Problem of the equilibrium of a two-dimensional elastic body with two contacting thin rigid inclusions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A new nonlinear mathematical model is proposed that describes the equilibrium of a two-dimensional elastic body with two thin rigid inclusions. The problem is formulated as a minimizing problem for the energy functional over a nonconvex set of possible displacements defined in a suitable Sobolev space. The existence of a variational solution to the problem is proved. Optimality conditions and differential relations are obtained that characterize the properties of the solution in the domain and on the inclusion; these conditions are satisfied for sufficiently smooth solutions.

About the authors

N. P. Lazarev

Северо-Восточный Федеральный университет им. М. К. Аммосова

Author for correspondence.
Email: nyurgun@ngs.ru
Russian Federation, Якутск

V. A. Kovtunenko

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева
Сибирского отделения РАН; Institute for Mathematics and Scientific Computing, Karl-Franzens University of Graz

Email: kovtunenko@hydro.nsc.ru
Russian Federation, Новосибирск; Austria

References

  1. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей. — М.: Физматлит, 1988.
  2. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. — М.: Наука, 1984.
  3. Неустроева Н. В., Лазарев Н. П. Оптимальное управление углом наклона трещины в задаче о равновесии пластины Тимошенко с упругим включением// Мат. заметки СВФУ. — 2021. — 28, № 4. — С. 58–70.
  4. Николаева Н. А. О равновесии упругих тел с трещинами, пересекающими тонкие включения// Сиб. ж. индустр. мат. — 2019. — 22, № 4. — С. 68–80.
  5. Хлуднев А. М., Попова Т. С. Об иерархии тонких включений в упругих телах// Мат. заметки СВФУ. — 2016. — 23, № 1. — С. 87–107.
  6. Furtsev A. I. On contact between a thin obstacle and a plate containing a thin inclusion// J. Math. Sci. — 2019. — 237, № 4. — P. 530–545.
  7. Hinterm¨uller M., Kovtunenko V. A., Kunisch K. A. Papkovich–Neuber-based numerical approach to cracks with contact in 3D// IMA J. Appl. Math. — 2009. — 74, № 3. — P. 325–343.
  8. Hu K. X., Chandra A. Interactions among general systems of cracks and anticracks: An integral equation approach// J. Appl. Mech. — 1993. — 60, № 4. — P. 920–928.
  9. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity// Z. Angew. Math. Mech. — 2012. — 92, № 9. — P. 716–730.
  10. Itou H., Kovtunenko V. A., Lazarev N. P. Asymptotic series solution for plane poroelastic model with non-penetrating crack driven by hydraulic fracture// Appl. Eng. Sci. — 2022. — 10. — P. 100089.
  11. Itou H., Kovtunenko V. A., Rudoy E. M. Three-field mixed formulation of elasticity model nonlinear in the mean normal stress for the problem of non-penetrating cracks in bodies// Appl. Eng. Sci. — 2021. — 7. — P. 100060.
  12. Jobin T. M., Ramji M., Khaderi S. N. Numerical evaluation of the interaction of rigid line inclusions using strain intensity factors// Int. J. Mech. Sci. — 2019. — 153–154. — P. 10–20.
  13. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions// Eur. J. Mech. A. Solids. — 2010. — 29, № 3. — P. 392–399.
  14. Khludnev A. M. Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies// Arch. Appl. Mech. — 2013. — 83, № 10. — P. 1493–1509.
  15. Khludnev A. M. Junction problem for thin elastic and volume rigid inclusions in elastic body// Phil. Trans. Roy. Soc. A. — 2022. — 380, № 2236. — P. 20210360.
  16. Khludnev A., Esposito A. C., Faella L. Optimal control of parameters for elastic body with thin inclusions// J. Optim. Theory Appl. — 2020. — 184, № 1. — P. 293–314.
  17. Khludnev A. M., Itou H. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies// Math. Meth. Appl. Sci. — 2016. — 39, № 17. — P. 4980–4993.
  18. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of Cracks in Solids. — Southampton, Boston: WIT-Press, 2000.
  19. Khludnev A., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks// Math. Meth. Appl. Sci. — 2010. — 3. — P. 1955–1967.
  20. Khludnev A. M., Leugering G. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies// Math. Mech. complex Syst. — 2014. — 2, № 1. — P. 1–21.
  21. Khludnev A. M., Popova T. S. On junction problem with damage parameter for Timoshenko and rigid inclusions inside elastic body// Z. Angew. Math. Mech. — 2020. — 100, № 8. — 202000063.
  22. Khludnev A. M., Shcherbakov V. V. A note on crack propagation paths inside elastic bodies// Appl. Math. Lett. — 2018. — 79, № 1. — P. 80–84.
  23. Kovtunenko V. A., Kunisch K. Shape derivative for penalty-constrained nonsmooth-nonconvex optimization: cohesive crack problem// J. Optim. Theory Appl. — 2022. — 194. — P. 597–635.
  24. Kovtunenko V. A., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model// SIAM J. Control Optim. — 2016. — 54, № 3. — P. 1329–1351.
  25. Lazarev N. Inverse problem for cracked inhomogeneous Kirchhoff–Love plate with two hinged rigid inclusions// Bound. Value Probl. — 2021. — 2021, № 1. — P. 88.
  26. Lazarev N., Neustroeva N. Optimal control of rigidity parameter of elastic inclusions in composite plate with a crack// in: Mathematics and Computing (Ghosh D., Giri D., Mohapatra R., Sakurai K., Savas E., Som T., eds.). — Singapore: Springer, 2018. — 253. — P. 67–77.
  27. Lazarev N., Rudoy E. Optimal location of a finite set of rigid inclusions in contact problems for inhomogeneous two-dimensional bodies// J. Comput. Appl. Math. — 2022. — 403. — P. 113710.
  28. Lazarev N. P., Semenova G. M., Romanova N. A. On a limiting passage as the thickness of a rigid inclusions in an equilibrium problem for a Kirchhoff–Love plate with a crack// J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. — 2021. — 14, № 1. — P. 28–41.
  29. Popova T. S. Numerical solution of the equilibrium problem for a two-dimensional elastic body with a thin semirigid inclusion// Math. Notes NEFU. — 2021. — 28, № 1. — P. 51–66.
  30. Rudoy E. M., Shcherbakov V. V. Domain decomposition method for a membrane with a delaminated thin rigid inclusion// Sib. Electron. Math. Rep. — 2016. — 13, № 1. — P. 395–410.
  31. Rudoy E. M., Shcherbakov V. V. First-order shape derivative of the energy for elastic plates with rigid inclusions and interfacial cracks// Appl. Math. Optim. — 2021. — 84. — P. 2775–2802.
  32. Shcherbakov V. V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks// Z. Angew. Math. Phys. — 2016. — 67, № 3. — P. 71.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Лазарев Н.P., Ковтуненко В.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».