Trace, determinant and eigenvalues of kernel operators

Full Text

1. Введение.

В 1950-х В. Б. Лидский [2] и А. Гротендик [5] независимо получили знаменитые формулы следа для некоторых классов ядерных операторов (В. Б. Лидский — в гильбертовых пространствах X, А. Гротендик — в общих банаховых пространствах ): ядерный след соответствующего оператора равен его спектральному следу. Напомним, что к классу ядерных операторов в X принадлежат операторы $T:X\to X$, которые допускают представления вида

$T\left(x\right)=\sum _{}_{k=1}^{\infty }{\lambda }_{k}x{\text{'}}_k\left(x\right)x_k, x\in X,$

где числа ${\lambda }_k$, функционалы $x{\text{'}}_k\in X^{\text{*}}$ и элементы $x\in X$ удовлетворяют некоторым условиям суммируемости (при этом $\sum \left|{\lambda }_k\right|<\infty )$.

Напомним некоторые факты конечномерной теории. Для всякого конечномерного оператора

$T:X\to X, Tx=\sum _{}_{k=1}^{N}x{\text{'}}_k\otimes x_k$

ядерный след $trT:=\sum _{}_{k=1}^{N}x{\text{'}}_k\left(x_k\right)$ вполне определен и не зависит от представления T. Также вполне определен детерминант оператора $1-T$:

$\text{det}\left(1-T\right)=\prod _{}_j\left(1-{\mu }_j\right),$

где $\left({\mu }_j\right)$ — полный набор собственных чисел оператора T. В этом случае, естественно, имеем формулу следа

$trT=\underset{j}{}{\mu }_j.$

Для получения формулы в случае ядерных операторов надо научиться продолжать функционалы "след" и "детерминант" с множества конечномерных операторов на соответствующие пространства ядерных операторов. Такое продолжение, в частности, — цель работы. Доказательства основных теорем о спектральных свойствах ядерных операторов основано как раз на возможности этих продолжений.

2. Предварительные сведения.

Вся терминология и факты (в настоящее время классические), приводимые здесь без каких-либо объяснений, могут быть найдены в [4, 5, 13, 14].

Пусть $X$, $Y$ — банаховы пространства. Для банахова пространства, сопряженного к X, используем обозначение $X^{\text{*}}$. Если $x\in X$ и $x\text{'}\in X^{\text{*}}$, то используем обозначение $⟨x\text{'},x⟩$ для $x\text{'}\left(x\right)$.

Обозначим через $X^{\text{*}}\widehat{\otimes }Y$ пополнение тензорного произведения $X^{\text{*}}\widehat{\otimes }Y$ (рассматриваемого как линейное пространство всех конечномерных операторов из X в Y) по норме

$\parallel w\parallel :=\text{inf}\left\{\left(\sum _{}_{k=1}^N\parallel x{\text{'}}_k\parallel \parallel y_k\parallel \right): w=\sum _{}_{k=1}^{N}x{\text{'}}_k\otimes y_k\right\}$

(см., например, [5, 14]). Для X=Y, естественный непрерывный линейный функционал "trace" на $X^{\text{*}}\otimes X$ имеет единственное непрерывное продолжение на пространство $X^{\text{*}}\widehat{\otimes }X$, которое также будем обозначать "trace".

Обозначим через $N\left(X,Y\right)$ образ тензорного произведения $X^{\text{*}}\widehat{\otimes }Y$ в пространстве $L\left(X,Y\right)$ всех ограниченных линейных отображений при каноническом фактор-отображении $X^{\text{*}}\widehat{\otimes }Y\to N\left(X,Y\right)\subset L\left(X,Y\right)$. Рассмотрим (гротендиковское) пространство $N\left(X,Y\right)$ всех ядерных операторов из X в Y с естественной нормой, индуцированной из $X^{\text{*}}\widehat{\otimes }Y$. Для тензорного элемента $u\in X^{\text{*}}\widehat{\otimes }Y$ обозначим через $\tilde{u}$ соответствующий ядерный оператор из X в Y. Иногда норму проективного тензорного произведения обозначают через $\pi$, а инъективную норму (т.е. норму, индуцированную обычной операторной нормой) — через $\epsilon$. Поэтому, например, $X^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\pi }Y=X^{\text{*}}\widehat{\otimes }Y$ и $X^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ — замыкание множества конечномерных операторов в $L\left(X,Y\right)$.

Примеры ядерных операторов (о квазинормах см. информацию ниже). Напомним их общий вид:

$T\left(x\right)=\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{\lambda }_{k}x{\text{'}}_k\left(x\right)x_k, x\in X,$

Например, если $0<s\le 1$, $\sum |{\lambda }_k{|}^s<\infty$ и $\left\{x{\text{'}}_k\right\},\left\{x_k\right\}$ ограничены, то $T\in N_s\left(X\right)$ (s-ядерный оператор с естественной квазинормой).

Более общо, если $\left({\lambda }_k\right)\in l_{s,u}\mathrm{,0}<u\le 1$ (пространство Лоренца), то $T\in N_{s,u}\left(X\right)$ ($l_{s,u}$-ядерный оператор с естественной квазинормой).

Если $0<r\le 1$, $1\le p\le 2$, $\left({\lambda }_k\right)\in l_r$, т.е. $\sum |{\lambda }_k{|}^r<\infty$, $\left\{x{\text{'}}_k\right\}$ ограничена и $\left(x_k\right)\in l_{p\text{'}}^w\left(X\right)$ (см. ниже), т.е. для всякого $x\text{'}\in X^{\text{*}}$ ряд $\sum |x\text{'}\left(x_k\right){|}^{p\text{'}}$ сходится, то $T\in N_{r,p}\left(X\right)$ ($\left(r,p\right)$-ядерный с естественной квазинормой).

Ядерный след оператора T определяется как сумма ряда:

$trT:=\sum {\lambda }_{k}x{\text{'}}_k\left(x_k\right),$

спектральный след оператора T — как сумма $\sum {\mu }_n$, где $\left\{{\mu }_n\right\}$ — последовательность всех собственных чисел T.

Ядерный след определен не для каждого ядерного оператора. В условиях теоремы Лидского он определен всегда, а в условиях теоремы Гротендика — для случая, когда $\sum |{\lambda }_k{|}^{2/3}<\infty$.

Напомним общий вид проективного тензорного элемента:

$z=\sum _{}_{k=1}^{\infty }{\lambda }_{k}y{\text{'}}_k\otimes x_k\in Y^{\text{*}}\widehat{\otimes }X$

Сопряженное к $Y^{\text{*}}\widehat{\otimes }X$ пространство есть $L\left(X,Y^{\text{**}}\right)$. Двойственность задается следом.

Рассмотрим функционал $\tilde{T}\in {\left(Y^{\text{*}}\widehat{\otimes }X\right)}^{\text{*}}$, определяемый оператором $T\in L\left(X,Y^{\text{**}}\right)$. Имеем:

$⟨\tilde{T},z⟩:=trT\circ z=\sum _{}_{k=1}^{\infty }{\lambda }_{k}T{x}_k\left(y{\text{'}}_k\right), z=\sum _{}_{k=1}^{\infty }{\lambda }_{k}y{\text{'}}_k\otimes x_k\in Y^{\text{*}}\widehat{\otimes }X.$

Для $q\in \left(\mathrm{0,}+\infty \right]$ обозначим через $l_q^w\left(X\right)$ пространство всех слабо q-суммируемых последовательностей $\left(x_i\right)\subset X$ (см., например, [13, 14]) с квазинормой

${\epsilon }_q\left(\left(x_i\right)\right):=\text{sup}\left\{{\left(\sum _{}_i|⟨x\text{'},x_i⟩{|}^q\right)}^{1/q}: x\text{'}\in X^{\text{*}}, \parallel x\text{'}\parallel \le 1\right\}$

(в случае, когда $q=\infty$, предполагаем, что $\left(x_i\right)$ — просто ограниченная, т.е. ${\epsilon }_{\infty }\left(\left(x_i\right)\right)=\underset{i}{\text{sup}}\parallel x_i\parallel$).

Пространство Лоренца $l_{p,q}$ ($0<p<\infty$, $0\le \infty$) состоит из последовательностей $\alpha :=\left({\alpha }_n\right)\in c_0$, для которых

$\parallel \alpha {\parallel }_{p,q}:={\left(\sum _{}_{n\in \mathbb{N}}{\alpha }_n^{\text{*}q}{n}^{q/p-1}\right)}^{1/q}<+\infty \text{при} q<\infty ; \parallel \alpha {\parallel }_{p\infty }:=\underset{n\in \mathbb{N}}{\text{sup}}{\alpha }_n^{\text{*}}{n}^{1/p}<+\infty ,$

где $\left({\alpha }_n^{\text{*}}\right)$ — неубывающая перестановка последовательности a, n-й элемент ${\alpha }_n^{\text{*}}$ которой определяется так:

${\alpha }_n^{\text{*}}:=\underset{\left|J\right|<n}{\text{inf}}\underset{j\notin J}{\text{sup}}\left|{\alpha }_j\right|.$

С указанными квазинормами пространства $l_{p,q}$ являются полными квазинормированными пространствами. При $p=q<\infty$ получаем пространства $l_p$.

Введем еще несколько стандартных обозначений: $l_p\left(X\right)$ — пространство абсолютно суммируемых последовательностей из X, $L\left(X\right):=L\left(X,X\right)$, ${\text{Π}}_p$ — идеалы абсолютно p -суммирующих операторов, $N_s$ (для $s\in \left(\mathrm{0,1}\right])$ — квазинормированный идеал s-ядерных операторов (см. ниже более общее определения операторов из квазинормированного идеала $N_{r,p})$. Норма в банаховом пространстве X обозначается обычно просто $\parallel \cdot \parallel$, но если необходимо подчеркнуть, в каком пространстве берется норма, то мы пишем $\parallel \cdot {\parallel }_X$. Для последовательностей элементов некоторого множества используются обозначения типа $\left(x_k\right)$, ${\left(x_k\right)}_k$, ${\left(x_k\right)}_{k=1}\infty$, $\left\{x_k\right\}$ и т. д.

Понятие детерминанта (Фредгольма) появится в своем месте. Отметим только, что для элемента $u\in X^{\text{*}}\widehat{\otimes }X$ его детерминант Фредгольма есть целая функция

$\text{det}\left(1-zu\right)=1-truz+\dots$

с нулями, равными $1/{\mu }_k\left(\tilde{u}\right)$, — обратным к ненулевым собственным значениям (каждое взятое с учетом кратности) оператора $\tilde{u}$ (см. [5]).

3. Основные определения и факты.

3.1. Квазинормы и операторные идеалы. Наше определение квазинормы несколько нестандартно. Пусть a — функция на некотором векторном пространстве E, $\alpha :E\to \widehat{ℝ}$. Будем говорить, что a — квазинорма на E, если выполнены следующие условия:

1. $\alpha \left(E\right)\subset \left[\mathrm{0,}+\infty \right]$ и $\alpha \left(x\right)=0$ влечет $x=0$;
2. существует такая постоянная $C>0$, что $\alpha \left(x+y\right)\le C\left[\alpha \left(x\right)+\alpha \left(y\right)\right]$ для $x,y\in E$;
3. $\alpha \left(ax\right)=\left|a\right|\alpha \left(x\right)$ для $a\in \mathbb{K}$, $x\in E$.

Определение 3.1. Пусть дана пара $\left(E,\alpha \right)$, где a — квазинорма на векторном пространстве E. [(i)]

1. Квазинормированным пространством, ассоциированным с парой $\left(E,\alpha \right)$, называется квазинормированное векторное пространство

$E_{\alpha }:=\left\{x\in E: \alpha \left(x\right)<\infty \right\}.$

2. Квазинормированное пространство $E_{\alpha }$ называется полным (или квазибанаховым пространством), если каждая последовательность Коши в $E_{\alpha }$ a-сходится к некоторому элементу из $E_{\alpha }$.

Отметим, что $E_{\alpha }$ является квазинормированным пространством в смысле книги [10, с. 159]; мы можем рассматривать соответствующую топологию (см. [10, с. 159-160], [3, с. 445]).

Замечание 3.1.

1. Вполне может быть, что выполняется равенство $E_{\alpha }=E$.
2. Хорошо известно (см. [3, с. 445]), что если $E_{\alpha }$ — квазинормированное пространство, то существует число $\beta \in \left(\mathrm{0,1}\right]$ и $\beta$-норма $\parallel \cdot \parallel$ на $E_{\alpha }$, эквивалентная квазинорме a. Напомним, что $\beta$-норма на векторном пространстве F это квазинорма $\parallel \cdot \parallel :F\to ℝ$, для которой при всех $x,y\in F$ выполняется следующее $\beta$-неравенство треугольника $\parallel x+y{\parallel }^{\beta }\le \parallel x{\parallel }^{\beta }+\parallel y{\parallel }^{\beta }$.

Напомним, что операторный идеал $\mathbb{A}:=\left(A\left(X,Y\right):X,Y -\text{банаховы пространства}\right)$ есть подкласс класса всех линейных ограниченных операторов, компоненты $A\left(X,Y\right)\subset L\left(X,Y\right)$ которого удовлетворяют следующим условиям:

• (O_i) $1_K\in \mathbb{A}$, где K обозначает одномерное банахово пространство;
• (O_ii)если $U,V\in A\left(X,Y\right),$ то $a_{1}U+a_{2}V\in A\left(X,Y\right)$ для всех скалярных $a_1,a_2$;
• (O_iii) если $S\in L\left(Z,X\right)$, $U\in A\left(X,Y\right)$ и $T\in L\left(Y,W\right)$, то $TUS\in A\left(Z,W\right)$.

Операторный идеал $\mathbb{A}$ называется квазинормированным, если на нем определен класс a квазинорм (обозначим их снова a), которые на компонентах являются квазинормами, обладающими следующими свойствами:

• (O_iv) $a\left(1_K\right)=1$;
• (O_v) если $S\in L\left(Z,X\right)$, $U\in A\left(X,Y\right)$ и $T\in L\left(Y,W\right)$, то $a\left(TUS\right)\le \parallel T\parallel a\left(U\right) \parallel S\parallel$.

3.2. Проективные квазинормы и свойства аппроксимации. Пусть $\alpha$ — такая квазинорма на проективном тензорном произведении $X\widehat{\otimes }Y$, что $\alpha \left(x\otimes y\right)=\parallel x\parallel \parallel y\parallel$ для $x\in X,y\in Y$. Ассоциированное квазинормированное тензорное произведение (которое мы будем обозначать через $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$ и называть $\alpha$-проективным тензорным произведением) является $\alpha$-замыканием алгебраического тензорного произведения $X\otimes Y$ в ${\left(X\widehat{\otimes }Y\right)}_{\alpha }$ (в конкретных случаях будем использовать некоторые специфические обозначения). Таким образом,

$X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y:=\{u\in X\widehat{\otimes }Y:\alpha \left(u\right)<\infty , \exists \left(u_n\right)\subset X\otimes Y: \alpha \left(u-u_n\right)\underset{n\to \infty }{\to }0\}.$

Определение 3.2.

1. Пусть $\widehat{\otimes }$ обозначает класс всех тензорных элементов проективных тензорных произведений произвольных банаховых пространств. Проективная тензорная квазинорма a — такое отображение из $\widehat{\otimes }$ в $\widehat{R}$, что a является квазинормой на каждой компоненте $X\widehat{\otimes }Y$, обладающей следующими свойствами:
   
   • (Q₁) $\alpha \left(x\otimes y\right)=\parallel x\parallel \parallel y\parallel$ для $x\in X,y\in Y$;
   • (Q₂) существует такая постоянная $C>0$, что $\alpha \left(u_1+u_2\right)\le C\left[\alpha \left(u_1\right)+\alpha \left(u_2\right)\right]$ для всех X, Y и $u_1,u_2\in X\widehat{\otimes }Y$;
   • (Q₃) если $u\in X\widehat{\otimes }Y$, $A\in L\left(X,E\right)$ и $B\in L\left(Y,F\right)$, то $\alpha \left(A\otimes B\left(u\right)\right)\le \parallel A\parallel \alpha \left(u\right) \parallel B\parallel$.
   • (Q₄) для всех $X,Y$ тензорное произведение $X\otimes Y$ плотно в $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$.
2. Проективная тензорная норма $\alpha$ называется полной, если каждое $\alpha$-проективное тензорное произведение $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$ является полным, т.е. квази-банаховым.

Для каждой проективной тензорной квазинормы $\alpha$ существуют такие $\beta \in \left(\mathrm{0,1}\right]$ и эквивалентная $\beta$-норма $\parallel \cdot {\parallel }_{\beta }$ на $\widehat{\otimes }$, что $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y=X{\widehat{\otimes }}_{\parallel \cdot {\parallel }_{\beta }}Y$ (т.е. существует такая квазинорма $\parallel \cdot {\parallel }_{\beta }$ с $\beta$-неравенством треугольника, что для некоторых положительных постоянных $C_1$, $C_2$ и для всех проективных тензорных элементов  выполняются неравенства $C_1\alpha \left(u\right)\le \parallel u{\parallel }_{\beta }\le C_2\alpha \left(u\right)$). Таким образом, можем предполагать, если нужно, что a priori $\alpha$ есть $\beta$-норма.

Мы не будем здесь рассматривать детально свойства введенных объектов. Однако нам понадобится ниже тот факт, что отображение включения $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y\hookrightarrow X\widehat{\otimes }Y$ непрерывно для всех банаховых пространств X, Y (в основных примерах 3.1 ниже это будет автоматически выполнено). Доказательство можно найти в работе автора [19, Proposition 4.1].

Так как $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$ — линейное подпространство в $X\widehat{\otimes }Y$, то пространство $L\left(Y,X^{\text{*}}\right)$ разделяет точки $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$. Если $u\in X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$, то $u=0$ тогда и только тогда, когда $traceU\circ u=0$ для каждого $U\in L\left(Y,X^{\text{*}}\right)$. В частности, сопряженное пространство к ${\left(X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y\right)}^{\text{*}}$ разделяет точки $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$.

Ясно, что каждый тензорный элемент $u\in X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$ порождает ядерный оператор $\tilde{u}:X^{\text{*}}\to Y$. Если X является сопряженным пространством, скажем $E^{\text{*}}$, то получаем каноническое отображение $j_{\alpha }:E^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y\to L\left(E,Y\right)$. Обозначим через $N_{\alpha }\left(E,Y\right)$ образ отображения $j_{\alpha }$ и снабдим его "$\alpha$-ядерной" квазинормой ${\nu }_{\alpha }$: это квазинорма, индуцированная из $E^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y$ фактор-отображением $E^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }Y\to N_{\alpha }\left(E,Y\right)$. Если проективная тензорная квазинорма a полна, то $N_{\alpha }\left(E,Y\right)$ является квази-банаховым пространством, а $N_{\alpha }$ — квази-банахов операторный идеал.

Определение 3.3. Пусть $\alpha$ — полная проективная тензорная квазинорма. Говорят, что банахово пространство X обладает свойством аппроксимации $A{P}_{\alpha }$, если для любого банахова пространства E каноническое отображение $E^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X\to N_{\alpha }\left(E,X\right)$ взаимно однозначно (другими словами, если $E^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X=N_{\alpha }\left(E,X\right)$).

Заметим, что если $\alpha =\parallel \cdot {\parallel }_{\wedge }$, то получаем классическое свойство аппроксимации AP А. Гротендика (см. [5]). Должно быть понятно, что $AP$ влечет $A{P}_{\alpha }$ для любой проективной тензорной квазинормы.

Ниже нам понадобится следующая лемма.

Лемма 3.1. Банахово пространство X имеет свойство $A{P}_{\alpha }$ тогда и только тогда, когда каноническое отображение $X^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X\to L\left(X\right)$ взаимно однозначно.

Доказательство леммы 3.1 дословно повторяет доказательство предложения 6.1 из [19].

Пример 3.1. Пусть $0<r,s\le 1$, $0<p,q\le \infty$ и $1/r+1/p+1/q=1/\beta \ge 1$. Определим тензорное произведение $X{\widehat{\otimes }}_{r,p,q}Y$ как линейное подпространство проективного тензорного произведения $X\widehat{\otimes }Y$, состоящее из всех тензорных элементов z, которые допускают представления вида

$z=\sum _{}_{k=1}^{\infty }{\alpha }_k{x}_k\otimes y_k, \left({\alpha }_k\right)\in l_r, \left(x_k\right)\in l_{w,p}\left(X\right), \left(y_k\right)\in l_{w,q}\left(Y\right);$

мы снабжаем его квазинормой

$\parallel z{\parallel }_{r,p,q}:=\text{inf}\parallel \left({\alpha }_k\right){\parallel }_r \parallel \left(x_k\right){\parallel }_{w,p} \parallel \left(y_k\right){\parallel }_{w,q},$

где инфимум берется по всем представлениям z в указанной выше форме. Отметим, что это тензорное произведение $\beta$ -нормировано (см. [11], где рассмотрена версия рассматриваемого тензорного произведения как пополнение алгебраического тензорного произведения по соответствующей "конечной" $\parallel \cdot {\parallel }_{r,p,q}$-квазинорме). Оно квази-банахово (о его полноте см. [15]). Соответствующий квазинормированный операторный идеал $N_{r,p,q}$ есть квази-банахов идеал $\left(r,p,q\right)$-ядерных операторов (см. [11, 13]). В частных случаях, когда один или два из показателей p, q равны $\infty$, мы используем обозначения, близкие к аналогичным обозначениям из [17, 19] (с заменой $p\text{'}$, $q\text{'}$ на p, q): $N_{r,\infty ,\infty }$ через $N_r$, $N_{r,\infty ,q}$ через $N_{\left[r,q\right]}$, $N_{r,p,\infty }$ через $N^{\left[r,p\right]}$, ${\widehat{\otimes }}_{r,\infty ,\infty }$ через ${\widehat{\otimes }}_r$, ${\widehat{\otimes }}_{r,\infty ,q}$ через ${\widehat{\otimes }}_{\left[r,q\right]}$, ${\widehat{\otimes }}_{r,p,\infty ,}$ через ${\widehat{\otimes }}^{\left[r,p\right]}$. Соответствующие обозначения используем также для свойств $A{P}_{r,p,q}$:

1. для $p=q=\infty$ получаем $A{P}_r$ из [19];
2. для $p=\infty$ получаем $A{P}_{\left[r,q\right]}$ из [17, 19];
3. для $q=\infty$ получаем $A{P}^{\left[r,p\right]}$ из [17, 19].

Нам понадобятся некоторые факты о свойствах аппроксимации из примера 3.1. Соберем их в следующей лемме.

Лемма 3.2.

1. [см. [18, Corollary 10]]. Пусть $s\in \left(\mathrm{0,1}\right]$, $p\in \left[\mathrm{1,}\infty \right]$ и $1/s=1+\left|1/p-1/2\right|$. Если банахово пространство изоморфно подпространству фактор-пространства (или фактор-пространству подпространства) некоторого $L_p$-пространства, то оно имеет свойство $A{P}_s$.
2. [см. [17, Corollary 4.1], [19, Theorem 7.1]]. Пусть $1/r-1/p=1/2$. Каждое банахово пространство обладает свойствами $A{P}_{\left[r,p\text{'}\right]}$ и $A{P}^{\left[r,p\text{'}\right]}$.

Доказательство утверждения 2 см. ниже (пример 3.3; см. также [19] для других результатов в этом направлении).

Замечание 3.2. По существу доказательство того, что каждое банахово пространство имеет свойство $A{P}^{\left[\mathrm{1,2}\right]}$ явно содержится в [13]. Там получено, что это утверждение (после применения некоторых фактов из комплексного анализа) влечет формулы типа формул Гротендика– Лидского для операторов из $N^{\left[\mathrm{1,2}\right]}$ (см. [13, 27.4.11]; это влечет формулу Лидского для trace-класса операторов в гильбертовых пространствах и также формулу следа Гротендика для $N_{2/3}$). С другой стороны, существует весьма простой способ получить эти результаты о свойствах$A{P}^{[1,2]}$  и $N^{[1,2]}$ из теоремы Лидского (см. доказательства теорем [19, Theorems 7.1-7.3] для $p=2$.

3.3. Факторизация через прямые суммы. Ниже $X$, $Y$ — произвольные банаховы пространства.

Напомним, что последовательность $\left(x_k\right)$ элементов из $X$ называется безусловным базисом, если каждый $x\in X$ единственным образом разлагается в ряд $x=\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{a}_k{x}_k$ и этот ряд безусловно сходится (сходится при любой перестановке ряда). Это эквивалентно тому, что существует такая постоянная $K\ge 1$, что для любого выбора знаков  выполняется неравенство

$||\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{t}_k{a}_k{x}_k||\le K ||\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{a}_k{x}_k||.$

 Безусловная константа базиса $\left(x_k\right)$ есть $ub\left(x_k\right):=\text{inf}K$. Таким образом, 1-безусловный базис — это базис, для которого $\parallel x\parallel =||\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{t}_k{a}_k{x}_k||$ для всякого $x\in X$ при любом выборе знаков $\left(t_k\right)$. Базис нормирован, если все его элементы имеют единичную норму.

Если $\left(x_k\right)$ — безусловный базис и $\sigma$ — подмножество множества натуральных чисел, то естественный проектор $P_{\sigma }:X\to X$, определяемый формулой

$P_{\sigma }\left(x\right):=\underset{k\in \sigma }{}{a}_k{x}_k,$

ограничен и $\parallel p_{\sigma }\parallel \le ub\left(x_k\right)$ (см., например, [12, с. 18]).

Напомним определение прямой суммы банаховых пространств. Пусть $E$ — банахово пространство с 1-безусловным нормированным базисом $\left(e_k\right)$ и $\left(X_i\right)$ — последовательность банаховых пространств. Прямой суммой этих пространств по типу $E$ называется банахово пространство ${(\sum X_i)}_E$, состоящее из последовательностей $\left(x_i\right)$, $x_i\in X_i$, для которых конечна норма

$\parallel \left(x_i\right)\parallel :=\underset{i}{}\parallel x_i\parallel {e_i}_E.$

Пространство ${(\sum X_i)}_E$ обладает следующими важными свойствами:

• (u₁) Каждое пространство $X_n$ естественным образом изометрически вкладывается в ${(\sum X_i)}_E$ и его образ 1-дополняем там, т.е. существует (естественный) непрерывный проектор из ${(\sum X_i)}_E$ на образ $X_n$ и норма этого проектора равна 1. Более того, то же верно, если вместо одного пространства $X_n$ рассмотреть конечную прямую сумму ${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{}}{X}_i\right)}_E$ и соответствующий проектор $P_n$.^[1]
• (u₂) Если в каждой из изометрических копий пространств $X_i$ взять по элементу $x_i$ единичной нормы, то полученная последовательность $\left(x_i\right)$ будет образовывать последовательность, эквивалентную базису $\left(e_i\right)$.

Заметим, что определить понятие прямой суммы ("по базису") с теми же хорошими свойствами для пространств в базисами более слабых типов (например, условного) затруднительно (цитата из [1]: как ни определяй понятие прямой суммы бесконечномерных пространств $X_i$ по последовательности $\left(e_i\right)$, не являющейся безусловной базисной последовательностью, свойство $\left(u_2\right)$ прямой суммы не будет выполнено ни в каком смысле).

Ниже, говоря о прямых суммах пространств, будем подразумевать (если не задан явно тип суммы), что рассматриваемая сумма берется по типу $E$ для некоторого пространства $E$ с 1-безусловным базисом.

Пусть $\mathbb{Z}:=\left(Z_{\alpha }\right)$ — семейство банаховых пространств, которое с каждой парой пространств $Z_1$, $Z_2$ содержит и их прямую сумму $Z_1\oplus Z_2$. Обозначим через ${\text{Γ}}_Z$ совокупность всех операторов, которые факторизуются через пространство из $\mathrm{\mathbb{Z}}$: $T\in {\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$ тогда и только тогда, когда существуют пространство $Z\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ и такие операторы $A\in L\left(X,Z\right)$ и $B\in L\left(Z,Y\right)$, что $T=BA:X\stackrel{A}{\to }Z\stackrel{B}{\to }Y$. Пространство ${\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$ нормировано с нормой

${\gamma }_{\mathbb{Z}}\left(T\right):=\text{inf}\left\{\parallel A\parallel \parallel B\parallel : \exists Z\in \mathbb{Z}, A\in L\left(X,Z\right), B\in L\left(Z,Y\right); T=BA\right\},$

а $\left({\text{Γ}}_{\mathbb{Z}},{\gamma }_{\mathbb{Z}}\right)$ — нормированный операторный идеал. Действительно, пусть $1_K$ — тождественный оператор в одномерном пространстве $K$ и $Z\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Далее, пусть $j:K\to Z$ — какое-либо изометрическое вложение. Продолжим отображение (линейный функционал) $1_K{j}^{-1}:j\left(K\right)\to K$ с подпространства $j\left(K\right)\subset Z$ на все $Z$ до отображения $J:Z\to K$ с сохранением нормы. Ясно, что $1_K=Jj:K\to Z\to K$, ${\gamma }_{\mathbb{Z}}\left(1_K\right)=1$. Таким образом, выполнены условия (O_i) и (O_iv).

Проверим линейность (условие (O_ii)). Для $U,V\in {\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$ пусть $U=B_1{A}_1$ и $V=B_2{A}_2$ — факторизации этих операторов через пространства $Z_1$ и через $Z_2$ из $\mathrm{\mathbb{Z}}$ соответственно. Рассмотрим прямую сумму $Z:=Z_1\oplus Z_2$, обозначив через $j_k$ и $P_k$ естественные изометрические вложения $Z_k\to Z$ и проекторы $Z\to Z_k$, $k=1,2$, соответственно (так что $P_k{j}_k=1_{Z_k}$ и $P_1{j}_2=P_2{j}_1=0)$. Положим

$A\left(\cdot \right):=\left(j_1{A}_1\left(\cdot \right),j_2{A}_2\left(\cdot \right)\right):X\to Z=Z_1\oplus Z_2, B\left(\cdot \right):=B_1{P}_1\left(\cdot \right)+B_2{P}_2\left(\cdot \right):Z=Z_1\oplus Z_2\to Y.$

 Для $x\in X$ имеем:

$BAx=B\left(j_1{A}_{1}x,j_2{A}_{2}x\right)=\left(B_1{P}_1+B_2{P}_2\right)\left(j_1{A}_{1}x,j_2{A}_{2}x\right)=B_1{A}_{1}x+B_2{A}_{2}x=Ux+Vx,$

т.е. $U+V\in {\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$, причем ясно, что

${\gamma }_{\mathbb{Z}}\left(U+V\right)\le {\gamma }_{\mathbb{Z}}\left(U\right)+{\gamma }_{\mathbb{Z}}\left(V\right).$

Мультипликативность из условия (O_ii) очевидна, так же как и ясно выполнение условий (O_iii) и (O_v).

Для полноты операторного идеала нужна сходимость соответствующих рядов. Поэтому обратимся к частному случаю рассмотренного только что идеала ('подидеалу').

Пусть теперь $\mathbb{Z}:=\left(Z_{\alpha }\right)$ — семейство банаховых пространств, замкнутое относительно взятия не более чем счетных прямых сумм (напомним, что надо фиксировать банахово пространство с 1-безусловным базисом $E$ и говорить о прямых $E$-суммах). Рассмотрим снова идеал ${\text{Γ}}_Z$ операторов, которые факторизуются через пространство из $\mathrm{\mathbb{Z}}$ с нормой, описанной выше. Пространство ${\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$ банахово, а $\left({\text{Γ}}_{\mathbb{Z}},{\gamma }_{\mathbb{Z}}\right)$ — банахов нормированный операторный идеал. Действительно, надо лишь установить полноту идеала. Для этого мы фиксируем $\epsilon >0$ и рассмотрим сходящийся ряд

$\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{\gamma }_{\mathbb{Z}}\left(T_k\right)<\infty ,$

где $T_k:=B_k{A}_k\in {\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$, $A_k:X\to Z_k$ и $B_k:Z_k\to Y$ для некоторых пространств $Z_k\in \mathbb{Z}$. Будем считать, что

$\parallel A_k\parallel \le \left(1+\epsilon \right){\gamma }_{\mathbb{Z}}{\left(T_k\right)}^{1/2}, \parallel B_k\parallel \le \left(1+\epsilon \right){\gamma }_{\mathbb{Z}}{\left(T_k\right)}^{1/2}.$

Покажем, что ряд $\sum T_k$ сходится в ${\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$.

Положим $Z:={(\sum Z_k)}_E\in \mathbb{Z}$. Для каждого $k$ пусть $j_k$ и $P_k$ — такие изометрическое вложение $Z_k\to Z$ и проектор $Z\to Z_k$, что $1_{Z_k}=P_k{j}_k$, $\parallel P_k\parallel =$ (ср. с тем, как подобное было проделано выше). Определим операторы $A:X\to Z$ и $B:Z\to Y$ равенствами

$A:=\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{j}_k{A}_k, B:=\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{B}_k{P}_k.$

Так как

$\sum \parallel j_k{A}_k\parallel \le \sum \left(1+\epsilon \right){\gamma }_{\mathbb{Z}}{\left(T_k\right)}^{1/2}, \sum \parallel B_k{P}_k\parallel \le \sum \left(1+\epsilon \right){\gamma }_{\mathbb{Z}}{\left(T_k\right)}^{1/2},$

то эти операторы вполне определены, причем

$\parallel BA\parallel =\sum _{k=1}^{\infty }{B}_k{P}_k{j}_k{A}_k=\sum _{}_{k=1}^{\infty }{B}_k{A}_k\le \sum _{}_{k=1}^{\infty }\parallel B_k\parallel \parallel A_k\parallel \le \left(1+\epsilon \right)\sum _{}_{k=1}^{\infty }{\gamma }_{\mathbb{Z}}\left(T_k\right).$

Отсюда заключаем, что $T=BA=\sum T_k$, т.е. наш ряд сходится в ${\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$ и, следовательно, пространство ${\text{Γ}}_{\mathbb{Z}}\left(X,Y\right)$ полно.

3.4. Спектральный тип. Пусть $T$ — оператор в $X$, все ненулевые собственные значения которого суть собственные числа конечной (алгебраической) кратности и которые не имеют предельных точек, кроме, быть может, нуля. Положим

$\lambda \left(T\right)=\left\{\lambda "-\text{собственноезначениеT}\right\}\backslash \left\{0\right\}$

(собственные числа $T$ берутся в соответствии с их алгебраической кратностью). Будем говорить, что оператор $T\in L\left(X,X\right)$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$, если последовательность собственных чисел $\lambda \left(T\right):=\left({\lambda }_k\left(T\right)\right)$ лежит в пространстве Лоренца $l_{p,q}$. Если $T$ — спектрального типа $l_1$, то мы можем определить спектральный след оператора $T$:

$sp tr\left(T\right):=\sum {\lambda }_k\left(T\right).$

Говорим, что подпространство $L_1\left(X,X\right)\subset L\left(X,X\right)$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$, если каждый оператор $T\in L_1\left(X,X\right)$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$. Напомним, что операторный идеал $\mathfrak{A}$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$, если каждая его компонента $\mathfrak{A}(X,X)$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$.

Определение 3.4. Пусть $\alpha$ — проективная квазинорма. Тензорное произведение $X{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$, если пространство $N_{\alpha }\left(X,Y\right)$ есть пространство спектрального типа $l_{p,q}$. Проективная тензорная квазинорма $\alpha$ (или тензорное произведение ${\widehat{\otimes }}_{\alpha }$) имеет спектральный тип $l_{p,q}$, если соответствующий операторный идеал $N_{\alpha }$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$.

Пример 3.2.

1. Пространство $N_1\left(H\right)$($=N_{\left[\mathrm{1,2}\right]}\left(H\right)=N^{\left[\mathrm{1,2}\right]}\left(H\right)=S_1\left(H\right)$ (trace-класс операторов в гильбертовом пространстве) имеет спектральный тип $l_1$ (см. [20]).
2. Пространства ${\widehat{\otimes }}_{2/3}$ и $N_1\circ N_1$ имеют спектральный тип $l_1$ (см. [5]).
3. Пространство $N^{\left[\mathrm{1,2}\right]}$ имеет спектральный тип $l_1$ (см. [13, 27.4.9]).
4. Пространство $N_{[1,2]}$ имеет спектральный тип $l_1$ (см. [19, Theorem 7.2, p=2]; это следует из предыдущего утверждения.
5. Более общо, если $1/r-1/p=1/2$, то $\widehat{{\otimes }_{\left[r,p\right]}}=N_{\left[r,p\right]}$, $\widehat{{\otimes }^{\left[r,p\right]}}=N^{\left[r,p\right]}$ и они имеют спектральный тип $l_1$ (см. [19, Theorems 7.1-7.3]; простое доказательство будет дано ниже в примере 3.3).

Отметим, что во всех случаях примера 3.2 для соответствующих операторов (скажем, $T$) верна формула следа:

$traceT=sp trT.$

Общий результат в этом направлении — предложение 5.2. Следующее предложение — результат для частного случая, когда рассматривается семейство всех банаховых пространств; он является частным случаем предложения 5.2.

Предложение 3.1. Пусть $\alpha$ — полная проективная квазинорма спектрального типа $l_1$. Для каждого банахова пространства $X$ со свойством $A{P}_{\alpha }$ и для любого $T\in N_{\alpha }\left(X\right)$, имеем $traceT=sp trT$.

Иногда полезно следующее обращение предыдущего предложения (для произвольной квазинормы).

Предложение 3.2. Пусть $\alpha$ — полная проективная квазинорма. Если для банахова пространства $X$ и для всякого $z\in X^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X$ выполняется равенство $tracez=sp tr\tilde{z}$, то $X$ обладает свойством $A{P}_{\alpha }$.

Доказательство. Предположим, что $X$ не обладает свойством $A{P}_{\alpha }$. Согласно лемме 3.1 найдется такой элемент $z\in X^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X$, что $trace z=1$ и $\tilde{z}=0$. По предположению $sp tr\tilde{z}=trace z=1$; противоречие.

Пример 3.3. Пусть $0<r\le 1$, $1\le p\le 2$, $1/r=1/2+1/p$.

1. Если $T\in N_{\left[r,p\text{'}\right]}\left(X\right)$ (см. пример 3.1), то допускает факторизацию

$T=BA:X\stackrel{A}{\to }{l}_p\stackrel{B}{\to }X, A\in N_r\left(X,l_p\right), B\in L\left(l_p,X\right).$

 Полные системы собственных чисел операторов $T=BA$ and $AB$ совпадают. Но $AB\in N_r\left(l_p,l_p\right)$. Следовательно, $AB$ (и, значит, $T$) имеют спектральный тип $l_1$, как и всякий $r$-ядерный оператор в $l_p$ (см. [8, Theorem 7]). Отсюда вытекает, что $N_{[r,p\text{'}]}$ имеет спектральный тип $l_1$. Легко видеть, что если $z\in X^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\left[r,p\text{'}\right]}X$ таков, что $\tilde{z}=T$, то $trace z=trace AB$ (напомним, что $l_p$ имеет свойство $AP$). Но $trace AB=sp tr AB$ (это установлено, например, в [16, 19], а также следует из предложения 3.1). Следовательно, для каждого $z\in X^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\left[r,p\text{'}\right]}X$ имеем $trace z=sp tr \tilde{z}$. Согласно предложению 3.2 каждое банахово пространство обладает свойством $A{P}_{\left[r,p\text{'}\right]}$ ($=A{P}_{r,\infty ,p\text{'}}$; см. пример 3.1). Таким утверждение 2 леммы 3.2 для случая $A{P}_{\left[r,p\text{'}\right]}$ доказано.

2. Если $T\in N^{\left[r,p\text{'}\right]}\left(X\right)$ (см. пример 3.1), то $T$ допускает факторизацию

$T=BA:X\stackrel{A}{\to }{l}_p\stackrel{B}{\to }X, A\in L\left(X,l_p\right), B\in N_r\left(l_p,X\right).$

Как и в п. 1, видим, что для любого $z\in X^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}^{\left[r,p\text{'}\right]}X$ имеем $trace z=sp tr \tilde{z}$. Далее, согласно предложению 3.2 каждое банахово пространство имеет свойство $A{P}^{\left[r,p\right]}$ ($=A{P}^{r,\infty ,p\text{'}}$; см. пример 3.1). Таким образом, утверждение 2 леммы 3.2 для случая $A{P}^{\left[r,p\text{'}\right]}$ доказано.

Ниже нам понадобится следующий основной результат из [21]:

(W) Если $J$ — квази-банахов операторный идеал спектрального типа $l_1$, то спектральная сумма является следом на этом идеале $J$.

Напомним (см. [21, определение 2.1]), что след на операторном идеале $J$ — это класс комплекснозначных функций $\tau$, каждая из которых задана на компоненте $J(E, E)$, где $E$ — произвольное банахово пространство, причем

1. $\tau \left(e\text{'}\otimes e\right)=⟨e\text{'},e⟩$ для всех $e\text{'}\in E^{\text{*}}$, $e\in E$;
2. $\tau \left(AU\right)=\tau \left(UA\right)$ для всех банаховых пространств $E$, $F$ и операторов $U\in J\left(E,F\right)$, $A\in L\left(F,E\right)$;
3. $\tau \left(S+U\right)=\tau \left(S\right)+\tau \left(U\right)$ для всех $S,U\in J\left(E,E\right)$;
4. $\tau \left(\lambda U\right)=\lambda \tau \left(U\right)$ для всех $\lambda \in C$ и $U\in J\left(E,E\right)$.

3.5. Свойства $\alpha$-продолжения и $\alpha$-лифтинга. Следующие определения и предложения понадобятся ниже. Впрочем, они представляют и самостоятельный интерес.

Определение 3.5 Пусть $\alpha$ — полная проективная тензорная квазинорма. Банахово пространство $X$ имеет свойство $\alpha$-продолжения, если для любого подпространства $X_0\subset X$ и для всякого тензорного элемента $z_0\in X_0^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }{X}_0$ существует продолжение $z\in X^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }{X}_0$ (так что $z\circ i=z_0$ и $trace i\circ z=trace z_0$, где $i:X_0\to X$ — естественное вложение). Банахово пространство $X$ имеет свойство $\alpha$-лифтинга, если для всякого подпространства $X_0\subset X$ и для каждого тензорного элемента $z_0\in {(X/X_0)}^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X/X_0$ существует лифтинг $z\in {(X/X_0)}^{*}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X$ (так что $Q\circ z=z_0$, где $Q$ — фактор-отображение из $X$ на $X/X_0$, и $trace z\circ Q=trace z_0$).

Замечание 3.3. Если $X$ имеет свойство $\alpha$-продолжения, то и каждое его подпространство имеет свойство $\alpha$-продолжения. Если пространство $X$ имеет свойство $\alpha$-лифтинга, то и каждое его фактор-пространство имеет свойство $\alpha$-лифтинга.

Пример 3.4. Каждое банахово пространство обладает свойствами $\parallel \cdot {\parallel }_{r,\infty ,q}$-продолжения и $\parallel \cdot {\parallel }_{r,\infty ,q}$-лифтинга (см. пример 3.1). Для тензорных произведений $\left({\widehat{\otimes }}_s,\parallel \cdot {\parallel }_{s,\infty ,\infty }\right)$, $s\in \left(\mathrm{0,1}\right]$, все банаховы пространства имеют как свойство $\parallel \cdot {\parallel }_{s,\infty ,\infty }$-продолжения, так и свойство $\parallel \cdot {\parallel }_{s,\infty ,\infty }$-лифтинга. Это следует из теорема Хана – Банаха и из определения банаховых фактор-пространств.

Теорема 3.1. Пусть $\alpha$ — полная проективная тензорная квазинорма и банахово пространство $X$ имеет свойство $\alpha$-продолжения. Если $N_{\alpha }\left(X\right)$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$, то всякое его подпространство также имеет спектральный тип $l_{p,q}$.

Доказательство. Пусть $X_0$ — подпространство в $X$ и $T\in N_{\alpha }\left(X_0,X_0\right)$. Найдется элемент $z_0\in X_0^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }{X}_0$, для которого ${\tilde{z}}_0=T$. Согласно предположению существует продолжение $z\in X^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }{X}_0$ (так что $z\circ i=z_0$ и $trace i\circ z=trace z_0$, где $i:X_0\to X$ — естественное вложение). Рассмотрим диаграмму

$i\tilde{z}i:X_0\stackrel{i}{\to }X\stackrel{\tilde{z}}{\to }{X}_0\stackrel{i}{\to }X.$

Так как $T={\tilde{z}}_0=\tilde{z}i$ и $\tilde{z}\in N_{\alpha }\left(X,X_0\right)$, то $i\tilde{z}\in N_{\alpha }\left(X\right)$ и спектр $sp i\tilde{z}\backslash \left\{0\right\}\in l_{p,q}$. Но собственные числа оператора $T$ (с учетом кратностей) те же, что и собственные числа оператора $i\tilde{z}$. Следовательно, $T$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$.

Теорема 3.2. Пусть $\alpha$ — полная проективная тензорная квазинорма и банахово пространство $X$ имеет свойство $\alpha$-лифтинга. Если $N_{\alpha }\left(X\right)$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$, то всякое его фактор-пространство также имеет спектральный тип $l_{p,q}$.

Доказательство. Возьмем подпространство $X_0\subset X$ и рассмотрим фактор-пространство $X/X_0$. Если $T\in N_{\alpha }\left(X/X_0,X/X_0\right)$, то найдется такой элемент $z_0\in \left(X/X_0{)}^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X/X_0\right)$, что ${\tilde{z}}_0=T$. Согласно предположению существует тензорный элемент $z\in {(X/X_0)}^{\text{*}}{\widehat{\otimes }}_{\alpha }X$, для которого $Q\circ z=z_0$, где $Q$ — фактор-отображение из $X$ на $X/X_0$. Рассмотрим диаграмму

$Q\tilde{z}Q:X\stackrel{Q}{\to }X/X_0\stackrel{\tilde{z}}{\to }X\stackrel{Q}{\to }X/X_0.$

Так как $T={\tilde{z}}_0=Q\tilde{z}$ и $\tilde{z}\in N_{\alpha }\left(X,X_0\right)$, то $\tilde{z}Q\in N_{\alpha }\left(X\right)$ и спектр $sp \tilde{z}Q\backslash \left\{0\right\}\in l_{p,q}$. Но собственные числа оператора $T$ (с учетом кратностей) те же, что и собственные числа оператора $\tilde{z}Q$. Следовательно, $T$ имеет спектральный тип $l_{p,q}$.

4. Детерминант и след.

Нам понадобятся некоторые вспомогательные факты из теории следов и детерминантов. Ниже мы доказываем два из них; нам не удалось найти в литературе доказательства этих утверждений именно в том виде, в котором мы их применяем. Итак два предложения о непрерывности следа и о непрерывности детерминанта.

Напомним еще раз, что для всякого конечномерного оператора

$T:X\to X, Tx=\underset{k=1}{\overset{N}{}}x{\text{'}}_k\otimes x_k$

ядерный след $trT:={\sum }_{k=1}^{N}x{\text{'}}_k\left(x_k\right)$ вполне определен и не зависит от представления $T$. Также вполне определен детерминант оператора $1-T$:

$\text{det}\left(1-T\right)=\underset{j}{}\left(1-{\mu }_j\right),$

где $\left({\mu }_j\right)$ — полный набор собственных чисел оператора $T$. В этом случае, естественно, имеем формулу следа

$trT=\underset{j}{}{\mu }_j.$

Предложение 4.1. Пусть $A$ — квазинормированный операторный идеал, $X$ — банахово пространство, для которого множество конечномерных операторов плотно в пространстве $A\left(X\right)$. Предположим, что стандартный функционал $trace$ ограничен на подпространстве всех конечномерных операторов из $A\left(X\right)$ (и, таким образом, может быть продолжен до непрерывного следа на все пространство $A\left(X\right)$). Тогда соответствующий детерминант Фредгольма равномерно непрерывен (по $A-$квазинорме) на некотором $A$-шаре подпространства всех конечномерных операторов из $A\left(X\right)$. Более того, существуют такие постоянные $r_0\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ и $c_0>0$, что для конечномерных $u,v\in A\left(X\right)$ условия $\parallel u{\parallel }_A\le r_0$ и $\parallel v{\parallel }_A\le r_0$ влекут

$\left|\text{det}\left(1-u\right)-\text{det}\left(1-v\right)\right|\le c_0 \parallel u-v{\parallel }_A.$

Доказательство. Без ограничения общности можем предполагать, что данная квазинорма в $A$ является $s$-нормой, т.е. существует такое число $s\in \left(\mathrm{0,1}\right]$, что для любых $x,y\in A$ выполняется неравенство $\parallel x+y{\parallel }_A^s\le \parallel x{\parallel }_A^s+\parallel y{\parallel }_A^s$ (см. [7, с. 1102]).

Обозначим через $b$ такую постоянную, что $\left|traceR\right|\le b\parallel R{\parallel }_A$ для любого конечномерного оператора $R$ из $A$. Пусть $u$, $v$ — два конечномерных оператора из $A$, удовлетворяющие условиям $\parallel u{\parallel }_A^s\le r$ и $\parallel v{\parallel }_A^s\le r$, где $r>0$ мало. Тогда (см., например, [4, теорема I.3.3] или [5]) для $\left|z\right|\le 1$

$\text{det}\left(1-zu\right)=\text{exp}\left(-\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}\frac{1}{n}trace\left(u^n\right) z^n\right),$

откуда

$\left|\text{det}\left(1-u\right)-\text{det}\left(1-v\right)\right|=\left|\text{exp}\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}\left(-\frac{1}{n}\right)trace\left(u^n\right)-\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}\left(-\frac{1}{n}\right)trace\left(v^n\right)\right)\right|\le$

$\le c_1\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}\frac{1}{n}\left|trace\left(u^n\right)-trace\left(v^n\right)\right|\le c_{1}b\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}\frac{1}{n}\parallel u^n-v^n{\parallel }_A,$

для малых $r>0$, где $c_1$ — некоторая постоянная. Если $q:=\text{max}\left\{\parallel u{\parallel }_A;\parallel v{\parallel }_A\right\}$, то

$\parallel u^n-v^n{\parallel }_A^s\le \parallel \left(u^{n-1}-v^{n-1}\right)u{\parallel }_A^s+\parallel v^{n-1}\left(u-v\right){\parallel }_A^s\le$

$\le \parallel u{\parallel }_A^s \left[\parallel \left(u^{n-2}-v^{n-2}\right)u{\parallel }_A^s+\parallel v^{n-2}\left(u-v\right){\parallel }_A^s\right]+\parallel v^{n-1}{\parallel }_A^s \parallel u-v{\parallel }_A^s\le$

(мы воспользовались тем, что в $A$ имеет место соотношение $\parallel HK{\parallel }_A\le \parallel H{\parallel }_A \parallel K{\parallel }_A$ для любых $H$, $K$, так как $\parallel K{\parallel }_L\le \parallel K{\parallel }_A$); продолжаем неравенства:

$\le \left(q^{\left(n-1\right)s}\parallel u-v{\parallel }_A^s+q^s\cdot q^{s\left(n-2\right)}\parallel u-v{\parallel }_A^s\right)+q^{2s}\parallel u^{n-2}-v^{n-2}\parallel \le$

$\le 2q^{s\left(n-1\right)}\parallel u-v{\parallel }_A^s+q^{2s}\left[\parallel \left(u^{(}n-3\right)-v^{n-3}\right)u{\parallel }_A^s+\parallel v^{n-3}\left(u-v\right){\parallel }_A^s]\le$

$\le 3q^{s\left(n-1\right)}\parallel u-v{\parallel }_A^s+q^{3s}\parallel u^{n-3}-v^{n-3}{\parallel }_A^s\le \cdots \le$

$\le \left(n-1\right)q^{s\left(n-1\right)}\parallel u-v{\parallel }_A^s+q^{s\left(n-1\right)}\parallel u-v{\parallel }_A^s=n{q}^{s\left(n-1\right)}\parallel u-v{\parallel }_A^s.$

 Таким образом,

$\parallel u^n-v^n{\parallel }_A\le n^{1/s}{q}^{\left(n-1\right)}\parallel u-v{\parallel }_A.$

 Поэтому, если $r\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ достаточно мало и если $\parallel u{\parallel }_A^s\le r$ и $\parallel v{\parallel }_A^s\le r$, то

$\left|\text{det}\left(1-u\right)-\text{det}\left(1-v\right)\right|\le c_{1}b\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}\frac{1}{n}\parallel u^n-v^n{\parallel }_A\le c_{1}b\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}{n}^{1/s-1} r^{n-1}\parallel u-v{\parallel }_A=c_0 \parallel u-v{\parallel }_A.$

Следствие 4.1. В условиях предложения 3.1 функция $det\left(1-u\right)$ допускает непрерывное продолжение (по $A$-квазинорме) с подпространства всех конечномерных операторов из $A\left(X\right)$ на все пространство $A\left(X\right)$.

Доказательство. Утверждение вытекает из равномерной непрерывности (по $A$-квазинорме) на некотором $A$-шаре подпространства всех конечномерных операторов из $A\left(X\right)$. Соответствующее доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения (см. [4, с.28]).

Предложение 4.2. Пусть $A$ — квазинормированный операторный идеал, $X$ — банахово пространство, для которого множество конечномерных операторов плотно в пространстве $A\left(X\right)$. Предположим, что стандартный функционал $det\left(1+u\right)$ допускает непрерывное продолжение с подпространства всех конечномерных операторов из $A\left(X\right)$ на все $A\left(X\right)$ (по квазинорме из $A\left(X\right)$). Тогда соответствующий функционал $trace$, ограничен (по $A$-квазинорме) на подпространстве всех конечномерных операторов из $A\left(X\right)$ и, таким образом, продолжается по непрерывности (единственным способом) на все $A\left(X\right)$.

Доказательство. Для конечномерного оператора $u\in A\left(X\right)$ детерминант $\text{det}\left(1+zu\right)$ имеет вид

$\text{det}\left(1+zu\right)=1+ztraceu+\underset{n=1}{\overset{m}{}}{a}_n{z}^n.$

Следовательно, по теореме о вычетах

$trace u=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\left|z\right|=1}\frac{\text{det}\left(1+zu\right)-1}{z^2} dz.$

Так как $\text{det}\left(1+zu\right)$ непрерывен в точке $u=0$ (по квазинорме из $A$, то существует такое $\delta >0$, что $\left|\text{det}\left(1+zu\right)-1\right|<1$ для $\parallel u{\parallel }_A<\delta$ и $\left|z\right|\le 1$; поэтому для таких конечномерных $u$ имеем

$\left|trace u\right|\le \frac{1}{\pi }{\int }_{\left|z\right|=1}\frac{\text{det}\left(1+zu\right)-1}{z^2} \left|dz\right|\le 1.$

Для доказательства предложения достаточно непрерывности детерминанта в нуле.

5. Спектральный тип и формула следа.

Доказательство следующего факта проводится по аналогии с принципом равномерной ограниченности (см. [14, 3.4.6]). В отличие от теоремы из [14] мы рассматриваем выделенное семейство банаховых пространств, а не все банаховы пространства. Это дает возможность, например, применять подобный принцип к семействам всех $L_p\left(\mu \right)$-пространств (в качестве пространства с $1$-безусловным базисом берется тогда пространство $l_p$).

Предложение 5.1. Пусть $t$, $u>0$, $\alpha$ — проективная тензорная квазинорма, $\mathcal{F}$ — некоторое семейство банаховых пространств, замкнутое относительно взятия не более чем счетных прямых сумм. Если для любого пространства $X\in \mathcal{F}$ пространство $N_{\alpha }\left(X\right)$ имеет спектральный тип $l_{t,u}$, то существует такая постоянная $C>0$, что для всякого $X\in \mathcal{F}$ и для любого оператора $T\in N_{\alpha }\left(X\right)$ 

$\parallel \left\{{\mu }_k\left(T\right)\right\}{\parallel }_{l_{t,u}}\le C\parallel T{\parallel }_{N_{\alpha }}$

(здесь $\left\{{\mu }_k\left(T\right)\right\}$ — полный набор собственных значений оператора $T$).

Доказательство. Предположим противное. Тогда для каждого  можно найти такие банахово пространство $X_n\in \mathcal{F}$ и оператор $T_n\in N_{\alpha }\left(X_n\right)$, что (см. [14])

$\parallel \left\{{\mu }_k\left(T_n\right)\right\}{\parallel }_{l_{t,u}}\ge n, \parallel T_n{\parallel }_{N_{\alpha }}\le {\left(2{\nu }_{\alpha }\right)}^{-n},$

где $v_{\alpha }$ — постоянная из "неравенства треугольника" для квазинормы из $N_{\alpha }$. Положим $X:={\left(\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}{X}_n\right)}_E$, и пусть $j_n:X\to X_n$, $i_n:X_n\to X$ — естественные фактор-отображения и вложения (с единичными нормами). Тогда

$\underset{n=m+1}{\overset{m+l}{}}{j}_n{T}_n{i_n}_{N_{\alpha }}\le \underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{\nu }_{\alpha }^k \parallel T_{m+k}{\parallel }_{N_{\alpha }}\le {\left(2{\nu }_{\alpha }\right)}^{-m}, l>0.$

Поэтому

$T:=\underset{n=1}{\overset{\infty }{}}{j}_n{T}_n{i}_n\in N_{\alpha }\left(X\right).$

Поскольку $T_n=j_{n}T{i}_n$, то совокупность всех собственных чисел оператора $T_n$ есть часть семейства $\left\{{\mu }_k\left(T\right)\right\}$. Из этого вытекает, что

$\infty >\parallel \left\{{\mu }_k\left(T\right)\right\}{\parallel }_{l_{t,u}}\ge \parallel \left\{{\mu }_k\left(T_n\right)\right\}{\parallel }_{l_{t,u}}\ge n, n=\mathrm{1,2,}\dots .$

 Полученное противоречие доказывает предложение.

Предложение 5.2. Пусть $r\in \left(\mathrm{0,1}\right]$, $\alpha$ — проективная тензорная квазинорма, $\mathcal{F}$ — некоторое семейство банаховых пространств, обладающих свойством $A{P}_{\alpha }$, замкнутое относительно взятия не более чем счетных прямых сумм. Если для любого пространства $X\in \mathcal{F}$ пространство $N_{\alpha }\left(X\right)$ имеет спектральный тип $l_r$, то для всякого $X\in \mathcal{F}$ и для любого оператора $T\in N_{\alpha }\left(X\right)$ его ядерный след $trace T$ вполне определен и совпадает с его спектральным следом, т.е.

$traceT=\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}{\mu }_k\left(T\right)$

(здесь $\left\{{\mu }_k\left(T\right)\right\}$ — полный набор, с учетом кратностей, собственных значений оператора $T$). При этом детерминант Фредгольма оператора $T$ имеет вид

$\text{det}\left(1-zT\right)=\underset{k=1}{\overset{\infty }{}}\left(1-{\mu }_k\left(T\right)z\right)$