On the solvability of a periodic problem for a system of ordinary differential equations with quasi-homogeneous nonlinearity

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we examine the solvability of a periodic problem for a system of ordinary differential equations whose principal nonlinear part is a quasi-homogeneous mapping. We prove that if an unperturbed system with quasi-homogeneous nonlinearity has no nonzero bounded solutions, then the periodic problem admits an a priori estimate. The results obtained are of interest from the point of view of the application and development of methods of nonlinear analysis in the theory of differential and integral equations.

Full Text

1. Введение

Статья посвящена исследованию периодической задачи вида

x't=Pxt+ft,xt,    xtn,    t0,ω, (1)

x0=xω. (2)

Здесь n2, ω>0, P=P1,,Pn:nn  — непрерывное отображение, удовлетворяющее условию квазиоднородности

Piλα1y1,,λαnynλαi+νPiy1,,yn    λ>0,    i=1,n¯, (3)

где числа αi>0, i=1,n¯, и ν>0 фиксированы. Отображение f=f1,,fn:1+nn непрерывно, ω-периодично по t и удовлетворяет условию

limρ+ραi+νmax0tω,y1fit,ρα1y1,,ραnyn=0,    i=1,n¯. (4)

Множество таких отображений f обозначим через n,ωα,ν, где α=α1,,αn. Отображение P называем главной квазиоднородной нелинейностью, а f называем возмущением.

Решением периодической задачи (1), (2) называем вектор-функцию xC10,ω;n, которая удовлетворяет системе уравнений (1) и условию периодичности (2). Такое решение ω-периодично и гладко продолжимо на 1=,+.

Разрешимость задачи (1), (2) исследована в следующей постановке: каким условиям должно удовлетворять отображение P, чтобы при любом fn,ωα,ν существовало хотя бы одно решение задачи (1), (2).

В [5, 6] задача (1), (2) исследована в случае положительно однородного отображения , т.е. αi=1, i=1,n¯, с использованием методов априорной оценки и методов вычисления вращения векторных полей. Суть метода априорной оценки состоит в доказательстве ограниченности множества решений задачи (1), (2) по норме пространства C0,ω;n при предположении, что невозмущенная система уравнений

z't=Pzt,    ztn, (5)

не имеет ненулевых ограниченных решений. В этом случае вполне непрерывное векторное поле

Φxxtxω0tPxs+fs,xsds,    xC0,ω;n, (6)

не обращается в ноль вне шара x<r большого радиуса r пространства C0,ω;n. Поэтому, согласно теории векторных полей (см. [3, с. 135]), определена целочисленная характеристика γΦ  — вращение векторного поля Ф на сфере x=r большого радиуса r пространства C0,ω;n. Если γΦ0, то согласно принципу ненулевого вращения (см. [3, с. 141]) имеет место равенство Φx0=0 при некоторой вектор-функции x0C0,ω;n; этим доказывается разрешимость периодической задачи. В [?] вычислено γΦ=(1)nγP, где γP  — вращение (степень отображения) конечномерного векторного поля P на единичной сфере x=1 пространства n. Отсюда следует достаточность условия γP0 для разрешимости периодической задачи (1), (2) при любом возмущении f, если отображение P положительно однородно (порядка больше ) и невозмущенная система уравнений (5) не имеет ненулевых ограниченных решений. В [6] с использованием теоремы Хопфа о невырожденном продолжении непрерывного конечномерного векторного поля (см. [3, с. 24, теорема 5.2]) доказана необходимость условия γP0 для разрешимости периодической задачи при любом возмущении f. В настоящей работе доказан аналогичный результат в предположении, что отображение P квазиоднородно с показателями a, v и fn,ωα,ν.

Рассмотрение квазиоднородного отображения P позволяет не только обобщить результаты работ [5, 6], но и уточнить их следующим образом. Именно, если для положительно однородного отображения P ни при всех возмущениях f имеет место априорная оценка решений задачи (1), (2), то класс возмущений можно сужать так, что главная нелинейная часть системы уравнений (1) окажется квазиоднородным отображением. Например, система двух скалярных уравнений

x1't=|x1t|m1x1t+f1t,x1t,x2t,    x2't=f2t,x1t,x2t,          

где m>1, ни при всех возмущениях ft,y1,y2=f1t,y1,y2,f2t,y1,y2, удовлетворяющих условию

limy1+y2y1+y2mmax0tωft,y1,y2=0,                                  

допускает априорную оценку ω-периодических решений. Если сужать класс возмущений с дополнительным условием

f2t,y1,y2=|y2|q1y2+f~2t,y1,y2,    1<q<m,                           

limρρqm1/q1max0tω,y1+y21f~2t,ρy1,ρm1/q1y2=0,                           

то в результате получаем систему уравнений вида (1) с квазиоднородным отображением Py1,y2=y1|m1y1,y2|q1y2, где α=1,m1/q1, ν=m1.

Кроме того, к системе уравнений вида (1) с квазиоднородной нелинейностью P приводятся многие системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с производными высоких порядков. Такие системы уравнений представляют интерес при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с применением схемы Фаэдо – Галеркина (см. [4, c. 118-132]).

2. Основные результаты

Сначала исследуем априорную оценку решений задачи (1), (2). Априорной оценкой называем ограниченность множества решений задачи (1), (2) по норме пространства C0,ω;n, т.е. либо множество решений задачи (1), (2) пусто, либо существует такое M>0, зависящее лишь от P, f, что для любого решения xt задачи (1), (2) имеет место неравенство

x:=max0tωxt<M. (7)

Аналогично [5], априорная оценка решений задачи (1), (2) связана с невозмущенной системой уравнений (5). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1 Пусть непрерывное отображение P=P1,,Pn:nn удовлетворяет условию квазиоднородности (3) и пусть невозмущенная система уравнений (5) не имеет ненулевых ограниченных решений. Тогда при любом отображении fn,ωα,ν имеет место априорная оценка решений задачи (1), (2).

Выясним, при каких условиях на P система уравнений (5) не имеет ненулевых ограниченных решений. Применяя метод направляющей функции (см. [3, с. 87]), получаем следующее утверждение.

Лемма 1 l Cистема уравнений (5) не имеет ненулевых ограниченных решений, если непрерывное отображение P=P1,,Pn:nn квазиоднородно и выполнено условие

Py,Vy>0    yn\0, (8)

где u,v=u1v1++unvn  — скалярное произведение в n, Vy=V/y1,,V/yn  — градиент функции VC1n;1.

Условие (8) является лишь достаточным для отсутствия ненулевых ограниченных решений у системы уравнений (5). При n=2 можно привести необходимые и достаточные условия. Пусть непрерывное отображение P=P1,P2:22 квазиоднородно с показателями α=α1,α2, v и пусть Py0 при всех y2\0. Тогда определена угловая функция θPs, s0,2π  — непрерывная функция, удовлетворяющая условиям

P1coss,sins=Pcoss,sinscosθPs,P2coss,sins=Pcoss,sinssinθPs,        s0,2π,    θP00,2π.    

Наряду с θPs определим другую угловую функцию θαs из условий

cosθαs=α1cossAαs,    sinθαs=α2sinsAαs,    s0,2π,    θα00,2π,      

где Aαs=(α1coss)2+α2sins)21/2.

Теорема 2 Cистема уравнений (5) при n=2 не имеет ненулевых ограниченных решений тогда и только тогда, когда Py0 для всех y2\0 и либо выполнены условия

sinθPsθαs0    s0,2π, (9)

02πgP,αsds0, (10)

где

gP,αs=cosθPssAαssinθPsθαs,                                     

либо выполнено условие

        еслиθPs0θαs0=πj0принекоторыхs00,2πицеломj0,            

тоθPsθαs<πj0+1привсехss0,2π.         (11)

Теорема 2 в случае положительно однородного отображения P доказана в[?].

Разрешимость периодической задачи (1), (2) устанавливается следующей теоремой, обобщающей результат работы [1].

Теорема 3 Пусть для заданного непрерывного и квазиоднородного (с показателями a и v) отображения P:nn система уравнений (5) не имеет ненулевых ограниченных решений. Тогда для разрешимости задачи (1), (2) при любом fn,ωα,ν необходимо и достаточно, чтобы не обращалось в ноль вращение γP векторного поля P:nn на единичной сфере y=1.

В доказательстве теоремы 3 применяются определения и свойства вращения конечномерных и бесконечномерных векторных полей из монографии [3]. Необходимость условия γP0 можно доказать следующим образом: предполагая γP=0 и используя теорему Хопфа о невырожденном продолжении непрерывного конечномерного векторного поля (см. [3, с. 24, теорема 5.2]), построим отображение fn,ωα,ν при котором задача (1), (2) неразрешима. Достаточность условия γP0 доказана на основе принципа ненулевого вращения (см. [3, с. 141]) посредством установления равенства γΦ=(1)nγP, где γΦ  — вращение вполне непрерывного векторного поля Ф, определяемого формулой (6), на сфере x=r большого радиуса r пространства C0,ω;n. В [?] выведена формула эффективного вычисления γP для одного класса градиентных векторных полей.

Полученные результаты представляют интерес с точки зрения применения и развития методов нелинейного анализа в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Существование периодических решений для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений исследовано в многочисленных работах других авторов. Можно отметить работы [2, 8], где применяются идеи и методы, близкие к настоящей работе. Например, в [8] получены достаточные условия, которым должна удовлетворять асимптотически устойчивая в целом автономная система дифференциальных уравнений, заданная в n, чтобы при любом ω-периодическом её возмущении она имела ω-периодическое решение.

3. Априорная оценка

Доказательство теоремы 1. Предположим, что оценка (7) не верна. Тогда заведомо существует неограниченная последовательность ω-периодических решений xkt, k=1,2,, системы уравнений (1). Рассмотрим вектор-функции ykt=yk1t,,yknt, k=1,2,, где

ykit:=rkαixkitk+trkν,    i=1,,n,    t1,                              

rk:=max0tωxkt|α=xktk|α,    |u|α:=(u12)1/α1++(un2)1/αn1/2.                

Для вектор-функций ykt, k=1,2, имеем:

yk't=Pykt+hkt,    ykt|αyk0|α=1,    t1,    k=1,2,,          

где

hkitrkαi+νfitk+trkν,rkα1yk1t,,rkαnyknt,    i=1,,n.                 

Отсюда, переходя к пределу вдоль некоторой подпоследовательности ykjt, j=1,2,, на расширяющихся отрезках числовой прямой и учитывая условие (4), получаем ненулевое ограниченное решение системы уравнений (5):

y0't=Py0t,    y0t|αy00|α=1,    t1.                           

Полученное противоречит условию теоремы 1.

Доказательство леммы 1. Пусть zt  — произвольное ненулевое решение системы уравнений (5), определенное при tτ1,τ2. Проверим, что

zt0    tτ1,τ2. (12)

Для функции zt как решения системы уравнений (5) имеет место равенство

|zt|α2=i=1n2αi1zi2t1/αi1zitPizt,                              

где |u|α2:=(u12)1/α1++(un2)1/αn. Отсюда, учитывая неравенства

zitzt|ααi,    Piztzt|ααi+νmax|u|α1Piu,                           

выводим оценку

|zt|α2C0|zt|α21+ν/2,                                            

где положительное число C0 зависит лишь от отображения P. Из полученной оценки вытекает, что (12) верно.

Предположим, что ненулевое решение zt системы уравнений (5) определено и ограничено на промежутке ,+. Тогда функция φt:=Vzt, t,+ ограничена; в силу (12) и условия (8) имеем:

φ't=Vzt,z't=Vzt,Pzt>0,  quadt,+. (13)

Следовательно, существуют конечные пределы φ± функции φt при t± и φ<φ+. Кроме того, вдоль некоторых последовательностей tk±± имеем φ'tk±0. В силу (8) и (13) отсюда вытекает, что ztk±0, k. Тогда φ±=0; противоречие.

Доказательство теоремы 2. Пусть Py0 для всех y2\0 и zt=z1t,z2t, tτ1,τ2,  — произвольное ненулевое решение системы уравнений (5) при n=2. Произведем замену

z1t=rα1tcosψt,    z2t=rα2tsinψt.                             

Тогда относительно rt и ψt получаем систему уравнений

α1cos2ψt+α2sin2ψtr't=r1+νtPcosψt,sinψtcosθPψtψt,α1cos2ψt+α2sin2ψtψ't=rνtPcosψt,sinψtAαψtsinθPψtθαψt.

Отсюда, в частности следует, что rt>0 при всех tτ1,τ2. Произведем замену ρt=rξt, φt=ψξt, где

ξt=0tα1cos2ψs+α2sin2ψsrνsPcosψs,sinψsds.                                 

В результате получаем систему уравнений

ρ't=ρtcosθPφtφt,φ't=AαφtsinθPφtθαφt. (14)

Таким образом, установлено, что система уравнений (5) при n=2 не имеет ненулевых ограниченных решений тогда и только тогда, когда таких решений не имеет система уравнений (14).

Если выполнено условие (9), то в системе уравнений (14) функция φt строго монотонна и для любого целого l существует такое tl, что φtl=φ0+2πl. Отсюда, в силу первого уравнения системы (14), выводим:

ρtl=ρ0expl02πgP,αsds.                                        

Следовательно, при выполнении условия (9) система уравнений (14) не имеет ненулевых ограниченных решений лишь при дополнительном условии (10).

Пусть условие (9) не выполнено. Тогда система уравнений (14) не имеет ненулевых ограниченных решений лишь в том случае, когда на любом интервале s1,s2, где

sinθPsθαs0,    ss1,s2,        sinθPsjθαsj=0,    j=1,2,       

выполняется одно из трех условий: либо

cosθPs1s1cosθPs2s2>0,                                     

либо

sinθPsθαs>0,    ss1,s2,        cosθPs1s10,    cosθPs2s20,  

либо

sinθPsθαs0,    ss1,s2,        cosθPs1s10,    cosθPs2s2<0.  

Можно непосредственно проверить, что одно их этих условий выполняется, если выполнено условие (11), и обратно. Теорема 2 доказана.

4. Доказательство теоремы 3

Необходимость. Пусть γP=0. Используя теорему Хопфа о невырожденном продолжении непрерывного конечномерного векторного поля см [3, с. 24, теорема 5.2]), построим fn,ωα,ν при котором задача (1), (2) неразрешима.

Согласно теореме Хопфа из равенства γP=0 вытекает, что векторное поле Py можно непрерывно продолжить без нулей внутри шара y<1 некоторой формулой Qy: Py=Qy при y=1 и Qy0 при y<1. Рассмотрим систему уравнений

x't=Pxt+gxt,    xtn, (15)

где отображение g определено формулой

gy=0,y1,QyPy,y<1.                                          

Очевидно, gn,ωα,ν и

Py+gy0    yn. (16)

Лемма 2 Система уравнений (15) при некотором ω0>0 не имеет ω0-периодических решений.

Доказательство. Предположим, что такого ω0>0 не существует. Тогда существует последовательность периодических решений xkt, k=1,2,, системы уравнений (15) с периодами ωk=1/k, k=1,2,. В силу периодичности решений имеем:

1ωk0ωkPxkt+gxkt,ydt=0    yn,    k=1,2,, (17)

где ,  — скалярное произведение в n. Если вектор-функции xkt, k=1,2,, равномерно ограничены,

supk=1,2,maxt1xkt<, (18)

то они как решения системы уравнений (15) равностепенно непрерывны. Без ограничения общности можно считать, что последовательность функций xkt равномерно сходится к функции x0t на отрезке 0,1. Переходя к пределу при k в (17), получим

Px00+gx00,y=0    yn,                                  

что противоречит (16). Таким образом, для завершения доказательства леммы остается показать оценку (18).

Оценку (18) докажем аналогично теореме 1. Предположим, что неравенство (18) не верно и

rk:=max0tωxkt|α=xktk|α    приk.                              

Рассмотрим вектор-функции zkt=zk1t,,zknt, k=1,2,, где

zkit:=rkαixkitk+trkν,    i=1,,n,    t1.                              

Для вектор-функций zkt, k=1,2, имеем:

zk't=Pzkt+hkt,        zkt|αzk0|α=1,    t1,    k=1,2,,         

где

hkitrkαi+νgirkα1zk1t,,rkαnzknt,    i=1,,n.                        

Переходя к пределу, получаем:

z0't=Pz0t,    z0tz00=1,    t1.                              

Это противоречит тому, что система уравнений (5) не имеет ненулевых ограниченных решений. Следовательно, оценка (18) верна. Лемма 2 доказана.

В системе уравнений (15) произведем замену zit=λ0αixiλ0νt, i=1,,n, где λ0=(ω0/ω)1/ν. Тогда получаем следующую систему уравнений:

z't=Pzt+λ0α1+νg1λ0α1z1t,,λ0αn+νgnλ0αnznt,    ztn. (19)

Очевидно, всякому ω-периодическому решению системы уравнений (19) соответствует ω0-периодическое решение системы уравнений (15). Поэтому в силу леммы 2 система уравнений (19) не имеет ω-периодических решений. Таким образом, при

fy=λ0α1+νg1λ0α1y1,,λ0αn+νgnλ0αnyn                              

задача (1), (2) неразрешима.

Достаточность. Пусть γP0 и fn,ωα,ν. Покажем разрешимость задачи (1), (2), применяя схему доказательства из [3, с. 331-338]. Разрешимость задачи (1), (2) равносильна существованию нуля вполне непрерывного векторного поля

Φxxtxω0tPxs+fs,xsds,                          

действующего в пространстве C0,ω;n. Рассмотрим семейство вполне непрерывных векторных полей

λxxtxω0tPxs+λfs,xsds,    λ0,1.               

В силу априорной оценки (7) имеем λx0 для всех λ0,1 на сфере x=r большого радиуса r пространства C0,ω;n. Отсюда следует, что вращения вполне непрерывных векторных полей Φ и Φ~0 на бесконечности определены и равны

γΦ=γ0. (20)

Вычислим γ0, гомотопируя векторное поле Φ~0 к другому векторному полю посредством следующего семейства вполне непрерывных векторных полей:

Ψλxxtxω0tPxsdsλtωPxsds,    λ0,1.               

Проверим, что

Ψλx0    xC0,ω;n\0,    λ0,1. (21)

Предположим, что Ψλ*x0=0 при некоторых x*C0,ω;n\0, λ*0,1. Если λ*=1, имеем:

x*tx*ω,    0ωPx*sds=0.                                       

Эти равенства противоречат предположению x*t0. Если λ*<1, то имеем

x*'t=1λ*Px*t,    t0,ω,        x*0=x*ω,    x*t0.            

Тогда y*t=x*t/1λ* является ненулевым ограниченным решением системы уравнений (5), приходим к противоречию. Таким образом, (21) верно.

Из (21) следует, что

γ0=γΨ1. (22)

Вполне непрерывное векторное поле Ψ1 представляет собой разность единичного и конечномерного операторов. Поэтому, согласно определению вращения вполне непрерывного векторного поля [3, c. 135], имеем:

γΨ1=γF1, (23)

где  F1:nn — конечномерное векторное поле, которое получается из вполне непрерывного векторного поля Ψ1 заменой функции xt вектором ξn:

F1ξ=ωPξ,    ξn.                                             

Учитывая, что для векторного поля ωP вращение на бесконечности γωP равно вращению на единичной сфере γωP, а также используя формулу произведения вращений (см. [3, c. 32]), находим

γF1=γωP=(1)nγP. (24)

Таким образом, из (20)–(24) выводим:

γΦ=(1)nγP.                                                  

Отсюда, в силу условия γP0 и согласно принципу ненулевого вращения (см. [3, с. 138]), существует решение уравнения Φx=0, которое будет решением задачи (1), (2).

×

About the authors

A. N. Naimov

Вологодский государственный университет

Author for correspondence.
Email: naimovan@vogu35.ru
Russian Federation, Вологда

M. V. Bystretskii

Вологодский государственный университет

Email: pmbmv@bk.ru
Russian Federation, Вологда

References

  1. Бобылев Н. А. О построении правильных направляющих функций Докл. АН СССР. 1968 183 2 265–266
  2. Звягин В. Г., Корнев С. В. Метод направляющих функций в задаче о существовании периодических решений дифференциальных уравнений Совр. мат. Фундам. напр. 2015 58 1 59–81
  3. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа М. Наука 1975
  4. Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач М. Мир 1972
  5. Мухамадиев Э. К теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Докл. АН СССР. 1970 194 3 510–513
  6. Мухамадиев Э., Наимов А. Н. О разрешимости периодической задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейностью Диффер. уравн. 2023 59 2 280–282
  7. Мухамадиев Э., Наимов А. Н. Об априорной оценке и существовании периодических решений для одного класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Изв. вузов. Мат. 2022 4 37–48
  8. Перов А. И., Каверина В. К. Об одной задаче Владимира Ивановича Зубова Диффер. уравн. 2019 55 2 269–272

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies