Заседания семинара механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова <<Актуальные проблемы геометрии и механики>> им. проф. В. В. Трофимова под руководством Д. В. Георгиевского и М. В. Шамолина

Аннотация

Приведена краткая информация о заседаниях семинара в 2021 г.

Полный текст

Заседание 446 12 февраля 2021 г.

(Ю. А. Тихонов)

О свойствах решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости.

Заседание 447 19 февраля 2021 г.

(Д. В. Георгиевский)

Динамические режимы растяжения идеально жёсткопластического стержня.

Исследуется напряжённо-деформированное состояние, возникающее при динамическом растяжении однородного стержня из несжимаемого идеально жёсткопластического материала, подчиняющегося критерию Мизеса$—$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A75@
Генки. В осесимметричной постановке учитывается возможность утолщения либо утоньшения сечения по длине стержня, что моделирует шейкообразование и дальнейшее развитие шейки. Вводятся три безразмерные функции времени, одна из которых малый геометрический параметр $—$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A75@
 отношение среднего радиуса к половине длины стержня. Отношения порядков малости двух других безразмерных функций к малому геометрическому параметру определяют влияние на картину распределения напряжений и скоростей деформаций инерционных слагаемых в уравнениях движения. На разных временных интервалах эти отношения могут быть разными, что обусловливает тот или динамический режим растяжения. Таких характерных режимов выявлено два, один из них связан с достаточно большой скоростью удаления торцевых сечений друг от друга, второй с ускорением. В последнем из перечисленных случаев проведённый анализ на основе метода асимптотического интегрирования позволил найти параметры напряжённо-деформированного состояния, являющегося <<инерционной поправкой>> по отношению к квазистатическому состоянию, реализующемуся в стержне с цилиндрической боковой поверхностью.

Заседание 448 26 февраля 2021 г.

(М. В. Шамолин)

Рациональные первые интегралы в динамике.

Изучаются вопросы наличия трансцендентных первых интегралов для некоторых классов систем с симметриями. При этом получены достаточные условия наличия в неавтономных однородных системах второго порядка первых интегралов, являющихся трансцендентными функциями, как в смысле теории элементарных функций, так и в смысле комплексного анализа, и выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Результаты предлагаемой работы являются развитием предыдущих исследований, в том числе, и некоторой прикладной задачи из динамики твердого тела, где были получены полные списки трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Позднее данное обстоятельство позволило провести полный анализ всех фазовых траекторий и указать на те их свойства, которые обладали грубостью и сохранялись для систем более общего вида. Полная интегрируемость таких систем была связана с симметриями скрытого типа. Как известно, понятие интегрируемости, вообще говоря, достаточно расплывчатое. При его построении необходимо учитывать в каком смысле оно понимается (имеется в виду некий критерий, по которому делается вывод о том, что траектории рассматриваемой динамической системы устроены особенно <<привлекательно и просто>>), в классе каких функций ищутся первые интегралы и т. д. В данной работе принимается такой подход, который учитывает в качестве класса функций как первых интегралов трансцендентные функции, причем элементарные. Здесь трансцендентность понимается не только в смысле теории элементарных функций (например, тригонометрических), а в смысле наличия у них существенно особых точек (в силу классификации, принятой в теории функций комплексного переменного, когда функция имеет существенно особые точки). При этом их необходимо формально продолжить в комплексную область. Конечно, в общем случае построить какую-либо теорию интегрирования таких неконсервативных систем (хотя бы и невысокой размерности) довольно затруднительно. Но в ряде случаев, когда исследуемые системы обладают дополнительными симметриями, удается найти первые интегралы через конечные комбинации элементарных функций.

Заседание 449 12 марта 2021 г.

(В. А. Банько)

Сравнение численных алгоритмов на примере оптимизации в задаче Бека.

Заседание 450, совместное с семинаром кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (26 марта 2021 г.).

Н. Г. Мощевитин.

О геометрии диофантовых приближений.

Заседание 451 в рамках конференции <<Молодежные чтения>> (14 апреля 2021 г.).

 В. А. Банько.

Сравнение численных алгоритмов оптимизации критических параметров в задачах динамической устойчивости.

В. А. Емельянов.

Моделирование пластической деформации в металлах методом дискретных краевых дислокаций.

А. А. Вшивкова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет).

О построении приближенного аналитического решения задачи Ламе в случае транстропного материала.

А. Р.Мещерякова (МФТИ).

Моделирование качения упругой сферы при наличии слоя третьего тела.

М. Селезнев (МФТИ).

Формирование малой обучающей выборки для построения суррогатной ML-модели упруго-пластического деформирования стержня.

Р. Р. Шабайкин.

Динамическое сдавливание нелинейно вязкопластического тонкого слоя.

А. В. Сероштанов (Донецкий национальный университет).

Решение задачи об изгибе тонкой многосвязной плиты из пьезоматериалов.

Н. С. Стеценко.

Определение характеристик нелинейно вязкоупругих материалов из экспериментов с высокоамплитудными сдвиговыми гармоническими колебаниями.

Заседание 452 16 апреля 2021 г.

(С. А. Артамонов, Д. А. Третьяков)

Основные теоретические положения компьютерного обучения.

Заседание 453 14 мая 2021 г.

(И. М. Цветков)

О динамическом растяжении идеально жёсткопластического листа.

Заседание 454 21 мая 2021 г.

(Д. В. Георгиевский, Н. С. Стеценко)

Комплексное представление Александровича решений в перемещениях в трёхмерной теории упругости.

Обсуждаются аналитические возможности предложенного в 1970-x гг. в работах А. И. Александровича представления решения в перемещениях в трёхмерной теории упругости в виде двумерной комплексной структуры. Комплекснозначные перемещения ищутся в форме голоморфного разложения как ряды по степеням комплексных переменных с антиголоморфными коэффициентами и по степеням сопряжённых комплексных переменных с голоморфными коэффициентами. Все голоморфные и антиголоморфные функции выражаются через четыре произвольные голоморфные функции.

В качестве тестовых частных случаев, приводящих к известным в теории упругости классическим решениям, рассматриваются плоское деформированное состояние, антиплоская деформация, трёхмерное деформированное состояние в тонкой пластинке переменной толщины, осесимметричные поля перемещений, реализующиеся, в частности, при линейной комбинации внутреннего (внешнего) давления, $r_{\theta }$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGYbWaaSbaaSqaaiabeI7aXbqaba
aaaa@349A@
 -кручения и осевого $r_z$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGYbWaaSbaaSqaaiaadQhaaeqaaa
aa@33E3@
 -сдвига в цилиндрическом слое и при ${\theta }_z$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacqaH4oqCdaWgaaWcbaGaamOEaaqaba
aaaa@34A2@
 -кручении сплошного цилиндра. В терминах комплекснозначных перемещений выписывается система уравнений осесимметричной теории упругости, фундаментальное решение которой является общим представлением поля перемещений в осесимметричном случае аналогично формулам Колосова$–$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A74@
Мусхелишвили в плоской задаче.

Заседание 455 4 июня 2021 г.

(Ю. Ю. Подладчиков (Университет Лозанны, Швейцария))

Солетарные волны порового флюида в вязко-упругих твёрдых телах.

Заседание 456 17 сентября 2021 г.

(Д. В. Георгиевский)

Энергетические оценки устойчивости течений сред со сложными свойствами.

Рассматривается широкий класс тензорно нелинейных изотропных несжимаемых сплошных сред, которые могут обладать скалярным потенциалом напряжений по скоростям деформаций. Приводятся постановки линеаризованных задач устойчивости течений таких сред в движущихся трёхмерных областях относительно трёхмерной картины кинематических и силовых возмущений. Развивается техника метода интегральных соотношений, позволяющего получать достаточные интегральные (энергетические) оценки устойчивости. Общие оценки устойчивости, в том числе и экспоненциальной, уточняются для каждого конкретного вида сред $—$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A75@
 тензорно линейных, или квазилинейных, сред, обладающих либо не обладающих скалярным потенциалом, тела Бингама, тела Сен-Венана, ньютоновской вязкой жидкости.

Заседание 457 24 сентября 2021 г.

(Х. Ф. Исаев)

Асимптотический анализ в задаче Орра$—$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuGajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A77@
Зоммерфельда с неклассическими граничными условиями.

Заседание 458 1 октября 2021 г.

(А. В. Романов)

О вариационном принципе Лагранжа микрополярной теории упругости в случаях трансверсально-изотропной и ортотропной сред.

Заседание 459, посвященное В. В. Мелешко в связи с 70-летием со дня рождения (8 октября 2021 г.).

Заседание 460 15 октября 2021 г.

(Р. Р. Шабайкин)

Динамическое деформирование тонкого растекающегося идеально пластического слоя.

Заседание 461 12 ноября 2021 г.

(А. В. Давыдов)

Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений, возникающих при изучении флаттера вязкоупругой пластины.

Заседание 462 19 ноября 2021 г.

(Ф. М. Малышев (МИАН))

Простое доказательство теоремы Брунна$–$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuGajugybabaaaaaaaaapeGaa83eGaaa@3A76@
Минковского элементарными средствами.

Представлено новое доказательство теоремы Брунна$—$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A75@
Минковского об объёме суммы выпуклых тел $P_0$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGqbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaa
aa@337C@
, $P_1$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGqbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaa
aa@337D@
 в евклидовом пространстве ${ℝ}^n$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0
uy0HgiuD3BaGabaiab=1risnaaCaaaleqabaGaamOBaaaaaaa@3D98@
, $n⩾2$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGUbWefv3ySLgznfgDOjdaryqr1n
gBPrginfgDObcv39gaiqaacqWF+PsHcaaIYaaaaa@3EC4@
, одинакового $n$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGUbaaaa@32B4@
 -мерного объёма: $V_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_0+t{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⩾V_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{V}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGwbWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaO
GaaGikaiaaiIcacaaIXaGaeyOeI0IaamiDaiaaiMcacaWGqbWaaSba
aSqaaiaaicdaaeqaaOGaey4kaSIaamiDaiaadcfadaWgaaWcbaGaaG
ymaaqabaGccaaIPaWefv3ySLgznfgDOjdaryqr1ngBPrginfgDObcv
39gaiqaacqWF+PsHcaWGwbWaaSbaaSqaaiaad6gaaeqaaOGaaGikai
aadcfadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaaIPaGaaGypaiaadAfadaWg
aaWcbaGaamOBaaqabaGccaaIOaGaamiuamaaBaaaleaacaaIXaaabe
aakiaaiMcaaaa@550E@
, $\mathrm{0<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>1}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaaIWaGaaGipaiaadshacaaI8aGaaG
ymaaaa@35BB@
, причём равенство имеет место, только если $P_1$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGqbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaa
aa@337D@
 получается из $P_0$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGqbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaa
aa@337C@
 параллельным переносом, в остальных случаях теорема утверждает строгое неравенство. Опровергается сформировавшееся мнение о том, что исключение равенства "$—$
feaahGart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9
vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x
fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL
gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A75@
особая наиболее трудная часть теоремы; приводятся причины сложившейся ситуации.

Заседание 463 26 ноября 2021 г.

(М. В. Шамолин)

Тензорные инварианты динамических систем с диссипацией с малым числом степеней свободы.

Как известно, наличие достаточного количества не только первых интегралов (скалярных инвариантов), но и других тензорных инвариантов позволяет полностью проинтегрировать систему дифференциальных уравнений. Так, например, наличие инвариантной формы фазового объема позволяет понизить порядок рассматриваемой системы. Для консервативных систем этот факт естествен. А вот для систем, обладающих притягивающими или отталкивающими предельными множествами, не только некоторые первые интегралы, но и коэффициенты имеющихся инвариантных дифференциальных форм должны, вообще говоря, состоять из трансцендентных (в смысле комплексного анализа) функций.

Так, например, задача о движении пространственного маятника на сферическом шарнире в потоке набегающей среды приводит к системе на касательном расслоении к двумерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий. Динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Известны также задачи о движении точки по двумерным поверхностям вращения, плоскости Лобачевского и т.д. Полученные результаты особенно важны в смысле присутствия в системе именно неконсервативного поля сил.

В работе предъявлены тензорные инварианты (дифференциальные формы) для однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким двумерным многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов и полным набором первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля делают рассматриваемые системы диссипативными с диссипацией разного знака и обобщают ранее рассмотренные.

Заседание 464 3 декабря 2021 г.

(Ю. А. Тихонов)

О полугрупповом подходе к изучению задач, возникающих в теории вязкоупругости.

Заседание 465 17 декабря 2021 г.

(Н. Л. Поляков, М. В. Шамолин)

О некоторых новых результатах в алгебраической теории коллективного выбора.

В докладе представлены новые результаты в теории коллективного выбора, которые получены с помощью методов универсальной алгебры и теории замкнутых классов дискретных функций. Эти результаты относятся к классу так называемых теорем возможности. В частности, получено явное описание локальных правил агрегирования, которые имеют нетривиальные симметричные классы инвариантных множеств предпочтений. По существу, этот результат отвечает на вопрос: для каких локальных правил агрегирования нетривиальное инвариантное множество предпочтений существует и может быть описано теоретико-множественной формулой без констант из множества альтернатив. Рассмотрен класс нелокальных правил агрегирования $f_{\mathcal{A}\mathrm{,}\mathcal{F}\mathrm{,}\mathcal{J}}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaacaWGMbWaaSbaaSqaamrr1ngBPrwtHr
hAXaqeguuDJXwAKbstHrhAG8KBLbaceaGae8haXhKaaGilaiab=fti
gjaaiYcacqWFjeVsaeqaaaaa@426A@
, имитирующих пошаговое принятие решений с правилом $\mathcal{F}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0
uy0Hgip5wzaGabaiab=ftigbaa@3C67@
 при фиксированных функции адаптации агентов $\mathcal{A}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0
uy0Hgip5wzaGabaiab=bq8bbaa@3D01@
 и упорядочении альтернатив $\mathcal{J}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0
uy0Hgip5wzaGabaiab=Lq8kbaa@3D13@
, причем упорядочение $\mathcal{J}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0
uy0Hgip5wzaGabaiab=Lq8kbaa@3D13@
 считается случайным фактором. Оказывается, если правило $\mathcal{F}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0
uy0Hgip5wzaGabaiab=ftigbaa@3C67@
порождается правилом большинства, то для некоторой функции адаптации $\mathcal{A}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0
uy0Hgip5wzaGabaiab=bq8bbaa@3D01@
 и любого упорядочения $\mathcal{J}$
feaahGart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
bbf9q8WrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0=yr0R
Yxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
caGaaeqabaGabiWadaaakeaatuuDJXwAK1uy0HwmaeHbfv3ySLgzG0
uy0Hgip5wzaGabaiab=Lq8kbaa@3D13@
 каждое такое правило сохраняет множество рациональных предпочтений и позволяет определить победителя по Кондорсе, если он существует. В конце доклада сформулирован ряд открытых вопросов.