Invariants of homogeneous dynamic systems of arbitrary odd order with dissipation. V. General case

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we present new examples of integrable dynamical systems of any odd order that are homogeneous in part of the variables. In these systems, subsystems on the tangent bundles of lower-dimensional manifolds can be distinguished. In the cases considered, the force field is partitioned into an internal (conservative) part and an external part. The external force introduced by a certain unimodular transformation has alternate dissipation; it is a generalization of fields examined earlier. Complete sets of first integrals and invariant differential forms are presented.The first part of the paper: Itogi Nauki Tekhn. Sovr. Mat. Prilozh. Temat. Obzory, 236 (2024), pp. 72–88.The second part of the paper: Itogi Nauki Tekhn. Sovr. Mat. Prilozh. Temat. Obzory, 237 (2024), pp. 49–75.The third part of the paper: Itogi Nauki Tekhn. Sovr. Mat. Prilozh. Temat. Obzory, 238 (2024), pp. 69–100.The fourth part of the paper: Itogi Nauki Tekhn. Sovr. Mat. Prilozh. Temat. Obzory, 239 (2024), pp. 62–97.

About the authors

Maxim Vladimirovich Shamolin

Lomonosov Moscow State University

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Бурбаки Н., Интегрирование. Меры, интегрирование мер, Наука, М., 1967
  2. Бурбаки Н., Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах, Наука, М., 1977
  3. Вейль Г., Симметрия, URSS, М., 2007
  4. Георгиевский Д. В., Шамолин М. В., “Кинематика и геометрия масс твердого тела с неподвижной точкой в ”, Докл. РАН., 380:1 (2001), 47–50
  5. Георгиевский Д. В., Шамолин М. В., “Обобщенные динамические уравнения Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой в ”, Докл. РАН., 383:5 (2002), 635–637
  6. Георгиевский Д. В., Шамолин М. В., “Первые интегралы уравнений движения обобщенного гироскопа в ”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех., 5 (2003), 37–41
  7. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, Наука, М., 1979
  8. Ерошин В. А., Самсонов В. А., Шамолин М. В., “Модельная задача о торможении тела в сопротивляющейся среде при струйном обтекании”, Изв. РАН. Мех. жидк. газа., 1995, № 3, 23–27
  9. Иванова Т. А., “Об уравнениях Эйлера в моделях теоретической физики”, Мат. заметки., 52:2 (1992), 43–51
  10. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Наука, М., 1971
  11. Клейн Ф., Неевклидова геометрия, URSS, М., 2017
  12. Козлов В. В., “Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике”, Усп. мат. наук., 38:1 (1983), 3–67
  13. Козлов В. В., “Рациональные интегралы квазиоднородных динамических систем”, Прикл. мат. мех., 79:3 (2015), 307–316
  14. Козлов В. В., “Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений”, Усп. мат. наук., 74:1 (445) (2019), 117–148
  15. Колмогоров А. Н., “О динамических системах с интегральным инвариантом на торе”, Докл. АН СССР., 93:5 (1953), 763–766
  16. Походня Н. В., Шамолин М. В., “Новый случай интегрируемости в динамике многомерного тела”, Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер., 9:100 (2012), 136–150
  17. Походня Н. В., Шамолин М. В., “Некоторые условия интегрируемости динамических систем в трансцендентных функциях”, Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер., 9/1:110 (2013), 35–41
  18. Походня Н. В., Шамолин М. В., “Интегрируемые системы на касательном расслоении к многомерной сфере”, Вестн. СамГУ. Естественнонауч. сер., 7:118 (2014), 60–69
  19. Самсонов В. А., Шамолин М. В., “К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. мех., 1989, № 3, 51–54
  20. Трофимов В. В., “Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли”, Изв. АН СССР. Сер. мат., 44:5 (1980), 1191–1199
  21. Трофимов В. В., “Симплектические структуры на группах автоморфизмов симметрических пространств”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех., 1984, № 6, 31–33
  22. Трофимов В. В., Фоменко А. Т., “Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем”, Докл. АН СССР., 254:6 (1980), 1349–1353
  23. Трофимов В. В., Шамолин М. В., “Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем”, Фундам. прикл. мат., 16:4 (2010), 3–229
  24. Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, Наука, М., 1987
  25. Шамолин М. В., “Об интегрируемости в трансцендентных функциях”, Усп. мат. наук., 53:3 (1998), 209–210
  26. Шамолин М. В., “Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой”, Докл. РАН., 364:5 (1999), 627–629
  27. Шамолин М. В., “Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде”, Докл. РАН., 375:3 (2000), 343–346
  28. “Об интегрировании некоторых классов неконсервативных систем”, Усп. мат. наук., 57:1 (2002), 169–170
  29. Шамолин М. В., “Об одном интегрируемом случае уравнений динамики на ”, Усп. мат. наук., 60:6 (2005), 233–234
  30. Шамолин М. В., “Сопоставление интегрируемых по Якоби случаев плоского и пространственного движения тела в среде при струйном обтекании”, Прикл. мат. мех., 69:6 (2005), 1003–1010
  31. Шамолин М. В., “Случай полной интегрируемости в динамике на касательном расслоении двумерной сферы”, Усп. мат. наук., 62:5 (2007), 169–170
  32. Шамолин М. В., “Новые случаи полной интегрируемости в динамике динамически симметричного четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле”, Докл. РАН., 425:3 (2009), 338–342
  33. Шамолин М. В., “Случай полной интегрируемости в динамике четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле”, Усп. мат. наук., 65:1 (2010), 189–190
  34. Шамолин М. В., “Новый случай интегрируемости в динамике четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле”, Докл. РАН., 437:2 (2011), 190–193
  35. Шамолин М. В., “Полный список первых интегралов в задаче о движении четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования”, Докл. РАН., 440:2 (2011), 187–190
  36. Шамолин М. В., “Новый случай интегрируемости в динамике четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования”, Докл. РАН., 444:5 (2012), 506–509
  37. Шамолин М. В., “Новый случай интегрируемости в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой, при учете линейного демпфирования”, Докл. РАН., 442:4 (2012), 479–481
  38. Шамолин М. В., “Новый случай интегрируемости в динамике многомерного твердого тела в неконсервативном поле”, Докл. РАН., 453:1 (2013), 46–49
  39. Шамолин М. В., “Новый случай интегрируемости уравнений динамики на касательном расслоении к трехмерной сфере”, Усп. мат. наук., 68:5 (413) (2013), 185–186
  40. Шамолин М. В., “Полный список первых интегралов динамических уравнений движения четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования”, Докл. РАН., 449:4 (2013), 416–419
  41. Шамолин М. В., “Новый случай интегрируемости в динамике многомерного твердого тела в неконсервативном поле при учете линейного демпфирования”, Докл. РАН., 457:5 (2014), 542–545
  42. Шамолин М. В., “Интегрируемые системы с переменной диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере и приложения”, Фундам. прикл. мат., 20:4 (2015), 3–231
  43. Шамолин М. В., “Полный список первых интегралов динамических уравнений движения многомерного твердого тела в неконсервативном поле”, Докл. РАН., 461:5 (2015), 533–536
  44. Шамолин М. В., “Полный список первых интегралов уравнений движения многомерного твердого тела в неконсервативном поле при наличии линейного демпфирования”, Докл. РАН., 464:6 (2015), 688–692
  45. Шамолин М. В., “Интегрируемые неконсервативные динамические системы на касательном расслоении к многомерной сфере”, Диффер. уравн., 52:6 (2016), 743–759
  46. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия”, Докл. РАН., 475:5 (2017), 519–523
  47. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере”, Докл. РАН., 474:2 (2017), 177–181
  48. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении трехмерного многообразия”, Докл. РАН., 477:2 (2017), 168–172
  49. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении многомерного многообразия”, Докл. РАН., 482:5 (2018), 527–533
  50. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия”, Докл. РАН., 479:3 (2018), 270–276
  51. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем девятого порядка с диссипацией”, Докл. РАН., 489:6 (2019), 592–598
  52. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем пятого порядка с диссипацией”, Докл. РАН., 485:5 (2019), 583–587
  53. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем седьмого порядка с диссипацией”, Докл. РАН., 487:4 (2019), 381–386
  54. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемых систем нечетного порядка с диссипацией”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 491:1 (2020), 95–101
  55. Шамолин М. В., “Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 494:1 (2020), 105–111
  56. Шамолин М. В., “Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении трехмерного многообразия”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 495:1 (2020), 84–90
  57. Шамолин М. В., “Новые случаи интегрируемости геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении конечномерного многообразия”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 500:1 (2021), 78–86
  58. Шамолин М. В., “Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 497:1 (2021), 23–30
  59. Шамолин М. В., “Тензорные инварианты геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении двумерного многообразия”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 501:1 (2021), 89–94
  60. Шамолин М. В., “Инвариантные формы объема систем с тремя степенями свободы с переменной диссипацией”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 507:1 (2022), 86–92
  61. Шамолин М. В., “Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении гладкого конечномерного многообразия. I. Уравнения геодезических на касательном расслоении гладкого -мерного многообразия”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 214 (2022), 82–106
  62. Шамолин М. В., “Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении гладкого конечномерного многообразия. II. Уравнения движения на касательном расслоении к -мерному многообразию в потенциальном силовом поле”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 215 (2022), 81–94
  63. Шамолин М. В., “Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении гладкого конечномерного многообразия. III. Уравнения движения на касательном расслоении к -мерному многообразию в силовом поле с переменной диссипацией”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 216 (2022), 133–152
  64. Шамолин М. В., “Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении трехмерного многообразия”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 205 (2022), 22–54
  65. Шамолин М. В., “Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия. I. Уравнения геодезических”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 210 (2022), 77–95
  66. Шамолин М. В., “Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия. II. Потенциальные силовые поля”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 211 (2022), 29–40
  67. Шамолин М. В., “Интегрируемые однородные динамические системы с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия. III. Силовые поля с диссипацией”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 212 (2022), 120–138
  68. Шамолин М. В., “Некоторые тензорные инварианты геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении двумерного многообразия”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 209 (2022), 108–116
  69. Шамолин М. В., “Некоторые тензорные инварианты геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении трехмерного многообразия”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 210 (2022), 96–105
  70. Шамолин М. В., “Системы с конечным числом степеней свободы с диссипацией: анализ и интегрируемость. I. Порождающая задача из динамики многомерного твердого тела, помещенного в неконсервативное поле сил”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 211 (2022), 41–74
  71. Шамолин М. В., “Системы с конечным числом степеней свободы с диссипацией: анализ и интегрируемость. II. Общий класс динамических систем на касательном расслоении многомерной сферы”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 212 (2022), 139–148
  72. Шамолин М. В., “Системы с конечным числом степеней свободы с диссипацией: анализ и интегрируемость. III. Системы на касательных расслоениях гладких -мерных многообразий”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 213 (2022), 96–109
  73. Шамолин М. В., “Системы с пятью степенями свободы с диссипацией: анализ и интегрируемость. I. Порождающая задача из динамики многомерного твердого тела, помещенного в неконсервативное поле сил”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 208 (2022), 91–121
  74. Шамолин М. В., “Системы с пятью степенями свободы с диссипацией: анализ и интегрируемость. II. Динамические системы на касательных расслоениях”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 209 (2022), 88–107
  75. Шамолин М. В., “Системы с четырьмя степенями свободы с диссипацией: анализ и интегрируемость”, Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз., 205 (2022), 55–94
  76. Шамолин М. В., “Инварианты однородных динамических систем пятого порядка с диссипацией”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 514:1 (2023), 98–106
  77. Шамолин М. В., “Инвариантные формы геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении конечномерного многообразия”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 512:1 (2023), 10–17
  78. Шамолин М. В., “Инвариантные формы объема геодезических, потенциальных и диссипативных систем на касательном расслоении четырехмерного многообразия”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 509:1 (2023), 69–76
  79. Шамолин М. В., “Инварианты геодезических, потенциальных и диссипативных систем с тремя степенями свободы”, Диффер. уравн., 60:3 (2024), 322–345
  80. Шамолин М. В., “Инварианты однородных динамических систем седьмого порядка с диссипацией”, Докл. РАН. Мат. информ. процессы управл., 516:1 (2024), 65–74
  81. Шамолин М. В., “Инварианты систем с малым числом степеней свободы, обладающих диссипацией”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех., 2024, № 2, 3–15
  82. Polyanin A. D., Zaitsev V. F., Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems, Chapman and Hall, New York, 2017
  83. Poincare H., Calcul des probabilites, Gauthier-Villars, Paris, 1912
  84. Shamolin M. V., “Some questions of the qualitative theory of ordinary differential equations and dynamics of a rigid body interacting with a medium”, J. Math. Sci., 110:2 (2002), 2528–2557
  85. Shamolin M. V., “Invariants of dynamical systems with dissipation on tangent bundles of low-dimensional manifolds”, Differential Equations, Mathematical Modeling and Computational Algorithms, ed. Vasilyev V., Springer, Cham, 2023, 167–179

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Shamolin M.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».