Two-component window system based on coherent states and theta functions

Full Text

1. Введение

Системы функций вида

$g_{k,m}\left(x\right)=\text{exp}\left(-\frac{{(x+{\omega }_{1}k)}^2}{2}\right)e^{i{\omega }_{2}mx}, k,m\in \mathbb{Z},$ (1)

где ${\omega }_1,{\omega }_2>0$ — некоторые фиксированные параметры, нашли широкое применение в различных областях математики и физики. В квантовой теории они носят название когерентных состояний, а при условии ${\omega }_1{\omega }_2<2\pi$ образуют фрейм, называемый также фреймом Габора (см. [1, гл. 3], [10, гл. 11]). Одна из первых прикладных задач, решаемых Дж. фон Нейманом, была связана с построением квантовой энтропии. Трудность состояла в получении ортонормированного базиса пространства $L_2\left(ℝ\right)$ с равномерно ограниченной константой неопределённости из семейства функций (1) при условии ${\omega }_1{\omega }_2=2\pi$ (см. [5]). Позднее возник вопрос о полноте данной системы функций, разрешённый в работах А. М. Переломова. Под полнотой понимается равенство нулю ортогонального дополнения. Оказалось, что при предложенном условии на ${\omega }_1$, ${\omega }_2$ система содержит ровно одну лишнюю функцию (см. [7, 8]), а в силу теоремы Бальяна – Лоу получилось невозможным построить базис оконного типа с равномерно ограниченной константой неопределённости (см. [1, гл. 4]). Мы предлагаем обойти указанную проблему, используя многокомпонентные оконные системы, порождённые не одной, а несколькими функциями.

Рассмотрим семейство функций (1) при ${\omega }_1{\omega }_2=4\pi$. Из него можно получить ортонормированную систему с равномерно ограниченной константой неопределённости, которая, однако, не является полной в пространстве $L_2\left(ℝ\right)$ (см. [11]). Действительно, как следует из результатов [3], набор функций

$u_{\alpha }\left(x\right)=\text{exp}\left(-\left(\alpha -1\right)\frac{x^2}{2}\right){\theta }_3\left(-\frac{\pi {\omega }_2}{{\omega }_1}\left(\frac{\alpha x}{{\omega }_2}-\frac{i}{2}\right),q\right),$ (2)

с параметрами

$q=\text{exp}\left(-\frac{\pi {\omega }_2}{{\omega }_1}\left(1-\frac{2\pi }{S}\alpha \right)\right), 1<\alpha ⟨\frac{S}{2\pi }, S={\omega }_1{\omega }_2⟩2\pi ,$

ортогонален всем $g_{k,m}\left(x\right)$, $k,m\in \mathbb{Z}$, если ${\omega }_1{\omega }_2>2\pi$. Здесь ${\theta }_3\left(x,q\right)$  — третья тета=функция Якоби (см. [13, 20.2.3]):

${\theta }_3\left(x,q\right)=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{q}^{k^2}{e}^{2ikx}, \left|q\right|<1.$                                           

Мы предлагаем рассмотреть неполную оконную систему (1) с параметрами ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=4\pi$, дополнив её с помощью (2) с применением операции сдвига к самой функции $u_{\alpha }\left(x\right)$ и к её образу Фурье. В результате получается двухкомпонентная оконная система, причём для построения ортонормированного семейства достаточно будет только ортогонализовать отдельно вторую компоненту, образованную функциями $u_{\alpha }\left(x+k\right)e^{i4\pi mx}$, $k,m\in \mathbb{Z}$.

2. Построение двухкомпонентной ортогональной оконной системы функций

Пусть ${\omega }_1{\omega }_2=4\pi$. Рассматривается случай ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=4\pi$. Заметим, что при других соотношениях параметров выкладки полностью аналогичны, но формулы получаются более громоздкими. Зафиксируем в (2) некоторое значение $\alpha \in \left(\mathrm{1,2}\right)$ и рассмотрим сдвиги полученной функции $u_{\alpha }\left(x\right)$ по переменной x с шагом ${\omega }_1=1$ и по частоте с шагом ${\omega }_2=4\pi$. В результате получим двухкомпонентную оконную систему следующего вида:

$2g_{k,m}\left(x\right)=\text{exp}\left(-\frac{{(x+k)}^2}{2}\right)e^{i4\pi mx}, k,m\in \mathbb{Z},$ (3)

$u_{k,m}\left(x\right)=u\left(x+k\right)e^{i4\pi mx}, k,m\in \mathbb{Z}.$ (4)

Здесь функция окна второй компоненты задаётся равенством

$u\left(x\right)=u_{\alpha }\left(x\right)=\text{exp}\left(-\left(\alpha -1\right)\frac{x^2}{2}\right){\theta }_3\left(-\alpha \pi x+i2{\pi }^2,q\right), q=\text{exp}\left(-2{\pi }^2\left(2-\alpha \right)\right).$   

Подсемейства $g_{k,m}\left(x\right)$ и $u_{k,m}\left(x\right)$ взаимно ортогональны. Таким образом, чтобы получить ортонормированную систему, достаточно ортогонализовать отдельно $g_{k,m}\left(x\right)$ и $u_{k,m}\left(x\right)$. Для $g_{k,m}\left(x\right)$, как уже упоминалось, это было сделано ранее (см. [3]). Ортогонализация $u_{k,m}\left(x\right)$ выполняется в рамках данной работы.

Нам понадобится преобразование Зака (см. [1, гл. 4])

$Z\left[f\right]\left(x,y\right)=\sum _{}_{p=-\infty }^{\infty }f\left(x-p\right)e^{i2\pi py}, x,y\in \left[\mathrm{0,1}\right].$                              

Оно является линейным отображением $L_2\left(ℝ\right)\to S$, где $S=L_2(\left[\mathrm{0,1}{]}^2\right)$. Укажем два его свойства.

1. Для любых $f,g\in L_2\left(ℝ\right)$ справедливо соотношение

${(f,g)}_{L_2}={(Z\left[f\right],Z\left[g\right])}_S=\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}Z\left[f\right]\left(x,y\right)\overline{Z\left[g\right]\left(x,y\right)} dx dy.$ (5)

2. Пусть

$f_{k,m}\left(x\right)=f\left(x+k\right)e^{i2\pi mx}, k,m\in \mathbb{Z}.$                                      

Тогда

$Z\left[f_{k,m}\right]\left(x,y\right)=Z\left[f\right]\left(x,y\right)e^{i2\pi \left(mx+ky\right)}.$ (6)

Перейдём непосредственно к ортогонализации $u_{k,m}\left(x\right)$. Требуется построить такую функцию

$v\left(x\right)=\sum _{}_{p,r=-\infty }^{\infty }{c}_{p,r}^{\perp }{u}_{p,r}\left(x\right),$ (7)

что

$\left(v,v_{k,m}\right)={\delta }_{\mathrm{0,}k}{\delta }_{\mathrm{0,}m}, k,m\in \mathbb{Z},$                                            

где

$v_{k,m}\left(x\right)=v\left(x+k\right)e^{i4\pi mx}, k,m\in \mathbb{Z}.$                                       

При этом предполагается, что $\left\{c_{p,r}^{\perp }\right\}\in {\mathcal{l}}_2$, т.е.

$\sum _{}_{p,r=-\infty }^{\infty }|c_{p,r}^{\perp }{|}^2<\infty .$                                                      

Применим к $v\left(x\right)$ преобразование Зака:

$Z\left[v\right]\left(x,y\right)=\sum _{}_{p,r=-\infty }^{\infty }{c}_{p,r}^{\perp }Z\left[u\right]\left(x,y\right)e^{i2\pi \left(2rx+py\right)}=Z\left[u\right]\left(x,y\right)\sum _{}_{p,r=-\infty }^{\infty }{c}_{p,r}^{\perp }{e}^{i2\pi \left(2rx+py\right)}.$ (8)

Если использовать вспомогательный тригонометрический ряд

$C^{\perp }\left(x,y\right)=\sum _{}_{p,r=-\infty }^{\infty }{c}_{p,r}^{\perp }{e}^{i2\pi \left(rx+py\right)},$                                           

который называют символом или маской последовательности $\left\{c_{p,r}^{\perp }\right\}$ (см. [6, гл. 1], [9, гл. 3]), то равенство (8) можно представить в кратком виде:

$Z\left[v\right]\left(x,y\right)=Z\left[u\right]\left(x,y\right)C^{\perp }\left(2x,y\right).$ (9)

С помощью свойства (5) условие ортогональности также можно записать в терминах $Z\left[v\right]$:

$\left(Z\left[v\right],Z\left[v_{k,m}\right]\right)={\delta }_{\mathrm{0,}k}{\delta }_{\mathrm{0,}m}, k,m\in \mathbb{Z}.$ (10)

Сформулируем одно вспомогательное утверждение, которое понадобится в дальнейшем. Оно в той или иной форме встречается в [1, гл. 4] и [12]. Также приведём и его доказательство, поскольку некоторые идеи сыграют важную роль в последующих рассуждениях. Для простоты при этом будем полагать, что функция $v\left(x\right)$ всюду определена и является гладкой, поскольку в конечном счёте именно с такими нам и приходится иметь дело в рамках данной работы.

Утверждение 1 Условие ортогональности (10) выполняется тогда и только тогда, когда почти всюду при $x,y\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ имеет место соотношение

${\left|Z\left[v\right]\left(\frac{x}{2},y\right)\right|}^2+{\left|Z\left[v\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)\right|}^2=1.$ (11)

Доказательство. Воспользуемся свойством (6):

$\left(Z\left[v\right],Z\left[v_{k,m}\right]\right)=\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}{\left|Z\left[v\right]\left(x,y\right)\right|}^2{e}^{i2\pi \left(2mx+ky\right)} dx dy.$                           

Разобьём интеграл по x на две части, обозначив его для краткости $I\left(y\right)$:

$I\left(y\right)=\underset{0}{\overset{1/2}{{\int }_{}}}{\left|Z\left[v\right]\left(x,y\right)\right|}^2{e}^{i2\pi \left(2mx+ky\right)}dx+\underset{1/2}{\overset{1}{{\int }_{}}}{\left|Z\left[v\right]\left(x,y\right)\right|}^2{e}^{i2\pi \left(2mx+ky\right)}dx.$               

Во втором интеграле сделаем замену переменной $t=x-1/2$:

$I\left(y\right)=\underset{0}{\overset{1/2}{{\int }_{}}}{\left|Z\left[v\right]\left(x,y\right)\right|}^2{e}^{i2\pi \left(2mx+ky\right)}dx+\underset{0}{\overset{1/2}{{\int }_{}}}{\left|Z\left[v\right]\left(t+\frac{1}{2},y\right)\right|}^2{e}^{i2\pi \left(2mt+ky\right)}dx.$            

Здесь учтено, что $e^{i2\pi m}=1$. После этого снова объединим интегралы:

$I\left(y\right)=\underset{0}{\overset{1/2}{{\int }_{}}}\left({\left|Z\left[v\right]\left(t,y\right)\right|}^2+{\left|Z\left[v\right]\left(t+\frac{1}{2},y\right)\right|}^2\right)e^{i2\pi \left(2mt+ky\right)}dt.$                      

Для удобства сделаем ещё одну замену $x=2t$. В результате имеем:

$\left(Z\left[v\right],Z\left[v_{k,m}\right]\right)=\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}\left({\left|Z\left[v\right]\left(\frac{x}{2},y\right)\right|}^2+{\left|Z\left[v\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)\right|}^2\right)e^{i2\pi \left(mx+ky\right)} dx dy.$         

 Из полученной формулы вытекает, что в случае, когда $\left(Z\left[v\right],Z\left[v_{k,m}\right]\right)={\delta }_{\mathrm{0,}k}{\delta }_{\mathrm{0,}m}$, $k,m\in \mathbb{Z}$, подынтегральное выражение почти всюду при $x,y\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ должно быть равно единице, поскольку экспоненты $e^{i2\pi \left(mx+ky\right)}$, $k,m\in \mathbb{Z}$ образуют в пространстве S ортонормированный базис.

Пусть теперь, наоборот, имеет место равенство (11). Тогда

$\left(Z\left[v\right],Z\left[v_{k,m}\right]\right)=\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}{e}^{i2\pi \left(mx+ky\right)} dx dy={\delta }_{\mathrm{0,}k}{\delta }_{\mathrm{0,}m}, k,m\in \mathbb{Z}.$                      

Подставив (9) в (11), получим соотношение

${\left|Z\left[u\right]\left(\frac{x}{2},y\right)\right|}^2{\left|C^{\perp }\left(x,y\right)\right|}^2+{\left|Z\left[u\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)\right|}^2{\left|C^{\perp }\left(x+\mathrm{1,}y\right)\right|}^2=1.$                 

Поскольку $C^{\perp }\left(x+\mathrm{1,}y\right)=C^{\perp }\left(x,y\right)$, в результате приходим к следующему функциональному уравнению:

${\left|C^{\perp }\left(x,y\right)\right|}^2=\frac{1}{F\left(x,y\right)},$ (12)

где

$F\left(x,y\right)={\left|Z\left[u\right]\left(\frac{x}{2},y\right)\right|}^2+{\left|Z\left[u\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)\right|}^2.$ (13)

Если извлечь квадратный корень из правой части (12) и разложить полученную функцию в двумерный ряд Фурье, можно найти коэффициенты ортогонализации $c_{p,r}^{\perp }$, которые нам необходимы.

Начнём с того, что исследуем преобразование Зака функции $u\left(x\right)$:

$Z\left[u\right]\left(x,y\right)=\sum _{}_{p=-\infty }^{\infty }\text{exp}\left(-\left(\alpha -1\right)\frac{{(x-p)}^2}{2}\right){\theta }_3\left(-\alpha \pi \left(x-p\right)+i2{\pi }^2,q\right)e^{i2\pi py}.$ (14)

В данной работе мы не ставим себе целью провести исчерпывающий обзор всевозможных случаев, а стремимся получить хотя бы один пример двухкомпонентной ортогональной оконной системы функций. По этой причине положим далее $\alpha =3/2$, так как при этом значении параметра многие формулы заметно упрощаются.

В дальнейшем для краткой записи соотношений нам понадобятся ещё две тета-функции Якоби (см. [13, (20.2.2), (20.2.4)]):

${\theta }_2\left(x,q\right)=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{q}^{{\left(k+\frac{1}{2}\right)}^2}{e}^{i\left(2k+1\right)x}, {\theta }_4\left(x,q\right)=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{(-1)}^k{q}^{k^2}{e}^{2ikx}, \left|q\right|<1.$              

Итак, подставим $\alpha =3/2$ в формулу (14):

$Z\left[u\right]\left(x,y\right)=\sum _{}_{p=-\infty }^{\infty }\text{exp}\left(-\frac{{(x-p)}^2}{4}\right){\theta }_3\left(-\frac{3\pi \left(x-p\right)}{2}+i2{\pi }^2,q\right)e^{i2\pi py}, q=\text{exp}\left(-{\pi }^2\right).$

Воспользуемся квазипериодичностью тета-функции (см. [13, (20.2.8)]):

${\theta }_3\left(z+\left(m+n\tau \right)\pi ,q\right)=q^{-n^2}{e}^{-i2nz}{\theta }_3\left(z,q\right), m,n\in \mathbb{Z}.$                          

В нашем случае $\tau =i\pi$, $q=\text{exp}\left(i\pi \tau \right)=\text{exp}\left(-{\pi }^2\right)$. Это даёт

${\theta }_3\left(-\frac{3\pi x}{2}+i2{\pi }^2,q\right)=e^{4{\pi }^2}{e}^{i6\pi x}{\theta }_3\left(-\frac{3\pi x}{2},q\right).$                               

С учётом того, что ${\theta }_3\left(x,q\right)$ — чётная функция, получим следующую формулу:

$Z\left[u\right]\left(x,y\right)=e^{4{\pi }^2}{e}^{i6\pi x}\sum _{}_{p=-\infty }^{\infty }\text{exp}\left(-\frac{{(x-p)}^2}{4}\right){\theta }_3\left(\frac{3\pi \left(x-p\right)}{2},q\right)e^{i2\pi py}.$ (15)

Поскольку

${\theta }_3\left(x+\pi ,q\right)={\theta }_3\left(x,q\right), {\theta }_3\left(x+\pi /\mathrm{2,}q\right)={\theta }_4\left(x,q\right)$                           

(см. [?, (20.2.8), (20.2.14)]), имеем:

${\theta }_3\left(\frac{3\pi \left(x-2p\right)}{2},q\right)={\theta }_3\left(\frac{3\pi x}{2},q\right), {\theta }_3\left(\frac{3\pi \left(x-2p+1\right)}{2},q\right)={\theta }_4\left(\frac{3\pi x}{2},q\right).$        

Благодаря этому удобно сумму разбить на две части: по чётным значениям индекса $p=2r$ и по нечётным $p=2r-1$. Это даёт:

$Z\left[u\right]\left(x,y\right)=e^{4{\pi }^2}{e}^{i6\pi x}\left({\theta }_3\left(\frac{3\pi x}{2},q\right)\sum _{}_{r=-\infty }{e}^{i4\pi ry}\text{exp}\left(-\frac{{(x-2r)}^2}{4}\right)+\right.$            

$\left.+{\theta }_4\left(\frac{3\pi x}{2},q\right)\sum _{}_{r=-\infty }^{\infty }{e}^{i2\pi \left(2r-1\right)y}\text{exp}\left(-\frac{{(x-2r+1)}^2}{4}\right)\right)=$                        

$=e^{4{\pi }^2}{e}^{i6\pi x}\text{exp}\left(-\frac{x^2}{4}\right)\left({\theta }_3\left(\frac{3\pi x}{2},q\right)\sum _{}_{r=-\infty }\text{exp}\left(-r^2\right)e^{ir\left(4\pi y-ix\right)}+\right.$                 

$\left.+{\theta }_4\left(\frac{3\pi x}{2},q\right)\sum _{}_{r=-\infty }\text{exp}\left(-\frac{{(2r-1)}^2}{4}\right)e^{i\left(2r-1\right)\left(2\pi y-ix/2\right)}\right).$                        

Оставшиеся суммы тоже представляют собой некоторые тета-функции. Пользуясь этим, окончательно приходим к следующей формуле:

$Z\left[u\right]\left(x,y\right)=e^{4{\pi }^2}{e}^{i6\pi x}\text{exp}\left(-\frac{x^2}{4}\right)\text{Ω}\left(x,y\right),$                                  

где

$\text{Ω}\left(x,y\right)={\theta }_3\left(\frac{3\pi x}{2},q\right){\theta }_3\left(2\pi y-\frac{ix}{2},q_u\right)+{\theta }_4\left(\frac{3\pi x}{2},q\right){\theta }_2\left(2\pi y-\frac{ix}{2},q_u\right), q_u=\text{exp}\left(-1/2\right).$

Важную роль в дальнейшем играют точки, в которых преобразование Зака $Z\left[u\right]\left(x,y\right)$ обращается в нуль. Докажем, что $Z\left[u\right]\left(x,y\right)=0$ при $x=y=1/2$. Для этого удобнее всего воспользоваться формулой (15):

$Z\left[u\right]\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=-e^{4{\pi }^2}\sum _{}_{p=-\infty }^{\infty }\text{exp}\left(-\frac{{(1/2-p)}^2}{4}\right){\theta }_3\left(\frac{3\pi \left(1/2-p\right)}{2},q\right){(-1)}^p.$           

В силу чётности функции Гаусса и ${\theta }_3\left(x,q\right)$, эта сумма разбиваются на пары слагаемых, которые одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Это будут слагаемые с номерами $p=0$ и $p=-1$, $p=1$ и $p=-2$ и т. д. Следовательно, вся правая часть равна нулю.

Доказать, что $Z\left[u\right]\left(x,y\right)\ne 0$ во всех остальных точках квадрата $x,y\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ оказывается существенно сложнее. К сожалению, строго аналитически это обосновать не удалось, но результаты численных расчётов позволяют выдвинуть следующее предположение.

Гипотеза 1 $Z\left[u\right]\left(x,y\right)\ne 0$ при всех $x,y\in \left[\mathrm{0,1}\right]$, кроме точки $x=y=1/2$.

Если данная гипотеза верна, то функция $F\left(x,y\right)$ из формулы (13) будет строго положительной, так как оба слагаемых в (13) не смогут одновременно обратиться в нуль.

Далее необходимо воспользоваться уравнением (12): требуется извлечь квадратный корень из (13) и разложить функцию $1/\sqrt{F\left(x,y\right)}$ в двумерный ряд Фурье. К сожалению, найти $c_{p,r}^{\perp }$ после этого удаётся только численно.

На рис. 1 и 2 представлены графики действительной и мнимой части функции $u\left(x\right)$. Чтобы избежать слишком больших чисел, все значения умножены на величину $a=e^{-4{\pi }^2}$.

Рис. 1. График a Re u(x).

Рис. 2. График a Im u(x).

На рис. 3 и 4 представлены графики действительной и мнимой части функции $v\left(x\right)$ из формулы (7), которая порождает ортонормированную оконную подсистему.

Рис. 3. График Re v(x).

Рис. 4. График Imv(x).

3. Константа неопределённости

Обозначим через $\widehat{g}\left(\xi \right)$ преобразование Фурье функции $g\left(x\right)$:

$\widehat{g}\left(\xi \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}g\left(x\right)e^{-i\xi x}dx,$                                             

являющееся линейным унитарным оператором, действующим в $L_2\left(ℝ\right)$.

Пусть $g\left(x\right),xg\left(x\right)\in L_2\left(ℝ\right)$, причём $\parallel g{\parallel }_{L_2}\ne 0$. Тогда среднее значение $⟨g⟩$ и радиус $\text{Δ}\left(g\right)$ функции $g$ задаются формулами

$⟨g⟩=\frac{1}{\parallel g{\parallel }_{L_2}^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}x|g\left(x\right){|}^{2}dx, \text{Δ}\left(g\right)={\left(\frac{1}{\parallel g{\parallel }_{L_2}^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{\left(x-⟨g⟩\right)}^2|g\left(x\right){|}^{2}dx\right)}^{1/2}.$        

Аналогично определяются среднее значение $⟨\widehat{g}⟩$ и радиус $\text{Δ}\left(\widehat{g}\right)$ для преобразования Фурье $\widehat{g}$ в случае $\xi \widehat{g}\left(\xi \right)\in L_2\left(ℝ\right)$:

$⟨\widehat{g}⟩=\frac{1}{\parallel \widehat{g}{\parallel }_{L_2}^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}\xi |\widehat{g}\left(\xi \right){|}^{2}d\xi , \text{Δ}\left(\widehat{g}\right)={\left(\frac{1}{\parallel \widehat{g}{\parallel }_{L_2}^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{\left(\xi -⟨\widehat{g}⟩\right)}^2|\widehat{g}\left(\xi \right){|}^{2}d\xi \right)}^{1/2}.$       

Константой неопределённости называется произведение (см. [6, гл. 1], [9, гл. 1])

$u\left(g\right)=\text{Δ}\left(g\right)\text{Δ}\left(\widehat{g}\right).$                                                   

В тех случаях, когда один из интегралов $\text{Δ}\left(g\right)$ или $\text{Δ}\left(\widehat{g}\right)$ расходится, значение константы неопределённости принято брать равным $\infty$. В случае унитарного преобразования Фурье минимальное значение константы неопределённости равно $1/2$.

В нашем конкретном случае при вычислении константы неопределённости возникают интегралы, значения которых выпишем заранее:

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{{\int }_{}}}{e}^{-{\beta }^2{(x-r)}^2} e^{i \alpha x} dx=\frac{\sqrt{\pi }}{\beta } e^{i \alpha r} e^{-\frac{{\alpha }^2}{4{\beta }^2}},$ (16)

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{{\int }_{}}}x{e}^{-{\beta }^2{(x-r)}^2} e^{i \alpha x} dx=\frac{\sqrt{\pi }}{\beta } e^{i \alpha r} e^{-\frac{{\alpha }^2}{4{\beta }^2}}\left(r+\frac{i\alpha }{2{\beta }^2}\right),$ (17)

$\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{}}{x}^2{e}^{-{\beta }^2{(x-r)}^2} e^{i \alpha x} dx=\frac{\sqrt{\pi }}{4{\beta }^5} e^{i \alpha r} e^{-\frac{{\alpha }^2}{4{\beta }^2}}\left(2{\beta }^2-{\left(\alpha -2ir{\beta }^2\right)}^2\right),$ (18)

где $\alpha ,\beta ,r\in ℝ$, $\beta >0$.

Будем рассматривать специальный случай $S={\omega }_1{\omega }_2=4\pi$, $\frac{\pi {\omega }_2}{{\omega }_1}=\frac{{\omega }_2^2}{4}$. Тогда параметры и функции примут следующий вид:

$-\frac{\pi {\omega }_2}{{\omega }_1}\left(\frac{\alpha x}{{\omega }_2}-\frac{i}{2}\right)=-\frac{{\omega }_2\alpha x}{4}+i\frac{{\omega }_2^2}{4}, q=\text{exp}\left(-\frac{{\omega }_2^2}{4}\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)\right),$                   

$u_{\alpha }\left(x\right)=\text{exp}\left(-\left(\alpha -1\right)\frac{x^2}{2}\right){\theta }_3\left(-\frac{{\omega }_2\alpha x}{4}+i\frac{{\omega }_2^2}{4},q\right)=$

$=\text{exp}\left(-\left(\alpha -1\right)\frac{x^2}{2}\right)\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }\text{exp}\left(-\frac{{\omega }_2^2}{4}\left(1-\frac{\alpha }{2}\right)k^2\right)\text{exp}\left(\frac{-k {\omega }_2^2}{4}\right)\text{exp}\left(\frac{i{\omega }_2\alpha kx}{4}\right).$              

Константу неопределённости будем искать для следующей линейной комбинации:

$\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k\text{exp}\left(-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)e^{i\gamma kx}$                                       

Теорема 1 Для функции окна

$\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k\text{exp}\left(-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right)e^{i\gamma kx}$                                       

где $c_k=O\left(k^{-2-\epsilon }\right)$, $\epsilon >0$, верны формулы

${\text{Δ}}^2\left(\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right)=\frac{{\sigma }^2}{2}-\frac{{\sigma }^4{\gamma }^{2}B}{4A}, {\text{Δ}}^2\left(\widehat{\phi }\left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right)=\frac{1}{2{\sigma }^2}+{\gamma }^2\left(\frac{E}{4A}-\frac{D^2}{A^2}\right),$         

где

$A=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right), E=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{d}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right), D=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{b}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right),$

$a_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}, b_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }k c_k{c}_{k-\mathcal{l}}, d_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}{(2k-\mathcal{l})}^2.$                    

Доказательство. Выпишем квадрат модуля $\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)$:

${\left|\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right|}^2=\sum _{}_{k,k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}\text{exp}\left(-\frac{x^2}{{\sigma }^2}+i\gamma \left(k-k\text{'}\right)x\right).$                           

Сделаем замену индекса $\mathcal{l}=k-k\text{'}$, $k\text{'}=k-\mathcal{l}$:

${\left|\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right|}^2=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{x^2}{{\sigma }^2}\right)e^{i\mathcal{l}\gamma x}.$                                

Введём обозначение

$a_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}};$                                                       

тогда

${\left|\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right|}^2=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{x^2}{{\sigma }^2}\right)e^{i\mathcal{l}\gamma x}.$ (19)

Выпишем норму функции $\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)$, используя (16):

$\phi {\left(x,\sigma ,\gamma \right)}^2=\sqrt{\pi }\sigma \sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                                  

Заметим, что $a_{\mathcal{l}}$  — вещественные числа, поэтому ${\left|\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right|}^2$  — чётная функция. Следовательно,

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}x{\left|\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=0.$                                                 

Применяя (18) и (19), мы получим

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{x}^2{\left|\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{4}{\sigma }^5\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right)\left(\frac{2}{{\sigma }^2}-{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2\right)=$            

$=\frac{{\sigma }^2}{2}\phi {\left(x,\sigma ,\gamma \right)}^2-\frac{\sqrt{\pi }}{4}{\sigma }^5\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                         

В итоге получим первую формулу теоремы:

${\text{Δ}}^2\left(\phi \left(x,\sigma ,\gamma \right)\right)=\frac{{\sigma }^2}{2}-\frac{{\sigma }^4{\gamma }^{2}B}{4A},$                                          

где

$A=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right), B=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}{\mathcal{l}}^2\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                      

Перейдём к радиусу образа Фурье $\widehat{\phi }\left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)$. Его удобно получить с помощью (16):

$\widehat{\phi }\left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)=\sigma \sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k\text{exp}\left(-\frac{{(\xi -k\gamma )}^2{\sigma }^2}{2}\right).$                                  

Отсюда

${\left|\widehat{\phi }\left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^2={\sigma }^2\sum _{}_{k,k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}\text{exp}\left(-{\sigma }^2{\left(\xi -\frac{\left(k+k\text{'}\right)\gamma }{2}\right)}^2-\frac{{(k-k\text{'})}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$          

Сделаем замену индекса $\mathcal{l}=k-k\text{'}$, $k\text{'}=k-\mathcal{l}$:

${\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^2={\sigma }^2\underset{\mathcal{l}=-\infty }{\overset{\infty }{}}\underset{k=-\infty }{\overset{\infty }{}}{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}\text{exp}\left(-{\sigma }^2{\left(\xi -\frac{\left(2k-\mathcal{l}\right)\gamma }{2}\right)}^2-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$            

Норма $\widehat{\phi }\left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)$ находится при помощи формулы выше и (16):

$\phi {\left(x,\sigma ,\gamma \right)}^2=\sqrt{\pi }\sigma \sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                                  

Найдём вспомогательный для среднего значения образа Фурье интеграл при помощи (17):

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}\xi \text{exp}\left(-{\sigma }^2{\left(\xi -\frac{\left(k+k\text{'}\right)\gamma }{2}\right)}^2\right)d\xi =\frac{\sqrt{\pi }}{\sigma }\frac{\left(k+k\text{'}\right)\gamma }{2}.$                          

Следовательно,

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}\xi {\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=\sqrt{\pi }\sigma \gamma \sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }\sum _{}_{k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}\frac{\left(k+k\text{'}\right)}{2}\text{exp}\left(-\frac{{(k-k\text{'})}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right)=$            

$=\sqrt{\pi }\sigma \gamma \sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }\sum _{}_{k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}k\text{exp}\left(-\frac{{(k-k\text{'})}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                               

Сделаем замену индекса $\mathcal{l}=k-k\text{'}$, $k\text{'}=k-\mathcal{l}$:

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}\xi {\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=\sqrt{\pi }\sigma \gamma \sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }k c_k{c}_{k-\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                    

Введём обозначение

$b_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }k c_k{c}_{k-\mathcal{l}};$                                                      

тогда

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}\xi {\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=\sqrt{\pi }\sigma \gamma \sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{b}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                            

Теперь выпишем значение $⟨\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)⟩$:

$\frac{1}{\phi {\left(x,\sigma ,\gamma \right)}^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}\xi {\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=\frac{\gamma }{A}\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{b}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                     

Введём обозначение

$D=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{b}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                                              

В результате получим

$\frac{1}{\phi {\left(x,\sigma ,\gamma \right)}^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}\xi {\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=\frac{\gamma D}{A}.$                                     

При помощи формулы (18) приходим к соотношениям

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{\xi }^2\text{exp}\left(-{\sigma }^2{\left(\xi -\frac{\left(k+k\text{'}\right)\gamma }{2}\right)}^2\right)d\xi =\frac{\sqrt{\pi }}{4{\sigma }^5}\left(2{\sigma }^2+{\sigma }^4{(k+k\text{'})}^2{\gamma }^2\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2{\sigma }^3}+\frac{\sqrt{\pi }{(k+k\text{'})}^2{\gamma }^2}{4\sigma },$

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{\xi }^2{\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}d\xi ={\sigma }^2\sum _{}_{k,k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2{\sigma }^3}+\frac{\sqrt{\pi }{(k+k\text{'})}^2{\gamma }^2}{4\sigma }\right)\text{exp}\left(-\frac{{(k-k\text{'})}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right)=$

$={\sigma }^2\sum _{}_{k,k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2{\sigma }^3}+\frac{{(k+k\text{'})}^2{\gamma }^2}{4\sigma }\right)\text{exp}\left(-\frac{{(k-k\text{'})}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right)=$            

$=\frac{\sqrt{\pi }}{2\sigma }\sum _{}_{k,k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}\text{exp}\left(-\frac{{(k-k\text{'})}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right)+$                   

$+\frac{\sqrt{\pi }\sigma {\gamma }^2}{4}\sum _{}_{k,k\text{'}=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k\text{'}}{(k+k\text{'})}^2\text{exp}\left(-\frac{{(k-k\text{'})}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                                                    

Сделаем замену индекса $\mathcal{l}=k-k\text{'}$, $k\text{'}=k-\mathcal{l}$:

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{\xi }^2{\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}d\xi =\frac{\sqrt{\pi }}{2\sigma }A+\frac{\sqrt{\pi }\sigma {\gamma }^2}{4}\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}{(2k-\mathcal{l})}^2\right)\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$   

Введём обозначения

$d_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}{(2k-\mathcal{l})}^2, E=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{d}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right).$                         

Тогда

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{\xi }^2{\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}d\xi =\frac{\sqrt{\pi }}{2\sigma }A+\frac{\sigma {\gamma }^2\sqrt{\pi }}{4}E,$                                  

$\frac{1}{\phi {\left(x,\sigma ,\gamma \right)}^2}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\int }_{}}}{\xi }^2{\left|\phi \left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right|}^{2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi }\sigma A}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2\sigma }A+\frac{\sigma {\gamma }^2\sqrt{\pi }}{4}E\right)=\frac{1}{2{\sigma }^2}+\frac{{\gamma }^{2}E}{4A}.$      

Получаем вторую формулу утверждения теоремы:

${\text{Δ}}^2\left(\widehat{\phi }\left(\xi ,\sigma ,\gamma \right)\right)=\frac{1}{2{\sigma }^2}+{\gamma }^2\left(\frac{E}{4A}-\frac{D^2}{A^2}\right),$                                   

где

$A=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right), E=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{d}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right), D=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{b}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathcal{l}}^2{\gamma }^2{\sigma }^2}{4}\right),$

$a_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}, b_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }k c_k{c}_{k-\mathcal{l}}, d_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}{(2k-\mathcal{l})}^2.$                    

В данной работе мы рассматриваем неполную оконную систему (1) с параметрами ${\omega }_1=1$, ${\omega }_2=4\pi$, дополнив её с помощью (2) при $\alpha =3/2$ с применением операции сдвига к самой функции $u_{\alpha }\left(x\right)$ и к её образу Фурье. В результате получается двухкомпонентная оконная система вида (3), (4). Для первой ортогонализованной компоненты на основе формул статей [2] и [4] (формула для первой компоненты верна с точностью до замены коэффициентов) в частном описанном выше случае численно получено значение константы неопределённости $\mathrm{0,746}$.

В случае второй компоненты мы найдём радиусы для функции $u\left(x\right)\cdot e^{-4{\pi }^2}$. Радиусы $u\left(x\right)\cdot e^{-4{\pi }^2}$ и $u\left(x\right)$ совпадают, но процедура нахождения коэффициентов для $u\left(x\right)\cdot e^{-4{\pi }^2}$ более устойчива в плане точности, так как мы избежим слишком большого разрыва между числами. В этом случае

$c_k=e^{-{\pi }^2{(k-2)}^2}, \gamma =6\pi , \sigma =\sqrt{\frac{1}{\alpha -1}}=\sqrt{2}.$                                 

В итоге

${\text{Δ}}^2\left(u\left(\cdot \right)\right)=1-36{\pi }^2\frac{B}{A}, {\text{Δ}}^2\left(\widehat{u\left(\cdot \right)}\right)=\frac{1}{4}+36{\pi }^2\left(\frac{E}{4A}-\frac{D^2}{A^2}\right),$                    

где

$A=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-18{\pi }^2{\mathcal{l}}^2\right), E=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{d}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-18{\pi }^2{\mathcal{l}}^2\right),$                         

$B=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{a}_{\mathcal{l}}{\mathcal{l}}^2\text{exp}\left(-18{\pi }^2{\mathcal{l}}^2\right), D=\sum _{}_{\mathcal{l}=-\infty }^{\infty }{b}_{\mathcal{l}}\text{exp}\left(-18{\pi }^2{\mathcal{l}}^2\right),$                       

$a_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}, b_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }k c_k{c}_{k-\mathcal{l}}, d_{\mathcal{l}}=\sum _{}_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{c}_{k-\mathcal{l}}{(2k-\mathcal{l})}^2.$                    

Численно значение выходит близким к оптимальному, а именно

$\text{Δ}\left(u\left(\cdot \right)\right)=\mathrm{1,000000,} \text{Δ}\left(\widehat{u\left(\cdot \right)}\right)=\mathrm{0,500002.}$                                 

4. Исследование полноты

Предположим, что двухкомпонентная система (3), (4) не является полной. Тогда существует такая функция $f\in L_2\left(ℝ\right)$, $f\ne 0$, что

$\left(g_{k,m},f\right)=\left(u_{k,m},f\right)=\mathrm{0,} k,m\in \mathbb{Z}.$                                       

Рассмотрим первое условие ортогональности. Запишем его через преобразование Зака:

$\left(Z\left[g_{k,m}\right],Z\left[f\right]\right)=\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}\underset{0}{\overset{1}{{\int }_{}}}Z\left[g\right]\left(x,y\right)\overline{Z\left[f\right]\left(x,y\right)}{e}^{i2\pi \left(2mx+ky\right)} dx dy=\mathrm{0,} k,m\in \mathbb{Z}.$ (20)

Утверждение 2 Условие ортогональности (20) выполняется тогда и только тогда, когда почти всюду при $x,y\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ имеет место соотношение

$Z\left[g\right]\left(\frac{x}{2},y\right)\overline{Z\left[f\right]\left(\frac{x}{2},y\right)}+Z\left[g\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)\overline{Z\left[f\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)}=0.$ (21)

Данный факт доказывается аналогично утверждению 1.

Если подставить в (21) вместо g функцию u, то получим

$Z\left[u\right]\left(\frac{x}{2},y\right)\overline{Z\left[f\right]\left(\frac{x}{2},y\right)}+Z\left[u\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)\overline{Z\left[f\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)}=0.$ (22)

Если же вместо f подставить u, то, поскольку $g_{k,m}$ и $u_{k,m}$ взаимно ортогональны, придём к равенству

$Z\left[g\right]\left(\frac{x}{2},y\right)\overline{Z\left[u\right]\left(\frac{x}{2},y\right)}+Z\left[g\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)\overline{Z\left[u\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)}=0.$ (23)

Введём обозначения:

$F_1\left(x,y\right)=\overline{Z\left[f\right]\left(\frac{x}{2},y\right)}, F_2\left(x,y\right)=\overline{Z\left[f\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)}.$ (24)

Фактически функция $F_1\left(x,y\right)$ описывает преобразование Зака в прямоугольнике $x\in \left[\mathrm{0,1}/2\right]$, $y\in \left[\mathrm{0,1}\right]$, а $F_2\left(x,y\right)$ задаёт его в прямоугольнике $x\in \left[1/\mathrm{2,1}\right]$, $y\in \left[\mathrm{0,1}\right]$. Поэтому $F_1\left(x,y\right)$ и $F_2\left(x,y\right)$ можно считать независимыми друг от друга величинами. Важным обстоятельством является то, что если почти всюду $F_1\left(x,y\right)=F_2\left(x,y\right)=0$, то $Z\left[f\right]\left(x,y\right)=0$. В этом случае $f\left(x\right)=0$, и двухкомпонентная система (3), (4), которую мы рассматриваем, является полной в $L_2\left(ℝ\right)$.

Подставим (24) в формулы (21) и (22). В результате получим следующую систему линейных однородных уравнений относительно $F_1\left(x,y\right)$ и $F_2\left(x,y\right)$:

$\left\{\begin{array}{l}Z\left[g\right]\left(\frac{x}{2},y\right)F_1\left(x,y\right)+Z\left[g\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)F_2\left(x,y\right)=\mathrm{0,}\\ Z\left[u\right]\left(\frac{x}{2},y\right)F_1\left(x,y\right)+Z\left[u\right]\left(\frac{x+1}{2},y\right)F_2\left(x,y\right)=0.\end{array}\right.$