On the search for a time-optimal boundary control using the method of moments for systems governed by the diffusion-wave equation

Full Text

1. Введение. Задачи оптимального управления системами с распределёнными параметрами в настоящее время представляют значительный исследовательский интерес и имеют важные приложения. Относительно новое направление развития исследований в этой области составляют задачи для систем дробного порядка, в частности, для систем, поведение которых описывается уравнениями параболического или гиперболического типа с дробной производной по времени.

В настоящее время имеется ряд публикаций, посвящённых поиску оптимального управления для систем дробного порядка с распределёнными параметрами, которые описываются обобщённым уравнением диффузии или диффузионно$–$волновым уравнением (см., например, [4–6, 10–14] и ссылки в них). В данной работе исследована задача оптимального управления с ограничением на норму управления для линейного неоднородного диффузионно-волнового уравнения. Рассматривается граничное управление, определяемое существенно ограниченными функциями, на отрезке. Анализируется конечномерная $l$ -проблема моментов, к которой ранее на основе приближённого решения диффузионно-волнового уравнения была сведена поставленная задача оптимального управления (см. [4, 5, 11, 12]). Показано, что при выполнении требований корректности и разрешимости полученной проблемы моментов и существовании решения данной проблемы, имеющего минимальную норму при заданной величине времени управления, задаваемое ограничение на норму управления для рассматриваемой задачи не всегда может быть выполнено, в отличие от аналогичной задачи для уравнения диффузии целого порядка.

2. Постановка задачи. Рассматриваются системы, состояние которых описывается диффузионно-волновым уравнением, имеющим вид

${}_0^C{D}_t^{\alpha }Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\left[w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}\right]-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1)

где $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ состояние системы, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ некоторые функции, ${}_0^C{D}_t^{\alpha }$ "$—$ левосторонний оператор дробного дифференцирования по времени, $t\ge 0$, $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Оператор дробного дифференцирования понимается в смысле определения Капуто (см. [?, ~2.4]):

${}_0^C{D}_t^{\alpha }Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}}_0^{RL}{D}_t^{\alpha }\left[Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}\frac{{\partial }^{k}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^k}\frac{t^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\right]\mathrm{,}$ (2)

где ${}_0^{RL}{D}_t^{\alpha }$ $—$ левосторонний оператор дробного дифференцирования Римана$–$ Лиувилля,

${}_0^{RL}{D}_t^{\alpha }Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\mathrm{<mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{{\partial }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+1}}{\partial {\tau }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+1}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\frac{Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau }{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>\{</mo>}\alpha \mathrm{<mo>\}</mo>}}}\mathrm{.}$

Следует отметить, что определение (2) для дифференцируемых функций эквивалентно определению дробной производной, основанному на свёртке первой производной функции с дробно-степенной функцией. Такое определение впервые было предложено А. Н. Герасимовым в [?], а впоследствии $—$ в работах М. Капуто [7] и М. М. Джрбашяна [3].

Предполагается, что функция $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дифференцируема по времени (в случае $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ достаточно требовать суммируемости данной функции по времени) при $t\ge 0$ и дважды дифференцируема по пространственной переменной на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Функции $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ и $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ считаются непрерывными на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Начальные условия для уравнения (1) ставятся в следующем виде:

$\frac{{\partial }^{k}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}k\mathrm{<mo>=</mo>0,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3)

Граничные условия для уравнения (1):

${\left[b_i\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}+a_{i}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}_{x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}^i}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}^i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\ge \mathrm{0,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$ (4)

где $a_i$ и $b_i$ $—$ коэффициенты, $b_1\le 0$, $b_2\ge 0$; $x^1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $x^2\mathrm{<mo>=</mo>}L$. Граничные управления $u^{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ считаются элементами пространства $L_{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и могут быть объединены в вектор $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Будем считать целью оптимального управления достижение системой желаемого состояния в заданный момент времени $T\mathrm{<mo>></mo>0}$. Это условие может быть формально выражено виде ограничения как на состояние, так и на его производную:

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Q}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (5)

$\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (6)

$x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ заданная функция. Возможно и одновременно задавать условия на состояние и его производную по времени (см. [11]).

Задачу оптимального управления поставим в двух разновидностях следующим образом (см. [1]). Найти такие управления $u^{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что система, описываемая уравнением (1) с начальными условиями (3) и граничными условиями (4), достигнет при $t\mathrm{<mo>=</mo>}T$ желаемого состояния, определяемого условиями (5) и/или (6) и при этом будет выполнено одно из условий: [ (a)]

1. норма управления $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет минимальной при заданном $T$ (задача А);
2. время перехода в желаемое состояние будет минимальным при заданном ограничении на норму управления $\parallel U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le l$ ( $l\mathrm{<mo>></mo>0}$ $—$ заданное число) (задача Б).
3. $l$ -Проблема моментов для диффузионно-волнового уравнения.

Ранее было показано, что поставленная выше задача оптимального управления для уравнения типа уравнения (1) сводится к следующей проблеме моментов (см. [4, 5, 11, 12]). Пусть задана система функций $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_{p^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и набор чисел $c_n$, хотя бы одно из которых отлично от нуля. Пусть также задано число $l\mathrm{<mo>></mo>0}$. Необходимо найти такую функцию $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $\mathrm{1<mo>/</mo>}p+\mathrm{1<mo>/</mo>}{p}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ), что выполняются следующие соотношения:

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{c}_n\mathrm{,}\dots \mathrm{,}$ (7)

$\parallel W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le l\mathrm{,}$ (8)

где $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ "$—$ функция, содержащая в общем случае линейную комбинацию граничных управлений. В рассматриваемом в данной работе случае существенно ограниченных управлений $p^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $p\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$ и проблема моментов (7)$–$(8) корректна и разрешима для $\alpha \mathrm{<mo>></mo>0}$.

Следует отметить, что в [4, 5, 11, 12], вообще говоря, рассматривались более частные или, наоборот, более общие случаи уравнения (1) и граничных условий (4). Так, в [4] рассматривалось уравнение (1) при $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, а в граничных условиях вместо управлений $u^i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задавалась сумма этих управлений с некоторыми известными функциями. В [5, 11, 12] использовались такие же граничные условия, а уравнение (1) рассматривалось при $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; кроме того, в левой части вместо дробной производной состояния стояло произведение её на некоторую функцию $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Также в [12]] желаемое состояние задавалось условием вида (6) при $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Тем не менее, проводя рассуждения аналогично работам [4, 5, 11, 12], можно убедиться, что рассматриваемая в данной работе задача оптимального управления для уравнения (1) с начальными условиями (3), граничными условиями (4) и условиями, определяющими желаемое состояние (5)$–$(6), также сводится к $l$ -проблеме моментов (7)$–$(8). Теми же остаются и условия корректности и разрешимости получаемой проблемы моментов (поскольку вышеописанные отклонения не влияют на вид функций $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а сказываются только на формулах для моментов и функции $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ).

Далее рассматриваем 4 случая, отличающиеся заданием параметров в уравнении (1) и способом задания желаемого состояния: [ (i)]

1. в уравнении (1) $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и желаемое состояние задаётся условием (5);
2. в уравнении (1) $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и желаемое состояние задаётся условием (5);
3. в уравнении (1) $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и желаемое состояние задаётся условием (6);
4. в уравнении (1) $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и желаемое состояние задаётся условием (5) и (6).

Для вышеперечисленных случаев ранее была обоснована корректность и разрешимость проблемы моментов, а также были получены явные выражения для моментов и функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. [?, ?, ?, ?]). Для случая (1) эти выражения имеют вид

$2g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{E_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-{\lambda }_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-\alpha }}\mathrm{,}\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (9)

$c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Q}_n^{\mathrm{<mo>*</mo>}}-{\phi }_n^0{E}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (10)

Здесь и далее ${\lambda }_n$ $—$ собственные числа соответствующей задачи Штурма"$–$ Лиувилля для уравнения (1), а выражение ${\Phi }_n$ означает коэффициент разложения функции $\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по системе собственных функций соответствующей задачи Штурма"$–$ Лиувилля для уравнения (1) (см. [4, 5, 11, 12]).

В случае (2) аналогичные выражения имеют вид

$g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{E_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-{\lambda }_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-\alpha }}\mathrm{,}\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (11)

$c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Q}_n^{\mathrm{<mo>*</mo>}}-{\phi }_n^0{E}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_n^{1}T{E}_{\alpha \mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (12)

В случае (3) имеем формулы

$g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{E_{\alpha \mathrm{,}\alpha -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-{\lambda }_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2-\alpha }}\mathrm{,}\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (13)

$c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_n+{\lambda }_n{T}^{\alpha -1}{\phi }_n^0{E}_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_n^{1}T{E}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (14)

Наконец, в случае (4) будут справедливы выражения

$\begin{array}{ll}\hfill & g_{2n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{E_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-{\lambda }_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-\alpha }}\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & g_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{E_{\alpha \mathrm{,}\alpha -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-{\lambda }_n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2-\alpha }}\mathrm{,}\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}$ (15)

$\begin{array}{ll}\hfill & c_{2n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Q}_n^{\mathrm{<mo>*</mo>}}-{\phi }_n^0{E}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_n^{1}T{E}_{\alpha \mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & c_{2n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_n+{\lambda }_n{T}^{\alpha -1}{\phi }_n^0{E}_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_n^{1}T{E}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}$ (16)

4. Основные результаты. В [4, 5, 11, 12] была обоснована корректность и разрешимость конечномерной проблемы моментов, получаемой в случаях (1)$–$(4). При выполнении соответствующих условий удаётся решить проблему моментов, получив тем самым решение задачи А, т.е. управление из класса допустимых, имеющее наименьшую норму. Для решения задачи Б в общем случае необходимо найти решение неравенства

${\Lambda }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le l\mathrm{,}$ (17)

где ${\Lambda }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ норма оптимального управления, найденного в результате решения задачи А, зависящая от параметра $T$. Решением задачи Б считается наименьшее действительное положительное число $T^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, для которого справедливо неравенство (17) (см. [1, гл. 3]). Значение ${\Lambda }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при этом может быть вычислено по формуле

${\Lambda }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\underset{{\xi }_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N}{{\displaystyle \min }}{\rho }_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\rho }_{{\xi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (18)

(см. [1, гл. 3]), где

${\rho }_{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\left|{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N-1}}{\xi }_i\left(g_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{c_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{g}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+\frac{1}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{g}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|dt\mathrm{,}$ (19)

${\xi }_i$ $—$ некоторые числа, ${\xi }_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ $—$ числа, при которых достигается минимум функции ${\rho }_{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по ${\xi }_i$. Учитывая (18), можно переписать условие (17) в виде

${\rho }_{{\xi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge \frac{1}{l}\mathrm{.}$ (20)

Функция (19) неотрицательна и непрерывно зависит от аргумента $T$. Если подынтегральная функция в выражении (19) не зависит от $T$, то функция ${\rho }_{{\xi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ монотонно возрастает с ростом $T$. Аналогичная тенденция проявляется и в случае, если функции $g_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не зависят от параметра $T$, а моменты зависят достаточно слабо. Именно такая ситуация имеет место для систем целого порядка, описываемых обычным уравнением диффузии. Для них всегда можно подобрать такое значение $T$, что условие (20) окажется выполненным для любого заданного $l\mathrm{<mo>></mo>0}$ (см. [1, гл. 4]).

В случае же, когда подынтегральная функция в выражении (19) также зависит от аргумента $T$, как это имеет место для рассматриваемых систем дробного порядка, функция ${\rho }_{{\xi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уже может не быть монотонно возрастающей по $T$. Более того, ниже будет показано, что данная функция ограничена.

Теорема 1. Пусть функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и моменты $c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются либо формулами (9)$–$(10), либо формулами (11)$–$(12) (что соответствует рассмотрению вышеперечисленных случаев (1) и (2)) и при этом $c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ для заданного $N$, $T\mathrm{<mo>></mo>0}$. Тогда значение функции (19) при любом фиксированном $N$ будет ограничено, а при $T\to \infty$ справедлива следующая оценка:

$\underset{T\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\rho }_{{\xi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_i\mathrm{<mo>|</mo>}\left(\frac{1}{{\lambda }_i}+\left|\frac{Q_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}{Q_N^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\lambda }_N}\right|\right)+\frac{1}{\mathrm{<mo>|</mo>}{Q}_N^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\lambda }_N}\mathrm{.}$ (21)

Доказательство. Для функции (19) справедлива следующая оценка:

${\rho }_{\xi }\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_i\mathrm{<mo>|</mo>}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\left|\frac{c_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right)+\frac{1}{\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}$ (22)

где учтено, что функции $g_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ неотрицательны на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Используя формулы (9) или (11) и представление функции Миттаг$–$Леффлера в виде равномерно и абсолютно сходящегося степенного ряда

$E_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{t^k}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha k+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (23)

(см. [9, § 1.8]), можно вычислить интегралы в формуле (22) и получить следующую оценку:

${\rho }_{\xi }\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_i\mathrm{<mo>|</mo>}\left(\frac{1-E_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_i{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\lambda }_i}+\left|\frac{c_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|\frac{1-E_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_N{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\lambda }_N}\right)+\frac{1}{\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}\frac{1-E_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_N{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\lambda }_N}\mathrm{.}$ (24)

Функции Миттаг$–$Леффлера в (24) монотонно убывают с ростом $T$, стремясь к нулю (см. [9, § 1.8]). Моменты, определяемые формулой (10), также содержат однопараметрические функции Миттаг$–$Леффлера, убывающие с ростом $T$. Моменты, определяемые формулой (12), содержат, кроме того, слагаемые вида ${\phi }_n^{1}T{E}_{\alpha \mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для оценки их поведения можно воспользоваться асимптотикой

$E_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}\frac{z^{-k}}{\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta -\alpha k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+O\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-1-p}\right)\mathrm{,}z\to -\infty \mathrm{,}$ (25)

где $p\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>2<mo>/</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (см. [?]. Учитывая, что $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$ в случае (2), из формулы (25) можно получить следующее соотношение:

$T{E}_{\alpha \mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_n{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sim {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{T}^{1-\alpha k}\stackrel{T\to \infty }{\to }0.$ (26)

Тогда из формул (10) и (12) получим, что $c_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to Q_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ при $T\to \infty$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N$. Подставляя полученные оценки в формулу (24), получим оценку (21).

Кроме того, из формулы (24) с учётом выражений (10) и (12) следует, что при фиксированном $T$, $\mathrm{0<mo><</mo>}T\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, выражение в правой части формулы (24) определено и ограничено сверху. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и моменты $c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются формулами (13)$–$(14) (что соответствует рассмотрению вышеописанного случая (3)) и при этом $c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ для заданного $N$, $T\mathrm{<mo>></mo>0}$. Тогда значение функции (19) при любом фиксированном $N$ будет ограничено, а при $T\to \infty$ будет справедлива следующая оценка:

$\underset{T\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\rho }_{{\xi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{T\to \infty }{\to }0.$ (27)

Доказательство. Воспользуемся, как и выше, оценкой (22), обозначив правую часть этой формулы $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и вычислим присутствующие в ней интегралы с учётом формулы (13). Для этого воспользуемся представлением (23) и, проведя необходимые вычисления, получим:

$r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{T}^{\alpha -1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_i\mathrm{<mo>|</mo>}\left(E_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_i{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\left|\frac{c_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|E_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_N{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+\frac{T^{\alpha -1}}{\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{E}_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_N{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (28)

Каждое из слагаемых в полученном выражении (с учётом выражений (14)) определено и ограничено сверху при любом фиксированном положительном значении $T\mathrm{<mo><</mo>}\infty$. Воспользовавшись асимптотикой (25), можно показать, что при $T\to \infty$ каждое из слагаемых в формуле (28) стремится к нулю. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и моменты $c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются формулами (15)$–$(16) (что соответствует рассмотрению вышеописанного случая (4)) и при этом $c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ для заданного $N$, $T\mathrm{<mo>></mo>0}$. Тогда значение функции (19) при любом фиксированном $N$ будет ограничено, а при $T\to \infty$ будет справедлива следующая оценка:

$\underset{T\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\rho }_{{\xi }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N\mathrm{<mo>/</mo>2}}}\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_{2i-1}\mathrm{<mo>|</mo>}}{{\lambda }_{2i-1}}\mathrm{.}$ (29)

Доказательство. Аналогично доказательствам теорем 1 и 2 используем оценку (22). Примем во внимание, что в данном случае количество моментов и функций $g_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и, соответственно, число $N$ чётное (что обусловлено двумя условиями, определяющими желаемое состояние). Поэтому перепишем формулу (22)в виде

${\rho }_{\xi }\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N\mathrm{<mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_{2i-1}\mathrm{<mo>|</mo>}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_{2i-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\left|\frac{c_{2i-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right)+$

$+{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N\mathrm{<mo>/</mo>2}-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_{2i}\mathrm{<mo>|</mo>}\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_{2i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\left|\frac{c_{2i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right)+\frac{1}{\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{g}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$ (30)

Пользуясь формулами (15) и представлением (23), проведём, как и выше, вычисления интегралов в формуле (30). В результате будем иметь:

${\rho }_{\xi }\le {\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N\mathrm{<mo>/</mo>2}}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_{2i-1}\mathrm{<mo>|</mo>}\left(\frac{1-E_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_{2i-1}{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\lambda }_{2i-1}}+\left|\frac{c_{2i-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|T^{\alpha -1}{E}_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_N{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+$

$+T^{\alpha -1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{N\mathrm{<mo>/</mo>2}-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_{2i}\mathrm{<mo>|</mo>}\left(E_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_{2i}{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\left|\frac{c_{2i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{c_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|E_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_N{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+\frac{T^{\alpha -1}}{\mathrm{<mo>|</mo>}{c}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{E}_{\alpha \mathrm{,}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\lambda }_N{T}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (31)

Все слагаемые, входящие в правую часть неравенства (31) (с учётом формул (16)) при конечном положительном $T$ и $\alpha \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определены и ограничены. При $T\to \infty$, пользуясь асимптотикой (25), можно, по аналогии с доказательствами теорем 1 и 2, убедиться, что последнее слагаемое и вторая сумма в формуле (31) сходятся к нулю, а первая сумма даст оценку (29). Теорема доказана.

Следствие. Из доказанных выше теорем 1$–$3 следует, что величина ${\rho }_{\xi }$ не увеличивается монотонно с ростом $T$, а ограничена сверху на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при любом конечном $T\mathrm{<mo>></mo>0}$ и при $T\to \infty$. Поэтому всегда можно указать такое число $l\mathrm{<mo>></mo>0}$, что неравенство (20) не будет выполнено. Следовательно, в этом случае задача Б не будет иметь решения, в то время как задача А будет иметь решение.

5. Заключение. В работе рассмотрено использование метода моментов для исследования задач оптимального граничного управления системами дробного порядка с распределёнными параметрами, поведение которых описывается диффузионно$–$волновым уравнением. Проанализировано несколько способов задания желаемого состояния и получены оценки на величину функционала, обратно пропорционального норме оптимального управления. Показано, что ограниченность данного функционала может приводить к ситуациям, когда задача поиска управления с минимальной нормой разрешима, а задача построения управления с максимальным быстродействием при заданном ограничении на норму управления не разрешима в силу невозможности выполнить упомянутое ограничение. Это отличает рассмотренные системы дробного порядка от их аналогов, описываемых обычным уравнением диффузии или волновым уравнением (см. [1]).

About the authors

S. S. Postnov

Author for correspondence.
Email: postnov.sergey@inbox.ru
Russian Federation, Москва

References

Supplementary files