Feedback minimum principle for optimal control problems with terminal conditions and its extensions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The nonlocal necessary optimality condition, the so-called feedback minimum principle (F-PM) obtained in previous publications of the author for free endpoint problems, is generalized for problems with terminal constraints. The proof of the new necessary condition is based on abstract methods of support majorants and modified Lagrange functions (MLF) with a quadratic penalty. But the corresponding unconstrained problem does not necessarily have to be solved. If the reference process is optimal, then there is no descent for the MLF from it using F-PM. If this necessary optimality is violated, then we obtain an improved admissible process. The constructive basis of the feedback minimum principle is the descent method with feedback strategies. However, it is natural to use this descent method for minimizing the modified Lagrangian in the well-known Krotov and Pontryagin optimality conditions. As a result of such an extension of the F-PM descent method, we obtain feedback versions of the Krotov and Pontryagin methods, which are significantly more efficient than the traditional methods.

About the authors

Vladimir Aleksandrovich Dykhta

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences; Irkutsk State University

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Ащепков Л. Т., Константинов Г. Н., “Эффект «срезки» в задачах нелинейного программирования”, Ж. вычисл. мат. мат. физ., 16:4 (1976), 1047–1051
  2. Дыхта В. А., “Вариационные необходимые условия оптимальности с позиционными управлениями спуска в задачах оптимального управления”, Докл. РАН., 462:6 (2015), 653–656
  3. Дыхта В. А., “Слабо монотонные решения неравенства Гамильтона—Якоби и условия оптимальности с позиционными управлениями”, Автомат. телемех., 5 (2014), 31–49
  4. Дыхта В. А., “Позиционные усиления принципа максимума и достаточные условия оптимальности”, Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН., 21:2 (2015), 73–86
  5. Дыхта В. А., “О множестве необходимых условий оптимальности с позиционными управлениями, порожденном слабо убывающими решениями неравенства Гамильтона—Якоби”, Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН., 28:3 (2022), 83–93
  6. Дыхта В. А., “Позиционный принцип минимума: вариационное усиление понятий экстремальности в оптимальном управлении”, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Мат., 41 (2022), 19–39
  7. Дыхта В. А., “Методы повышения эффективности позиционного принципа минимума в задачах оптимального управления”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 224 (2023), 54–64
  8. Дыхта В. А., “Нестандартная двойственность и нелокальные необходимые условия оптимальности в невыпуклых задачах оптимального управления”, Автомат. телемех., 11 (2014), 19–37
  9. Дыхта В. А., “Позиционный принцип минимума для квазиоптимальных процессов в задачах управления с терминальными ограничениями”, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Мат., 19 (2017), 113–128
  10. Дыхта В. А., “Неравенства Гамильтона—Якоби в оптимальном управлении: гладкая двойственность и улучшение”, Вестн. Тамбов. ун-та. Сер. Естеств. техн. науки., 15:1 (2010), 405–426
  11. Кларк Ф., Оптимизация и негладкий анализ, Наука, М., 1988
  12. Красовский Н. Н., Субботин А. И., Позиционные дифференциальные игры, Физматлит, М., 1974
  13. Кротов В. Ф., Букреев В. З., Гурман В. И., Новые методы вариационного исчисления в динамике полета, Машиностроение, М., 1969
  14. Кротов В. Ф., Гурман В. И., Методы и задачи оптимального управления, Наука, М., 1973
  15. Левитин Е. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П., “Теория условий высших порядков в гладких задачах на экстремум с ограничениями”, Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления, ред. Завалищин С. Т., Толстоногов А. А., Наука, Новосибирск, 1985, 4–39
  16. Поляк Б. Т., Третьяков Н. В., “Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум”, Ж. вычисл. мат. мат. физ., 13:1 (1973), 34–46
  17. Субботин А. И., Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка, Ин-т компьют. иссл., М.-Ижевск, 2003
  18. Субботина Н. Н., Колпакова Е. А., Токманцев Т. Б., Шагалова Л. Г., Метод характеристик для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана, Ин-т мат. мех. им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург, 2013
  19. Bardi M., Cappuzzo-Dolcetta I., Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman Equations, Birkhäuser, Boston, 1997
  20. Clarke F. H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. R., “Qualitative properties of trajectories of control systems: A survey”, J. Dyn. Control Syst., 1:1 (1995), 1–48
  21. Clarke F. H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. R., Nonsmooth Analysis and Control Theory, Springer-Verlag, N.Y., 1998
  22. Clarke F. H., Nour C., “Nonconvex duality in optimal control”, SIAM J. Control Optim., 43 (2005), 2036–2048
  23. Krotov V. F., Global Methods in Optimal Control Theory, Marcel Dekker, N.Y., 1996
  24. Vinter R. B., “Convex duality and nonlinear optimal control”, SIAM J. Control Optim., 31 (1993), 518–538
  25. Vinter R. B., “Dynamic programming for optimal control problems with terminal constraints”, Lect. Notes Math., 1119 (1985), 190–202
  26. Vinter R. B., Optimal Control, Birkhäuser, Boston, 2000
  27. Vinter R. B., “Weakest conditions for existence of Lipschitz continous Krotov functions in optimal control theory”, SIAM J. Control Optim., 21:2 (1983), 215–234

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Dykhta V.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).