm{ℂ}$. В частности, это всегда имеет место для выпуклых ограниченных $S\subset \mathrm{ℂ}$.

Система векторов из топологического векторного пространства полна в нём, если замыкание линейной оболочки этой системы совпадает с этим пространством. Для распределения точек $\mathrm{\mathbb{Z}}$ на $\mathrm{ℂ}$ в данной статье далее исследуется полнота лишь экспоненциальных систем

$Ex{p}^Z:=\{w[w\in \mathrm{ℂ}]w^{p}exp\left(zw\right)|z\in Z,Z(z)-1\ge p\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_0\}$ (3)

с распределением показателей $Z$, что, в частности, актуально в спектральной теории операторов.

Для функции $f$ на $S\subset \mathrm{ℂ}$ со значениями в $\mathrm{ℂ}$ или в $\overline{\mathrm{ℝ}}$ полагаем 

$\parallel f{\parallel }_S:=sup\{\left|f\right(z\left)\right||z\in S\}$, (4)

 а через $C\left(S\right)$ обозначаем пространство непрерывных функций $f:S\to \mathrm{ℂ}$ с $sup$"=нормой (4). Для открытого подмножества $S\subset \mathrm{ℂ}$ через $Hol\left(S\right)$ обозначаем пространство голоморфных функций $f:S\to \mathrm{ℂ}$ с топологией равномерной сходимости на всех компактах $K\subset S$, определяемой $sup$"=полунормами $\parallel f{\parallel }_K$. Для компакта $S\subset \mathrm{ℂ}$ с внутренностью $intS$ через $C\left(S\right)\cap Hol\left(intS\right)$ обозначаем банахово пространство непрерывных на $S$ и голоморфных на внутренности $intS$ функций $f:S\to \mathrm{ℂ}$ с $sup$"=нормой $\parallel f{\parallel }_S$. Таким образом, если в последнем случае  $intS=⌀$"— пустое множество, то  $C\left(S\right)\cap Hol\left(intS\right)$"— это банахово пространство $C\left(S\right)$ непрерывных на $S$ функций со значениями в $\mathrm{ℂ}$. Книга [13, п. 3.2] содержит детальный обзор по вопросам полноты экспоненциальных систем $Ex{p}^Z$ по состоянию вплоть до 2012 г. в разнообразных функциональных пространствах "— в значительной мере именно для пространств $Hol\left(S\right)$ или $C\left(S\right)\cap Hol\left(intS\right)$ функций соответственно на области $S\subset \mathrm{ℂ}$ или компакте $S\subset \mathrm{ℂ}$. Основная задача "— получить условия полноты экспоненциальной системы $Ex{p}^Z$ из (3) в функциональных пространствах $Hol\left(S\right)$ или $C\left(S\right)\cap Hol\left(intS\right)$, когда соответственно для ограниченной области $S$ или компакта $S$ априори известна лишь евклидова площадь $area\left(coS\right)$ его выпуклой оболочки $coS$ или площадь $area\left(S\right)$ в случае выпуклой соответственно области или компакта $S\subset \mathrm{ℂ}$. Естественно требовать, чтобы эти условия выражались через соотношения между какими-либо характеристиками распределения точек"=показателей $Z$ и площадью $area\left(coS\right)$ и были точны. В данной работе мы не останавливаемся на подтверждении точности наших результатов, хотя это так и есть, например, для любых выпуклых $S$. Требуемые для этого примеры основаны на построении довольно тонких примеров целых функций экспоненциального типа и очень регулярного роста, особенно для компактов $S$. Построение таких примеров предполагается обсудить в другой работе.

 

1.3 Основные результаты

В теории целых функций одной комплексной переменной (см. [5, 6, 8]) а также в некоторых других вопросах, связанных с геометрией на плоскости (см. [8, отдел третий, гл. 3, §1], [11, гл. 1, §2]), опорную функцию подмножества $S\subset \mathrm{ℂ}$ чаще всего определяли как функцию

$sp{f}_S:\theta [\theta \in \mathrm{ℝ}]\underset{s\in S}{sup{Rese}^{-i\theta }}-i\theta \overline{\mathrm{ℝ}}.$ (5)

По построению (5) $2\pi$-периодические на $\mathrm{ℝ}$ опорные функции множества $S\subset \mathrm{ℂ}$, его замыкания $clS$ в $\mathrm{ℂ}$, выпуклых оболочек $coS$, $coS$ и замыкания $clcoS$ совпадают. Сдвиг компакта или ограниченной области $S$ в $\mathrm{ℂ}$ не влияет на полноту экспоненциальной системы $Ex{p}^Z$ соответственно в пространстве $C\left(S\right)\cap Hol\left(intS\right)$ или $Hol\left(S\right)$. Поэтому, не умаляя общности, всюду далее нам удобно считать, что, после сдвига ограниченного $S$ и сохранении за ним того же обозначения $S$, нулевая точка принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества $S$, т.е. выполнено условие

$0\in clcoS.$ (6)

Если  $S\subset \mathrm{ℂ}$"— компакт, то условие (6) эквивалентно условию $0\in coS$. Кроме того, по определению (5) для произвольного $S\subset \mathrm{ℂ}$ условие (6) эквивалентно положительности опорной функции 

$sp{f}_S\left(\theta \right)\underset{\theta \in R}{\overset{\left(6\right)}{\ge }}0.$ (7)

При трактовке распределения точек $Z$ как распределения масс (1) для любой положительной функции $f$ на $S$ можно корректно определить сумму

${\sum }_{\underset{z\in S}{z\in Z}} f\left(z\right):={\int }_{S}f dZ\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+}$. (8)

Для точки $z\in \mathrm{ℂ}$ через $argz\subset \mathrm{ℝ}$ обозначаем множество значений всех её угловых аргументов. Для $2\pi$"=периодической функции на $\mathrm{ℝ}$ со значениями в $\mathrm{ℝ}$ однозначно определены значения этой функции на $argz$ для любых $z\in \mathrm{ℂ}\backslash \{0\}.$. При ограниченном $S\subset \mathrm{ℂ}$ считающую радиальную функцию для распределения точек $Z$ по аргументам относительно $S$ определяем как

$Z_s^{rad}\left(r\right):\underset{r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}}{\overset{\left(8\right)}{=}}Z\left(0\right)\parallel sp{f}_S{\parallel }_R+{\sum }_{\underset{0<\left|z\right|\le r}{z\in Z}}sp{f}_S\left(argz\right)\in {\overline{\mathrm{ℝ}}}^{+},\parallel sp{f}_S{\parallel }_R:\stackrel{\left(8\right)\left(4\right)}{=}\underset{\theta \in R}{sup}\left|sp{f}_S\right(\theta \left)\right|.$ (9)

При условии (6)–(7) функция $Z_S^{rad}$ положительная, возрастающая и непрерывная справа на ${\mathrm{ℝ}}^{+}$.

Для $S:=D\left(r\right)$ или $S:=\overline{D}\left(r\right)$ их опорные функции тождественно равны 

$sp{f}_{D\left(r\right)}\left(\theta \right)\underset{\theta \in \mathrm{ℝ}}{\equiv }sp{f}_{\overline{D}\left(r\right)}\left(\theta \right)\underset{\theta \in \mathrm{ℝ}}{\equiv }r и Z_{D\left(1\right)}^{rad}=Z_{\overline{D}\left(1\right)}^{rad}\stackrel{\left(2\right)}{=}{Z}^{rad}$ (10)

 "— считающая радиальная функция $Z^{rad}$ из (2). В отличие от последней считающая радиальная функция для $Z$ по аргументам относительно ограниченного $S\subset \mathrm{ℂ}$ учитывает распределение точек из $Z$ не только по радиусу, но и по аргументам.

Комплексно сопряжённое к $z=r{e}^{i\theta }\in \mathrm{ℂ}$ с $r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$ и $\theta \in \mathrm{ℝ}$ число обозначаем через $\overline{z}:=r{e}^{-i\theta }$, а для подмножества $S\subset \mathrm{ℂ}$ сопряжённое подмножество, зеркально симметричное $S$ относительно вещественной оси $\mathrm{ℝ}$, обозначаем $\overline{S}:=\left\{\overline{z}\right|z\in S\}$ с опорной функцией $sp{f}_{\overline{S}}$.

Следующая теорема "— частный случай результата, анонсированного в [14, основная теорема].

Теорема 1 Пусть  $Z$"— распределение точек в $\mathrm{ℂ}$. Если для компакта $S\subset \mathrm{ℂ}$ со связным дополнением $\mathrm{ℂ}\backslash S$ при оговорённом в (6)–(7) условии $0\stackrel{\left(6\right)}{\in }clcoS=coS$ для некоторого строго положительного $r_0\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$ выполнено равенство

$\underset{r_0\le r<R<+\infty }{sup}({\int }_r^R\frac{Z_S{¯}^{rad}\left(t\right)}{t^2}dt-\frac{area\left(coS\right)}{\pi }\ln \frac{R}{r})=+\infty ,$ (11)

то система $Ex{p}^Z$ из (3) полна в пространстве $C\left(S\right)\cap Hol\left(intS\right)$.

Следствие 1 Если для произвольных распределения точек $Z$ в $\mathrm{ℂ}$ и ограниченной односвязной области $S\subset \mathrm{ℂ}$ при условии (6)–(7) выполнено неравенство

$\underset{1<a\to +\infty }{limsup}\frac{1}{\ln a}\underset{0<r\to +\infty }{limsup}{\int }_r^{ar}\frac{Z_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)}{t^2}dt\ge \frac{1}{\pi } area\left(coS\right),$ (12)

то система $Ex{p}^Z$ из (3) полна в пространстве $Hol\left(S\right)$.

Замечание 1 Величину в левой части неравенства (12) по аналогии с подобными плотностями из [19], [21, гл.22], [13, гл.3], [4], [9], [10] можно назвать верхней логарифмической блок"=плотностью для  относительно евклидовой площади выпуклой оболочки множества $\overline{S}$.

 

2. Доказательства результатов

Доказательство теоремы 1. Предположим противное, а именно: в условиях теоремы 1 система $Ex{p}^Z$ не полна в пространстве $C\left(S\right)\cap Hol(\int S)$. Тогда по теореме Рисса о представлении линейных непрерывных функционалов на пространстве $C\left(S\right)$ вкупе с теоремой Хана"– Банаха о продолжении линейных непрерывных функционалов с сохранением нормы "— в данном случае с замкнутого подпространства $C\left(S\right)\cap Hol\left(intS\right)$ в $C\left(S\right)$, а также из известных следствий из неё, существует борелевская комплекснозначная мера $\mu \ne 0$ с носителем в $S$, аннулирующая экспоненциальную систему $Ex{p}^Z$, но не аннулирующая хотя бы одну функцию из $C\left(S\right)\cap Hol(\int S)$. Последнее означает, что заданная преобразованием Фурье"– Лапласа целая функция

$F:z[z\in \mathrm{ℂ}]{\int }_S{e}^{zs} d\mu \left(s\right)$ (13)

обращается в нуль на $Z$ с учётом кратности, а именно: кратность корня функции $F$ в каждой точке $z\in \mathrm{ℂ}$ не превышает $Z\left(z\right)$. В силу связности дополнения $\mathrm{ℂ}\backslash S$ целая функция $F$ из (13) ненулевая. Действительно, если $F=0$, то согласно (13) мера $\mu$ аннулирует экспоненциальную систему $\left\{e^{zs}\right|z\in \mathrm{ℂ}\}$, замыкание линейной оболочки которой содержит все многочлены (см. [3, теорема1], [13, гл.1, п. 1.1.1, пример 1.1.1]). Следовательно, мера $\mu$ аннулирует все многочлены. Но по теореме"=критерию Мергеляна при условии связности $\mathrm{ℂ}\backslash S$ множество всех многочленов плотно в $C\left(S\right)\cap Hol(\int S)$. Тогда мера $\mu$ аннулирует все функции из $C\left(S\right)\cap Hol(\int S)$, что не согласуется с выбором меры $\mu$. Таким образом, далее $F\ne 0$.

В обозначении $\left|\mu \right|$ для полной вариации меры $\mu$ и записи $z:=r{e}^{i\theta }$ в полярной форме с $r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$ и $\theta \in \mathrm{ℝ}$ для целой функции $F\ne 0$ из (13) имеет место оценка сверху

$\left|F\right(r{e}^{i\theta }\left)\right|\underset{r{e}^i\theta \in \mathrm{ℂ}}{\le }{\int }_S\left|exp\right(r{e}^{i\theta }s\left)\right| d\left|\mu \right|\left(s\right) \underset{r{e}^i\theta \in \mathrm{ℂ}}{\le }\underset{s\in S}{sup}\left|exp\right(r{e}^{i\theta }s\left)\right|\left|\mu \right|\left(S\right)\underset{r{e}^{i\theta }\in C}{=}exp\left(\underset{s\in S}{rsup}Res{e}^{i\theta }\right)\left|\mu \right|\left(S\right),$

где по определению опорной функции (5)

$\underset{s\in S}{sup}Res{e}^{i\theta }\underset{\theta \in \mathrm{ℝ}}{=}\underset{s\in S}{sup}R{ese}^{-i(-\theta )}\underset{\theta \in \mathrm{ℝ}}{\overset{\left(5\right)}{=}}spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)$

"— значения опорной функции сопряжённого компакта $\overline{S}$ в точках $\theta \in \mathrm{ℝ}$. Следовательно, эта оценка после логарифмирования может быть продолжена как

$ln\left|F\right(r{e}^{i\theta }\left)\right|\underset{r{e}^{i\theta }\in \mathrm{ℂ}}{\le }spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)r+ln\left|\mu \right|\left(S\right),\left|\mu \right|\left(S\right)\ne 0.$ (14)

Поскольку целая функция  ненулевая, можем рассмотреть субгармоническую функцию

$u:=\ln \left|F\right|-\ln \left|\mu \right|\left(S\right)\ne -\infty$ (15)

с распределением масс Рисса, или мер Рисса (см. [16, 17, 20])

${\Delta }_u:=\frac{1}{2\pi }△u=\frac{1}{2\pi }△\ln \left|F\right|\ge 0,$ (16)

где $△$ "— оператор Лапласа, действующий на субгармоническую функцию $u$ как обобщённую функцию на пространстве основных финитных функций на $\mathrm{ℂ}$. В частности, ввиду обращения в нуль целой функции $F$ на $Z$ и известного вида [20, теорема 3.7.8] распределения масс Рисса субгармонической функции $\ln \left|F\right|$ при рассмотрении распределения точек $Z$ как распределения масс в смысле (1) имеет место неравенство 

$\frac{1}{2\pi }△\ln \left|F\right|\ge Z$

и, как следствие, приходим к неравенству

${\Delta }_u\stackrel{\left(16\right)}{\ge }Z$

для распределений масс ${\Delta }_u$ и $Z$ на $\mathrm{ℂ}$. Это неравенство в силу положительности $sp{f}_{\overline{S}}\ge 0$ при условии (6) по условию"=равенству (11) показывает, что

$\underset{r_0\le r<R<+\infty }{sup}({\int }_r^R\frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)}{t^2}dt-\frac{area(\overline{S} )}{\pi }\ln \frac{R}{r})=+\infty ,$ (17)

где в порядке переноса определения (9) с распределений точек на распределения масс мы положили

${\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right):\underset{r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}}{\overset{\left(9\right)}{=}}\left({\Delta }_u\right)\left(\overline{D}\right(r_0\left)\right)\parallel sp{f}_S¯{\parallel }_{\mathrm{ℝ}}+{\int }_{r_0<\left|z\right|\le t}sp{f}_S\left(argz\right)d\left({\Delta }_u\right)\left(z\right)приt\in [r_0,+\infty )‍$ (18)

"— считающая радиальная функция для распределения масс $\Delta$ по аргументам относительно $\overline{S}$ вне $\overline{D}\left(r_0\right)$, которая при (6)–(7) положительная, возрастающая и непрерывная справа на $[r_0,+\infty )$. Напомним, что для субгармонической на  и непрерывной функции (см. [2])

$M:r{e}^{i\theta }[r{e}^{i\theta }\in \mathrm{ℂ}]sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right)r$ (19)

её распределение масс Рисса определяется как произведение мер [13, п. 3.3.1] через её плотность

$d{\Delta }_M\left(r{e}^{i\theta }\right)=\frac{1}{2\pi }dr\otimes d{l}_{co\overline{S}}\left(\theta \right)$ (20)

в полярных координатах, где $l_{co\overline{S}}\left(\theta \right)$ "— длина дуги границы $bdco\overline{S}$, отсчитываемой при движении по границе <<против часовой стрелки>> от последней точки опоры опорной к компакту $clco\overline{S}$ прямой, ортогональной положительной полуоси ${\mathrm{ℝ}}^{+}$, до последней точки опоры опорной к компакту $clco\overline{S}$ прямой, ортогональной направлению радиус-вектора точки $e^{i\theta }$ (см. [1, 11, 13]). В частности, вычисление площади выпуклого компакта $co\overline{S}\ni 0$ путём аппроксимации его выпуклыми описанными многоугольниками, площади которых вычисляются через сумму площадей внутренних треугольников с центрами в нулей как половины произведений длин апофем на длины соответствующих сторон, дают равенство для площади

$area\left(\overline{S}\right)=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right) d{l}_{co\overline{S}}\left(\theta \right).$ (21)

Отсюда для вычитаемого произведения с $area\left(\overline{S}\right)$ из (17) при всех $r_0\le r<R<+\infty$ имеем 

$\frac{area\left(\overline{S}\right)}{\pi }\ln \frac{R}{r}=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right) d{l}_{coS}\left(\theta \right){\int }_r^R\frac{1}{t} dt\stackrel{\left(20\right)}{=}\int r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R \frac{sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right)}{r}d{\Delta }_M\left(r{e}^{i\theta }\right),$ (22)

а для интеграла из (17) при всех $r_0\le r<R<+\infty$ интегрирование по частям даёт равенство 

${\int }_r^R\frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)}{t^2}dt=\frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(R\right)}{R}-\frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(r\right)}{r}+{\int }_r^R\frac{1}{t}d{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right).$ (23)

 При этом в силу (14) и (15) имеют место отграничения

$u\left(r{e}^{i\theta }\right)\le sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right)r\stackrel{\left(19\right)}{=:}M\left(r{e}^{i\theta }\right) привсехr{e}^{i\theta }\in \mathrm{ℂ},$ (24) 

откуда $u$ "— субгармоническая функция конечного типа при порядке  (см. [16, гл. 4]), для которой

$\underset{z\to \infty }{limsup}\frac{u\left(z\right)}{\left|z\right|}<+\infty , \underset{z\to \infty }{limsup}\frac{{\Delta }_u\left(\overline{D}\right(r\left)\right)}{r}<+\infty .$ (25)

 В частности, из последнего предельного соотношения ввиду ограниченности $sp{f}_{\overline{S}}$ на $\mathrm{ℝ}$ получаем 

$\underset{r\in [r_0,+\infty )}{sup}\frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(r\right)}{r}\stackrel{\left(18\right)}{\le }\underset{r\in [r_0,+\infty )}{sup}\parallel sp{f}_{\overline{S}}{\parallel }_{\mathrm{ℝ}}\frac{{\Delta }_u\left(\overline{D}\right(r\left)\right)}{r}<+\infty ,$

откуда для первых двух слагаемых в правой части (23) имеем 

$\underset{r_0<r\le R}{sup}|\frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(R\right)}{R} -\frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(r\right)}{r}|\le 2 \underset{r\in [r_0,+\infty )}{sup} \frac{{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(r\right)}{r}<+\infty ,$

а последний интеграл в (23) согласно (18) можем записать как 

${\int }_r^R\frac{1}{t} d{\left({\Delta }_u\right)}_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)={\int }_{r<\left|t{e}^i\theta \right|\le R} \frac{sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right)}{t}‍d{\Delta }_u\left(t{e}^{i\theta }\right).$

Отсюда согласно (17) и (22) получаем

$\underset{r_0<r<R<+\infty }{sup} {\int }_{r<\left|t{e}^i\theta \right|\le R}‍\frac{spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)}{t} d({\Delta }_u-{\Delta }_M)\left(t{e}^{i\theta }\right)=+\infty .$ (26)

Итоговая наша задача "— получить противоречие между этим равенством и ограничением (24), показав,что из (24) следует конечность левой части (26). Для этого рассмотрим функцию

$V_R:t{e}^{i\theta }[t{e}^{i\theta }\in \mathrm{ℂ}\{0\}\left]sp{f}_{\overline{S}}\right(\theta \left)\right(\frac{1}{t}-\frac{r}{R^2})\stackrel{\left(5\right)}{=} \underset{s\in S}{sup}(Res{e}^{i\theta }\left)\right(\frac{1}{t}-\frac{t}{R^2})$

$\underset{z:=t{e}^i\theta \ne 0}{=} \underset{s\in S}{sup}Re(\frac{S}{\overline{Z}}-\frac{SZ}{R^2})\underset{z\in \mathrm{ℂ}\{0\}}{=}{V}_R\left(z\right),$ (27)

которая по построению положительна на $\overline{D}\left(R\right)$ ввиду условия (6)–(7), обращается в нуль на окружности $\partial \overline{D}\left(R\right)$ и непрерывна ввиду непрерывности опорных функций ограниченных множеств. Кроме того, согласно последнему равенству в (27), функция $V_R$ представляет собой точную верхнюю грань локально ограниченного сверху семейства гармонических на $\mathrm{ℂ}\backslash \{0\}$ функций

${\left\{Re\right(\frac{S}{\overline{Z}}-\frac{SZ}{R^2}\left)\right\}}_{s\in S}.$

Отсюда сразу следует, что функция $V_R$ субгармонична на $\mathrm{ℂ}\backslash \left\{0\right\}$.

При этом выпуклый компакт $co\overline{S}\subset \mathrm{ℂ}$ можно представить как пересечение последовательности выпуклых компактов $K_n\underset{n\in N}{\supset }{K}_{n+1},$, вложенных друг в друга, для которых их опорные функции $k_n:=sp{f}_{K_n}$ дважды непрерывно дифференцируемы. По построению убывающая последовательность положительных опорных функций $k_n$ стремится к опорной функции $spf\overline{{}_S}$ и функции

$v_n:t{e}^{i\theta }[t{e}^{i\theta }\in \mathrm{ℂ}\backslash \{0\left\}\right]k_n\left(\theta \right)(\frac{1}{t}-\frac{t}{R^2}),$ (28)

согласно обоснованному выше, положительны на , а также субгармоничны и имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно на $\mathrm{ℂ}\backslash \left\{0\right\}$.

Далее нам потребуется следующее объединение двух утверждений из [12], которые могут быть выведены и по общим интегральным формулам из [7, теорема 2].

Лемма 1 (см. [12, леммы~2.2--2.3]). Пусть $0<r<R<+\infty$ и функция $V$ положительна на замкнутом кольце $\overline{D}\left(R\right)\backslash D\left(r\right)$, субгармонична в его внутренности $D\left(R\right)\backslash \overline{D}\left(r\right)$, тождественно равна нулю на окружности $\partial \overline{D}\left(R\right)$ и совпадает с сужением на $\overline{D}\left(R\right)\backslash D\left(r\right)$ некоторой дважды непрерывно дифференцируемой в окрестности кольца $\overline{D}\left(R\right)\backslash D\left(r\right)$ функции. Используя инверсию функции $V$ относительно окружности $\partial \overline{D}\left(r\right)$, построим положительную на $\mathrm{ℂ}$ функцию

$V^{*}\left(z\right):=\{\begin{array}{c}V\left(z\right),\\ V(r^2/\overline{z}),\\ 0,\end{array}\begin{array}{c}r<\left|z\right|\le R,\\ r^2/R<\left|z\right|\le r,\\ \left|z\right|\le r^2/R,\left|z\right|>R,\end{array}z\in C.$ (29)

Тогда для любой пары субгармонических на окрестности круга $\overline{D}\left(R\right)$ функций $u\ne -\infty$ и $M$ с распределениями масс Рисса соответственно ${\Delta }_u$ и ${\Delta }_M$ из неравенства $u\le M$ на этой окрестности следует неравенство

${\int }_C{V}^{*} d{\Delta }_u\le {\int }_C{V}^{*} d{\Delta }_M+\frac{r}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\left(u\right(r{e}^{i\theta })-M(r{e}^{i\theta }\left)\right)\frac{\partial V}{\partial n{⃗}_{out}}\left(r{e}^{i\theta }\right) d\theta ,$ (30)

где $\partial /\partial n{⃗}_{out}$ "— оператор дифференцирования по внешней нормали к кольцу $D\left(R\right)\backslash \overline{D}\left(r\right)$ на $\partial \overline{D}\left(r\right)$. 

Интегральное среднее функции $g:\partial \overline{D}\left(r\right)\to \overline{\mathrm{ℝ}}$ по окружности $\partial \overline{D}\left(r\right)$ обозначим следующим образом:

$g^{\circ }\left(r\right):=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi } g\left(r{e}^{i\theta }\right) d\theta .$ (31)

Следующая лемма "— предельная форма предшествующей леммы 1.

Лемма 2 Пусть в убывающей последовательности функций $v_n:\overline{D}\left(R\right)\backslash D\left(r\right)\to \mathrm{ℝ}$ каждая из них обладает теми же свойствами, что и функция $V$ в предыдущей лемме, а также модули производных по радиусу от них равномерно по $n$ ограничены сверху во всех точках на окружности $\partial \overline{D}\left(R\right)$ некоторым числом $N_r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$. Обозначим теперь через $V$ уже предельную функцию для последовательности $v_n$. Тогда для субгармонических на окрестности замкнутого круга $\overline{D}\left(R\right)$  функций $u\le M$, где $u\ne -\infty$, имеет место неравенство

${\int }_{r<\left|z\right|\le R)}V d{\Delta }_u\le {\int }_{r<\left|z\right|\le R‍}V d{\Delta }_M+{\Delta }_M\left(\overline{D}\right(r\left)\right)\underset{r\le \left|z\right|\le R}{sup}V\left(z\right)+N_r\frac{r}{\pi }\left(\right|u{|}^{\circ }\left(r\right)+\left|M{|}^{\circ }\right(r\left)\right).$ (32) 

Доказательство леммы.. Производная по внешней нормали  $\partial /\partial n{⃗}_{out}$ кольцу $D\left(R\right)\backslash \overline{D}\left(r\right)$ на $\partial \overline{D}\left(r\right)$ "— это, с точностью до знака, производная по радиусу на $\partial \overline{D}\left(r\right)$. Поэтому в силу положительности функции $V^{*}=\underset{n\to +\infty }{lim}{v}_n^{*}$, известной теореме о монотонном пределе в интегралах, а также равномерных оценок на $\partial \overline{D}\left(r\right)$ через $N_r$ на производные по радиусу функций $v_n$, переходя к пределу по $n\to +\infty$, из неравенства (30) леммы 1 получаем 

${\int }_{\left(\overline{D}\right(R)\backslash D(r\left)\right)}V d{\Delta }_u\le {\int }_{\mathrm{ℂ}}{V}^{*} d{\Delta }_u\le {\int }_{\mathrm{ℂ}}‍V^{*}d{\Delta }_M+\frac{r}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\left(u\right(r{e}^{i\theta })-M(r{e}^{i\theta }\left)\right)‍\frac{\partial V}{\partial n{⃗}_{out}}\left(r{e}^{i\theta }\right) d\theta \stackrel{\left(29\right)}{\le }$

$\stackrel{\left(29\right)\left(29\right)}{\le }{\int }_{\overline{D}\left(R\right)\backslash D\left(r\right)}V d{\Delta }_M + {\int }_{\overline{D}\left(r\right)\backslash D(r^2/R)}‍‍V \left(\frac{r^2}{z }\right) d{\Delta }_M\left(z\right) + \frac{r}{\pi }{\int }_0^{2\pi }\left|u\right(r{e}^{i\theta })-M(r{e}^{i\theta }\left)\right|N_r d\theta \le$

$\le {\int }_{r<\left|z\right|\le R} V d{\Delta }_M+\underset{r^2/R\le \left|z\right|\le r}{ sup}V\left(\frac{r^2}{z}\right){\Delta }_M\left(\overline{D}\right(r\left)\right)+\frac{r}{\pi }{N}_r({\int }_0^{2\pi }‍|u\left(r{e}^{i\theta }\right)|d\theta +{\int }_0^{2\pi }|M\left(r{e}^{i\theta }\right)\left|d\theta \right)\stackrel{\left(29\right)\left(29\right)\left(29\right),\left(29\right)\left(29\right)\left(29\right)\left(31\right)}{=}$

$\stackrel{\left(29\right)\left(29\right)\left(29\right)\left(31\right)\left(29\right),\left(29\right)\left(29\right)\left(29\right)\left(31\right)\left(29\right)\left(31\right)}{=}{\int }_{r<\left|z\right|\le R}V d{\Delta }_M+\underset{r\le \left|z\right|\le R}{sup} V\left(z\right){\Delta }_M \left(\overline{D}\right(r\left)\right)+\frac{r}{\pi } N_r\left(\right|u{|}^{\circ }\left(r\right)+\left|M{|}^{\circ }\right(r\left)\right)$, 

что и даёт требуемую оценку (32), завершая доказательство леммы 2.

Для применения леммы 2 к убывающей последовательности функций (28) с предельной функцией $V_R$ из (27) отметим, что функции $v_n$ удовлетворяют всем требованиям леммы 2 по установленным выше перед леммой 1 их свойствам и для них выполнены равномерные по $v_n$ неравенства для производных по радиусу: 

$\left|\frac{\partial v_n}{\partial r}\right(r{e}^{i\theta }\left)\right| \stackrel{\left(28\right)}{\le }\underset{\theta \in [0,2\pi ]}{sup}{k}_n\left(\theta \right)|-\frac{1}{r^2}-\frac{1}{R^2}|\le \frac{2}{r^2}\underset{\theta \in [0,2\pi ]}{sup}{k}_1\left(\theta \right)=\frac{a}{r^2}=:N_r,$ (33)

где число $a:=\underset{\theta \in [0,2\pi ]}{sup}{k}_1\left(\theta \right)$, очевидно, не зависит от $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Таким образом, заключительная оценка (32) леммы 2 может быть записана для функций $V\stackrel{\left(27\right)}{=}{V}_R$ и $M\stackrel{\left(24\right)}{\ge }u$ из (19) как 

${\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}‍sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right)(\frac{1}{t}-\frac{t}{R^2}) d{\Delta }_u\left(t{e}^{i\theta }\right) \stackrel{\left(32\right),\left(32\right)\left(27\right),\left(32\right)\left(27\right)\left(33\right)}{\le }{\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)‍(\frac{1}{t}-\frac{t}{R^2}) d{\Delta }_M\left(r{e}^{i\theta }\right)+$

$+{\Delta }_M\left(\overline{D}\right(r\left)\right)\underset{r\le t\le R}{sup}(\frac{1}{t}-\frac{t}{R^2}) \parallel sp{f}_{\overline{S}} {\parallel }_{\mathrm{ℝ}}+\frac{ar}{\pi r^2}\left(\right|u{|}^{\circ }\left(r\right)+\left|M{|}^{\circ }\right(r\left)\right).$

Отсюда, учитывая явный вид функции $M$ из (19) и её распределения масс Рисса из (20), имеем 

${\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}\frac{spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)}{t}d{\Delta }_u\left(t{e}^{i\theta }\right)\stackrel{\left(19\right),\left(19\right)\left(20\right)}{\le } {\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}‍\frac{spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)t}{R^2} d{\Delta }_u\left(t{e}^{i\theta }\right)+{\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}\frac{spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)}{t} d{\Delta }_M \left(r{e}^{i\theta }\right)+$

$+r \frac{l_{(co\overline{S}}\left(2\pi \right)-l_{co\overline{S}}\left(0\right)}{2\pi }\frac{1}{r} \parallel sp{f}_{\overline{S}} {\parallel }_{\mathrm{ℝ}} + \frac{a}{\pi r}\left(\right|u{|}^{\circ }\left(r\right)+\left|M{|}^{\circ }\right(r\left)\right)$.  (34)

Первое, третье и четвёртое слагаемые из правой части этого неравенства оцениваются сверху числом, не зависящим от значений радиуса $r\ge r_0>0$. Действительно, для первого получаем 

${\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}\frac{spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)t}{R^2} d{\Delta }_u\left(t{e}^{i\theta }\right) \le \parallel spf\overline{{}_S} \parallel \frac{1}{R}{\Delta }_u\left(\overline{D}\right(R\left)\right)\le C_1$

где число $C_1\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$ не зависит от $R\ge r_0$, поскольку для субгармонической функции $u$ конечного типа при порядке  выполнено (25). В третьем слагаемом  просто исчезает и оно 

оценивается сверху через некоторое число $C_3\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$. Наконец, $\left|M{|}^{\circ }\right(r)\stackrel{\left(19\right)}{\le }\parallel sp{f}_{\overline{S}} \parallel r$ при всех $r\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$, а для интегральных средних $\left|u{|}^{\circ }\right(r)$ по окружностям $\partial \overline{D}\left(r\right)$ модуля субгармонической функции $u\not\equiv -\infty$ конечного типа при порядке  удовлетворяет, как следует, например, из [15, лемма 6.2], соотношению $\left|u{|}^{\circ }\right(r\left)\underset{R\to +\infty }{=}O\right(r)$. Это даёт возможность оценить сверху четвёртое слагаемое числом $C_4\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$, не зависящим от $r\ge r_0>0$. Таким образом, полагая $C:=C_1+C_3+C_4$ из (34) с учётом (21) получаем оценку

${\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}‍\frac{sp{f}_{\overline{S}}\left(\theta \right)}{t}d{\Delta }_u\left(t{e}^{i\theta }\right)\stackrel{\left(34\right)}{\le }{\int }_{r<\left|t{e}^{i\theta }\right|\le R}\frac{spf\overline{{}_S}\left(\theta \right)}{t}d{\Delta }_M\left(r{e}^{i\theta }\right)+C$ для всех $\ge r_0$. (35)

Это противоречит равенству (26), что и завершает доказательство теоремы 1. 

Доказательство следствия 1. Для ограниченной односвязной области $S\subset \mathrm{ℂ}$ существует последовательность $(S_n{)}_{n\in N}$ компактов $S_n\subset S$ со связными дополнениями $\mathrm{ℂ}\backslash S_n$ при всех $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, объединение которых совпадает с односвязной областью $S$. При этом для выпуклой оболочек  этих компактов имеем $area\left(co{S}_n\right)<area\left(coS\right)$. Для полноты системы $Ex{p}^Z$ в $Hol\left(S\right)$ с топологией равномерной сходимости на компактах достаточно показать, что система $Ex{p}^Z$ полна в каждом из пространств $C\left(S_n\right)\cap Hol\left(int{S}_n\right)$ при $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$. Положим

$d_n\underset{n\in N}{:=}\frac{1}{2}\left(area\right(coS)-area(co{S}_n\left)\right)>0.$

При фиксированном $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ из равенства (11) следует существование возрастающей неограниченной последовательности $(a_k{)}_{k\in N}$ чисел $a_k>1$, для которой

$l\underset{0<r\to +\infty }{limsup}{\int }_r^{a_{k}r}\frac{Z_S^{rad}\left(t\right)}{t^2}‍dt\ge \frac{1}{\pi }\left(area\right(co{S}_n)+d_n)ln{a}_k$при всех $k\in \mathrm{\mathbb{N}}.$

Отсюда для каждого $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ найдётся достаточно большое $r_k\ge 1$, для которого

${{\int }_{r_k}}^{a_k{r}_k}\frac{Z_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)}{t^2}‍dt\ge \frac{1}{\pi }\left(area\right(co{S}_n)+d_n)ln{a}_k-1=\frac{1}{\pi }area\left(co{S}_n\right)ln\frac{a_k{r}_k}{r_k}+\frac{1}{\pi }{d}_{n}ln{a}_k-1,$

что может быть записано как неравенства

${\int }_{r_k}^{a_k{r}_k}\frac{Z_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)}{t^2} dt - \frac{area\left(co{S}_n\right)}{\pi }\ln \frac{a_k{r}_k}{r_k}\ge \frac{1}{\pi }{d}_{n}ln{a}_k-1.$

 Применяя операцию $sup$ по  $k$ к обеим частям, получаем

$\underset{k\in N}{sup}\left({\int }_{r_k}^{a_k{r}_k}\frac{Z_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)}{t^2}\right) dt -\frac{area\left(co{S}_n\right)}{\pi }\ln \frac{a_k{r}_k}{r_k})\ge \frac{d_n}{\pi }\underset{k\in N}{su\ln a_k}-1=+\infty ,$

поскольку $d_n>0$. Тем более, имеет место равенство 

$\underset{1<r<R<+\infty }{sup}({\int }_r^R\frac{Z_{\overline{S}}^{rad}\left(t\right)}{t^2} dt - \frac{area\left(co{S}_n\right)}{\pi } \ln \frac{R}{r})=+\infty .$

Отсюда по теореме 1 система $Ex{p}^Z$ полна в пространстве $C\left(S_n\right)\cap Hol\left(int{S}_n\right)$. В силу произвола в выборе $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ получаем и полноту системы $Ex{p}^Z$ в пространстве $Hol\left(S\right)$, что и требовалось.

About the authors

B. N. Khabibullin

Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук

Author for correspondence.
Email: khabib-bulat@mail.ru
Russian Federation, Уфа

E. G. Kudasheva

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы

Email: lena_kudasheva@mail.ru
Russian Federation, Уфа

References