On a discrete two-parameter fractional control problem

Abstract

In this paper, we examine a fractional difference analog of an optimal control problem occupying an intermediate position between problems with lumped and distributed parameters and obtain various first-order optimality necessary conditions. 

Full Text

Пусть управляемый дискретный процесс описывается системой разностных уравнений дробного порядка

$\begin{array}{c}{\Delta }^{\alpha }z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ t\in T\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_0+\mathrm{1,}\dots t_1-\mathrm{1<mo>\}</mo>,}x\in X\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}_0\mathrm{,}{x}_0+\mathrm{1,}\dots x_1\mathrm{<mo>\}</mo>.}\end{array}$ (1)

с начальным условием

$z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in X\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}_0\mathrm{,}{x}_0+\mathrm{1,}\dots x_1\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ (2)

где $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $n$ -мерная вектор-функция, являющаяся решением задачи Коши

${\Delta }^{\beta }y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in X\backslash x_1\mathrm{,}$ (3)

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}_0\mathrm{.}$ (4)

Здесь $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ заданные $n$ -мерные вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $y_0$ $—$ заданный постоянной вектор, $t_0$, $t_1$, $x_0$, $x_1$ заданы, ${\Delta }^{\alpha }z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $\mathrm{0<mo><</mo>}\alpha \mathrm{<mo><</mo>1}$ ) и ${\Delta }^{\beta }y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $\mathrm{0<mo><</mo>}\beta \mathrm{<mo><</mo>1}$ ) $—$ дробные операторы порядков $\alpha$ и $\beta$ (см., например, [4, 9–11]), $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -мерные вектор-функции управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in U\subset R^r\mathrm{,}t\in T\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in U\subset R^q\mathrm{,}x\in X\backslash x_1\mathrm{.}$ (5)

Управляющую функцию $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ назовем допустимым управлением, если она удовлетворяет ограничениям (4) и (5), а соответствующий процесс $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ назовем допустимым процессом.

На решениях системы (1)$–$(4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим функционал терминального типа

$S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x_0}^{x_1-1}}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (6)

Здесь ${\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ заданные скалярные функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с их производными по $y$ и $z$ соответственно.

Требуется найти минимальное значение функционала (6) при ограничениях (1)$–$(5).

Предполагается, что при каждом заданном допустимом управлении дискретные аналоги задач Коши, т.е. задачи (1)$–$(2) и (3)$–$(4), имеют единственные решения.

Допустимое управление $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, доставляющее минимум функционалу (6) при ограничениях (1)$–$(5), называется оптимальным управлением, а пара $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является оптимальным процессом.

Цель работы состоит в выводе ряда необходимых условий оптимальности.

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ фиксированное, а $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольное допустимое управления. Через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим соответствующие им решения системы (1)$–$(3). Тогда ясно, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет удовлетворять системе

${\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in T\mathrm{,}x\in X\mathrm{,}$ (7)

$\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in X\mathrm{,}$ (8)

${\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in X\backslash x_1\mathrm{,}$ (9)

$\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ (10)

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ пока неизвестные $n$ -мерные вектор-функции. Умножим обе части соотношений (7), (9) слева скалярно на ${\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (соответственно, на $p^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ) и просуммируем полученные тождества по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ от $t_0$ до $t_1-1$ и от $x_0$ до $x_1-1$ (соответственно, по $x$ от $x_0$ до $x_1-1$ ). В результате получим

${\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}$ (11)

${\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{p}^0{}^{\text{'}}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{p}^0{}^{\text{'}}\left(g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}$ (12)

Положим

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }^{\text{'}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^{\text{'}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Функции $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ являются аналогами функций Гамильтона$–$ Понтрягина для рассматриваемой задачи (1)$–$(6). С учетом тождеств (11), (12) формула для приращения критерия качества (6) записывается в виде

$\Delta S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{u}\mathrm{,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+{\displaystyle \sum _{x_0}^{x_1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+$

$+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}$ (13)

Займемся преобразованием отдельных слагаемых в этой формуле. С этой целью рассмотрим выражение

${\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Сделав в нем замену переменных $t+\mathrm{1<mo>=</mo>}\tau$, получим

${\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0+1}^{t_1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0+1}^{x_1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (14)

Делая замену переменных $x+\mathrm{1<mo>=</mo>}s$, легко убедиться в справедливости следующих тождеств:

${\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-p^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x-1}}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (15)

Далее, с учетом теоремы дробного суммирования по частям (см. [8]) имеем

${\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{\mu }{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mu -x_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mu -\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (16)

${\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (17)

${\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{\mu }{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -t_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (18)

${\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\beta }{p}^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Delta }^{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (19)

Принимая во внимание тождества (14)$–$(18) и (13), получим

$\Delta S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{u}\mathrm{,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+{\displaystyle \sum _{x_0}^{x_1-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+2{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+2{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+2{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}++{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{\mu }{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -t_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\overline{z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+$

$+p^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\beta }\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}$

Отсюда, используя формулу Тейлора и учитывая введенные обозначения, можно записать тождество (19) в следующем виде:

$\Delta S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\partial {\phi }_1^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\frac{\partial {\phi }_2^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+o_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+o_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+2{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+2{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{\mu }{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -t_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+$

$-{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\frac{\partial H^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{\partial H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}-\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{\text{'}}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{o}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+p^0{}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\beta }\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)-$

$-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\frac{\partial M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\left[\frac{\partial M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}-\frac{\partial M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}\right]}^{\text{'}}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{o}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (20)

Здесь $\parallel \alpha \parallel$ $—$ норма вектора $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определяемая формулой

$\parallel \alpha \parallel \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\parallel {\alpha }_i\parallel \mathrm{,}$

а $o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ величина более высокого порядка малости, чем $\alpha$, т.е. $o\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha \to 0$ при $\alpha \to 0$. Можно доказать, что

$\frac{\mu }{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -t_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\mu -\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\mu }{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теперь предположим, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением следующей системы линейных однородных разностных уравнений дробного порядка:

${\Delta }^{\alpha }{}_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\mathrm{1,}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{H}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (21)

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{\partial {\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2\partial z}\mathrm{,}$ (22)

${\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\Delta }_{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\beta }p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0-\mathrm{1,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{M}_y\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (23)

$p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{\partial {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}\mathrm{,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1-\mathrm{1,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ (24)

Тогда формула приращения (20) примет вид

$\Delta S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)-$

$-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+{\eta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{,}\Delta u\mathrm{,}\Delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (25)

Здесь по определению

${\eta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{,}\Delta u\mathrm{,}\Delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{o}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+o_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{o}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{o}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\parallel \Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}-\frac{\partial \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{\text{'}}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$-{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{\partial M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}-\frac{\partial M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (26)

Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ фиксированное допустимое управление. Предположим, что множества

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \mathrm{<mo>:</mo>}\tau \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\in U\mathrm{<mo>\}</mo>,}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\sigma \mathrm{<mo>:</mo>}\sigma \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\in V\mathrm{<mo>\}</mo>}$

выпуклы. Тогда через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно определить специальное приращение управления $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в виде

$\left\{\begin{array}{c}\Delta u_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \Delta v_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}\right.$ (27)

Здесь $\epsilon \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $\gamma \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ произвольные числа, а $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo>;</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольные допустимые управляющие функции, удовлетворяющие условиям

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo>;</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (28)

$g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (29)

Здесь $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in U$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in T\times Х$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in V\mathrm{,}x\in X$ $—$ произвольные допустимые управляющие функции, соответствующие $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo>;</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z_{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\Delta y_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим специальное приращение вектора состояния $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, отвечающее приращению (27) управления $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В [1, 12] доказаны следующие оценки:

$\parallel \Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le L_1{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+A_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel {\Delta }_{\overline{v}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\parallel \mathrm{,}$ (30)

$\parallel \Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le L_2{\displaystyle \prod _{s\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+R_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel {\Delta }_{\overline{u}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}s\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\parallel +L_3{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x-1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+A_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel {\Delta }_{\overline{u}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\parallel \mathrm{,}$ (31)

$L_i\mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{<mo>></mo>0}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3}$, $—$ некоторые постоянные. Из этих оценок следует, что

$\parallel \Delta z_{\epsilon }\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le L_4\epsilon +L_5\gamma \mathrm{,}\parallel \Delta y_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le L_6\gamma \mathrm{,}$ (32)

где $L_4$, $L_5$, $L_6$ $—$ некоторые положительные числа.

Принимая во внимание оценки (32), формулы (27), (28), (29), в формуле (26) приходим к разложению

$\Delta S_{\epsilon \gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0+\Delta u_{\epsilon }\mathrm{,}{v}^0+\Delta v_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\epsilon {\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)-$

$-\gamma {\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+o_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+o_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (33)

При помощи разложения (33), используя произвольность и независимость управляющих функций $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Если множества

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \mathrm{<mo>:</mo>}\tau \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\in U\mathrm{<mo>\}</mo>,}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\sigma \mathrm{<mo>:</mo>}\sigma \mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\in V\mathrm{<mo>\}</mo>}$

выпуклы, то для оптимальности допустимого управления $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в задаче (1)$–$(5) необходимо, чтобы соотношения

${\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\le \mathrm{0,}$ (34)

${\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{\Delta }_{v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\le 0$ (35)

выполнялись для любого $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in U$, $t\in T$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in V$, $x\in X\backslash x_1$ соответственно.

Доказанная теорема является аналогом дискретного принципа максимума для рассматриваемой задачи.

Теперь предположим, что вектор-функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывны по совокупности переменных вместе с частными производными по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а множества $U$ и $V$ являются выпуклыми. Тогда специальное приращение допустимого управления $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно определить по формуле

$\left\{\begin{array}{c}\Delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ \Delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}\right.$ (36)

Здесь ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ произвольные числа, а $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольные допустимые управляющие функции. Через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>;</mo>}{\gamma }_1\mathrm{,}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим специальное приращение траектории $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, отвечающее приращению (35) управления $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Из оценок (30), (31) следует, что

$\parallel \Delta z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{\gamma }_1\mathrm{,}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le L_6{\gamma }_1+L_7{\gamma }_2\mathrm{,}\parallel \Delta y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le L_8{\gamma }_2\mathrm{.}$

С учетом этих оценок получаем справедливость разложения

$\Delta S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\gamma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_1{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(H_u^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)-$

$-{\gamma }_2{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}\left(M_v^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+o_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_1+{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+o_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (37)

Теорема 2. Пусть множества $U$ и $V$ выпуклы, а функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывны по совокупности переменных вместе с частными производными по $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно. Тогда для оптимальности допустимого управления $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ необходимо, чтобы соотношения

${\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0}^{t_1-1}}{\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{H}_u^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\psi }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mathrm{0,}$ (38)

${\displaystyle \sum _{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_0}^{x_1-1}}{M}_v^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{p}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 0$ (39)

выполнялись для любого $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in U$, $t\in T$, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in V$, $x\in X\backslash x_1$ соответственно.

Совокупность неравенств (38), (39) есть аналог линеаризованного условия максимума в задаче (1)$–$(5) (см. [2, 3]).