Exact and approximate solutions to the quasilinear parabolic system “predator-prey” with zero fronts

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we consider the second-order quasilinear parabolic system known in population biology as the predator-prey model and examine exact and approximate solutions with two zero fronts on which at least one of two unknown functions vanish; both these functions are positive between the fronts. We search for exact solutions in the form of polynomials in powers of the spatial variable with the coefficients depending on time. To construct approximate solutions, we propose a numerical algorithm, which is a combination of the collocation method based on the expansion of the right-hand sides by the radial basis functions and the finite-difference approximation of the derivatives in time. The algorithm is verified by model examples; the results obtained are consistent with the exact solutions found.

About the authors

Aleksandr Leonidovich Kazakov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences; Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Doctor of physico-mathematical sciences, Main Scientist Researcher

Lev Fridrihovich Spevak

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Candidate of technical sciences, Associate professor

References

  1. Андреев В. К., Гапоненко Ю. А., Гончарова О. Н., Пухначев В. В., Cовременные математические модели конвекции, Физматлит, М., 2008
  2. Баренблатт Г. И., Ентов В. Н., Рыжик В. М., Движение жидкостей и газов в природных пластах, Наука, М., 1984
  3. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, Физматлит, М., 1966
  4. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., “Аналитические решения с нулевым фронтом для нелинейной вырождающейся параболической системы”, Диффер. уравн., 58:11 (2022), 1461–1470
  5. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф., “Задача об инициировании диффузионной волны для нелинейной параболической системы второго порядка”, Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН., 29:2 (2023), 67–86
  6. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф., “Точные и приближенные решения вырождающейся системы реакция-диффузия”, Прикл. мех. техн. физ., 62:4 (2021), 169–180
  7. Казаков А. Л., Орлов С. С., “О некоторых точных решениях нелинейного уравнения теплопроводности”, Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН., 22:1 (2016), 112–123
  8. Ковалев В. А., Куретова Е. Д., Куркина Е. С., “О формировании нитеподобных структур на ранней фазе солнечных вспышек”, Физика плазмы., 46:4 (2020), 351–357
  9. Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме, ОНТИ, М., 1937
  10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967
  11. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, Наука, М., 1987
  12. Сидоров А. Ф., Избранные труды: Математика. Механика, Физматлит, М., 2001
  13. Ха Д. Т., Цибулин В. Г., “Уравнения диффузии-реакции-адвекции для системы «хищник-жертва» в гетерогенной среде”, Компьют. исслед. модел., 13:6 (2021), 1161–1176
  14. Шагапов В. Ш., Мухаметшин С. М., Галиаскарова Г. Р., “Распространение тяжелых атмосферных выбросов с учетом ландшафта местности”, Инж.-физ. ж., 78:2 (2005), 99–103
  15. Achouri T., Ayadi M., Habbal A., Yahyaoui B., “Numerical analysis for the two-dimensional Fisher–Kolmogorov–Petrovski–Piskunov equation with mixed boundary condition”, J. Appl. Math. Comput., 68 (2021), 1–26
  16. Al-Bayati S. A., Wrobel L. C., “The dual reciprocity boundary element formulation for convection–diffusion–reaction problems with variable velocity field using different radial basis functions”, Int. J. Mech. Sci., 145 (2018), 367–377
  17. Buhmann M. D., Radial Basis Functions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003
  18. Chen C. S., Chen W., Fu Z. J., Recent Advances in Radial Basis Function Collocation Method, Springer, Berlin–Heidelberg, 2013
  19. Courant R., Hilbert D., Methods of Mathematical Physics. Vol. II: Partial Differential Equations, Interscience, New York, 2008
  20. Fisher R. A., “The wave of advance of advantageous genes”, Ann. Eugenics., 7 (1937), 353–369
  21. Fornberg B., Flyer N., “Solving PDEs with radial basis functions”, Acta Num., 24 (2015), 215–258
  22. Kazakov A. L., Kuznetsov P. A., Lempert A. A., “Analytical solutions to the singular problem for a system of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type”, Symmetry., 12:6 (2020), 999
  23. Kazakov A. L., Lempert A. A., Spevak L. F., Nefedova O. A., “On the analytical and numerical study of a two-dimensional nonlinear heat equation with a source term”, Symmetry., 12:6 (2020), 921
  24. Murray J. D., Mathematical Biology. II: Spatial Models and Biomedical Applications., Springer, New York, 2003
  25. Nguyen V. P, Rabczuk T., Bordas S., Duflot M., “Meshless methods: A review and computer implementation aspects”, Math. Comput. Simul., 79:3 (2008), 763–813
  26. Perthame B., Parabolic Equations in Biology. Growth, Reaction, Movement and Diffusion, Springer, New York, 2015

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Kazakov A.L., Spevak L.F.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).