The regular cyclic matrix of an isolated singular point of the Sturm–Liouville equation of the standard form

Full Text

1. Введение. Постановка задачи и основные результаты

Асимптотика решений уравнения Штурма–Лиувилля стандартного вида

$u\text{'}\text{'}\left(z\right)+\left(Q\right(z)-{\lambda }^2)u\left(z\right)=0$ (1.1)

с голоморфным потенциалом $Q$ в произвольной выпуклой области $G$ комплексной плоскости $\mathrm{ℂ}$ полностью изучена (см. [2, 13]). В частности, известно, что, если $z_f-z_0=|z_f-z_0|\exp \left(i{\phi }_z\right)\ne 0$, $\rho :={\lambda }^2=\left|\rho \right|\exp \left(i{\phi }_{\rho }\right)$, то в точке $z_f\in G$ непрерывно дифференцируемые решения $u_1$ и $u_2$ уравнения (1.1), удовлетворяющие условиям

$u_1\left(z_0\right)=\mathrm{1,}{u^{\text{'}}}_1\left(z_0\right)=\mathrm{0,}{u}_2\left(z_0\right)=\mathrm{0,}{u^{\text{'}}}_2\left(z_0\right)=1(z_0\in G)$ (1.2)

являются целыми функциями спектрального параметра $\rho$ регулярного роста порядка $1/2$ и типа $\left|z_f-z_0\right|$ с индикатором $|z_f-z_0|\left|\cos \right({\phi }_{\rho }+{\phi }_z)/2|$ (о целых функциях и характеристиках их роста см. [15, гл. 1]). Этот же результат справедлив, если область $G$ является звездной относительно точки .

Однако если потенциал имеет особые точки и уравнение (1.1) рассматривается в невыпуклой области его аналитичности, то в самом общем случае известно лишь, что решения уравнения (0.1.1), удовлетворяющие условиям (1.2), являются целыми функциями $\rho$ порядка не выше $1/2$, а более точные результаты для их порядка, типа и индикатора получены только при наличии дополнительных ограничений на взаимное расположение точек $z_0$, $z_f$, форму связывающего их пути интегрирования уравнения (1.1) и положение сектора на комплексной плоскости, в котором спектральный параметр стремится к бесконечности (см. [10-12, 16, 19]).

В настоящей работе с целью более полной характеризации свойств решений уравнения (1.1) как целых функций параметра $\rho$ в случае неодносвязной области аналитичности потенциала исследована регулярная циклическая матрица $\hat{C}\left(z_0,z_s,\rho \right)$ уравнения (1.1) для изолированной особой точки $z_s$ потенциала $Q\left(z\right)$ (см. определение 1.2).

Определение 1.1. Пусть потенциал $Q\left(z\right)$ голоморфен в области $G\subset \mathrm{ℂ}$ и $u_1\left(z\right)$, $u_2\left(z\right)$ — непрерывно дифференцируемые решения уравнения (1.1) вдоль спрямляемого пути $\gamma \subset G$, удовлетворяющие условиям (1.2). Назовём передаточной матрицей уравнения (1.1) между точками $z_0$ и $z$ пути $\gamma$ матрицу

$\widehat{P}(\gamma ,z,z_0)\equiv \left(\begin{array}{cc}{p}_{11}& p_{12}\\ p_{21}& p_{22}\end{array}\right):=\left(\begin{array}{cc}{u}_1\left(z\right)& u_2\left(z\right)\\ {u^{\text{'}}}_1\left(z\right)& {u^{\text{'}}}_2\left(z\right)\end{array}\right).$

В силу вида уравнения (1.1) и выбора начальных условий (1.2) определитель передаточной матрицы не зависит от $z$ и равен единице.

Определение 1.2. Пусть $G\subset \mathrm{ℂ}$ — ограниченная выпуклая область с границей $\delta G$, содержащая ровно одну особую точку $z_s$ потенциала $Q\left(z\right)$, и во всех точках $\delta G$ потенциал голоморфен. Тогда передаточную матрицу уравнения (1.1) вдоль начинающегося и кончающегося в точке $z_0\in \delta G$ пути $\gamma$, обходящего границу области $G$ против часовой стрелки, будем называть регулярной циклической матрицей $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ изолированной особой точки $z_s$ уравнения (0.1.1) относительно точки $z_0$.

Подчеркнем, что граница ограниченной выпуклой области всегда спрямляема (см. [18, §1]), а регулярная циклическая матрица является одной из матриц монодромии этой точки (см. [16, гл. 1, § 2, п. 3]).

В разделе 2 доказано, что регулярная циклическая матрица особой точки $z_s$ относительно точки $z_0$ аналитичности потенциала $Q\left(z\right)$ может быть определена тогда и только тогда, когда $z_s$ является изолированной особой точкой, и отрезок $z_s{z}_0$ не содержит особых точек потенциала, отличных от $z_s$. При этом для фиксированных точек $z_0$ и $z_s$ матрица $\widehat{C}\left(z_0\mathrm{,}{z}_s\mathrm{,}\rho \right)$ не зависит от выбора области $G$, удовлетворяющей условиям определения 1.2. В разделе 3 получены критерии безмонодромности особой точки потенциала по элементам её регулярной циклической матрицы. Заметим, что потенциалы с безмонодромными особыми точками (соответствующая ей регулярная циклическая матрица и любая другая матрица монодромии равна единичной матрице при любых значениях спектрального параметра) были подробно исследованы в [9].

В разделе 4 доказана следующая теорема, содержащая основной результат данной работы.

Теорема 1.1. Пусть $z_s$ — изолированная особая точка однозначного характера потенциала $Q\left(z\right)$, $z_0\ne z_s$, отрезок, соединяющий точки $z_0$ и $z_s$, не содержит особых точек $Q\left(z\right)$, отличных от точки $z_s$, $\rho :={\lambda }^2=\left|\rho \right|\exp \left(i{\phi }_{\rho }\right)$, $z_0-z_s=|z_0-z_s|\exp \left(i{\phi }_{s0}\right)$, ${\phi }_{\rho },{\phi }_{s0}\in (-\pi ;\pi ]$, и $c_0$ — след регулярной циклической матрицы $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ уравнения Штурма– Лиувилля (1.1) относительно точки $z_0$. Тогда $c_0$ не зависит от положения точки $z_0$ и либо также не зависит от $\rho$, либо является целой функцией $\rho$ порядка $1/2$ минимального типа. При этом, если след $c_0$ тождественно не равен двум, то все элементы матрицы $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ являются целыми функциями $\rho$ порядка $1/2$ с одинаковыми индикаторами

$h_{lj}({\phi }_{\rho },z_0,z_s)=2|z_s-z_0|\left|\cos \left(\frac{1}{2}{\phi }_{\rho }+{\phi }_{s0}\right)\right|.$ (1.3)

Заметим, что, если сделать замену $\rho =\varrho \exp \left(2i{\phi }_{s0}\right)$, то элементы матрицы $\widehat{C}(z_0,z_s,\varrho )$ будут целыми функциями нового параметра $\varrho =\left|\varrho \right|\exp \left(i{\phi }_{\varrho }\right)$, ${\phi }_{\varrho }\in (-\pi ;\pi ]$, с тригонометрическим индикатором $2|z_s-z_0|\cos ({\phi }_{\rho }/2)$.

Регулярная циклическая матрица особой точки является одной из матриц монодромии этой точки, и поскольку все матрицы монодромии определенной особой точки подобны друг другу (см. [7, 16]), то они имеют одинаковый след (см. [14, п. 13.4.1]). Примеры потенциалов, для которых след матрицы монодромии уравнения (1.1) не зависит от спектрального параметра, приведены в [7]. К сожалению, остается открытым вопрос является ли условие ${с}_0\equiv 2$ признаком безмонодромности особой точки, и, если не является, то как быстро растут с ростом $\left|\rho \right|$ элементы регулярных циклических матриц, имеющих при всех значениях спектрального параметра след равный двум, но отличных от тождественно единичной матрицы.

2. Базовые свойства регулярной циклической матрицы произвольной особой точки.

Прежде чем формулировать базовые свойства регулярной циклической матрицы (теорема 2.1), докажем несколько вспомогательных лемм.

Лемма 2.1. Пусть $z_s$ — произвольная внутренняя точка некоторой ограниченной выпуклой области $G$. Тогда для любого луча $\alpha$, исходящего из точки $z_s$, существует такая точка $z_{\alpha }\in \alpha$, что множество $G_{\alpha }:=\alpha \cap G$ совпадает с отрезком, соединяющим точки $z_s$ и $z_{\alpha }$ с открытым концом в точке $z_{\alpha }$. При этом точка $z_{\alpha }$ является единственной лежащей на луче $\alpha$ граничной точкой области $G$.

Доказательство. Поскольку точка $z_s$ — внутренняя точка ограниченной области $G$, то множество неотрицательных действительных чисел $R_{\alpha }:=\left\{\right|z-z_s|,z\in G_{\alpha }\}$ обязательно включает положительные числа и ограниченно сверху. Следовательно, существует число $L_{\alpha }:=\sup R_{\alpha }>0$, которое в силу открытости множества точек области $G$ не достигается на множестве точек$G_{\alpha }$ . Рассмотрим лежащую на луче $\alpha$ точку $z_{\alpha }$, для которой $|z_{\alpha }-z_s|=L_{\alpha }$. По её построению (и в силу определения верхней грани) все точки $z$ луча $\alpha$, лежащие вне отрезка, соединяющего точки $z_s$ и $z_{\alpha }$ не принадлежат множеству $G_{\alpha }$, и для любого $\epsilon >0$ на этом отрезке найдется такая точка $z_{\epsilon }$ из множества $G_{\alpha }$, что $|z_{\alpha }-z_{\epsilon }|<\epsilon$. Учитывая выпуклость области $G$ отсюда сразу следует первая часть утверждения, а также тот факт, что выбранная точка $z_{\alpha }$ является граничной точкой области $G$. Предположим, что на луче $\alpha$ лежит еще одна граничная точка области $G$ — точка $z_1$. В силу только что доказанной первой части утверждения леммы $|z_1-z_s|>L_{\alpha }$. При этом по определению граничной точки в любой $\epsilon$-окрестности точки $z_1$ существует точка $z_2\in G$. Поскольку точка $z_s$ — внутренняя точка области $G$, то для некоторого $\delta >0$ существует $\delta$-окрестность точки $z_s$, полностью лежащая в области $G$. Проведем луч с началом в точке $z_2$, проходящий через точку $z_{\alpha }$. Если величина $\epsilon$ достаточно мала, то, поскольку $|z_1-z_s|>L_{\alpha }$, этот луч обязательно пересечет описанную выше $\delta$-окрестность точки $z_s$. Следовательно, в силу выпуклости области $G$ имеем $z_{\alpha }\in G$. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 2.2. Для фиксированных точки $z_0$ аналитичности потенциала $Q\left(z\right)$ уравнения Штурма– Лиувилля (1.1) и его изолированной особой точки $z_s$ регулярная циклическая матрица $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ не зависит от выбора области $G$, удовлетворяющей условиям определения 1.2.

Доказательство. Рассмотрим две области $G_1$ и $G_2$ с границами $\delta G_1$ и $\delta G_2$ соответственно, удовлетворяющие условиям определения 1.2. Поскольку у этих областей есть минимум одна общая точка $z_s$, то их объединение $G_3=G_1\cup G_2$ является связным открытым множеством точек, т.е. областью. Так как все граничные точки областей $G_1$ и $G_2$ регулярны, то и граница области $G_3$ не содержит особых точек потенциала $Q\left(z\right)$. Значит, существует область $G_0\supset {\overline{G}}_3:=G_3\cup \delta G_3$, в которой потенциал $Q\left(z\right)$ имеет единственную особую точку $z_s$. Поскольку $z_s$ — общая внутренняя точка областей $G_1$ и $G_2$, то существует такая $\delta$-окрестность $G_s$ точки $z_s$, которая полностью лежит в областях $G_1$ и $G_2$. По лемме 2.1 любой луч $\alpha$ с началом в особой точке $z_s$ имеет ровно по одной общей точке $z_{1\alpha }$ и $z_{2\alpha }$ соответственно с путями ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$, которые в силу определения 1.2 однозначно определяются выбором точки $z_0$ и областей $G_1$ и $G_2$. При этом для всех лучей $\alpha$ отрезки, соединяющие точки $z_{1\alpha }$ и $z_{2\alpha }$, лежат в двусвязной области $G_0\sqrt{G_s}$ аналитичности потенциала $Q\left(z\right)$. Поэтому пути ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ можно непрерывно деформировать внутри области $G_0\sqrt{G_s}$, например, с помощью отображения

$z(t,\phi )=\left(L_{1\alpha }\right(\phi )+t(L_{2\alpha }\left(\phi \right)-L_{1\alpha }\left(\phi \right)\left)\right)\exp \left(2\pi i\phi \right),$

где $L_{n\alpha }:=|z_{n\alpha }-z_s|$, $n=1,2$, $t,\phi \in [0;1]$, $\phi =\beta /\left(2\pi \right)$, а $\beta$ — угол между произвольным лучом $\alpha$ и лучом ${\alpha }_0$, проходящим через точку $z_0$, отсчитываемый от луча ${\alpha }_0$ против часовой стрелки. Таким образом, пути ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ с общей начальной и конечной точкой $z_0$ гомотопны друг другу (см. [17]) в области аналитичности потенциала $Q\left(z\right)$, поэтому передаточные матрицы уравнения (1.1) вдоль этих путей совпадают. Последнее следует из теоремы об инвариантности аналитического продолжения функции вдоль пути относительно гомотопных преобразований этого пути (см. [17]) и того, что решения уравнения (1.1) аналитичны в области аналитичности потенциала $Q\left(z\right)$ (см. [1, 8]).

Заметим, что для справедливости леммы 2.2 требование выпуклости области $G$ в определении 1.2 существенно. Контрпримером является случай, когда на отрезке, соединяющем точки $Z_s$ и $z_0$, лежит еще одна особая точка $z_{s1}$ потенциала $Q\left(z\right)$, а невыпуклые области $G_1$ и $G_2$ выбраны так, что их объединение образует кольцеобразную область, внутренняя граница которой совпадает с границей некоторой выпуклой области $G_{s1}$, содержащей единственную особую точку $z_{s1}$ потенциала $Q\left(z\right)$. Пусть границы областей $G_1$, $G_2$, $G_{s1}$ имеют общую точку $z_0$, и ${\gamma }_1$, ${\gamma }_2$, ${\gamma }_{s1}$ — пути, начинающиеся и кончающиеся в точке $z_0$ и обходящие против часовой стрелки границы областей $G_1$, $G_2$, $G_{s1}$ соответственно. Тогда передаточные матрицы ${\widehat{P}}_1({\gamma }_1,z_0,z_0)$, ${\widehat{P}}_2({\gamma }_2,z_0,z_0)$ и ${\widehat{P}}_{s1}({\gamma }_{s1},z_0,z_0)$ будут связаны одним из соотношений:

${\widehat{P}}_1={\widehat{P}}_{s1}{\widehat{P}}_2{\left({\widehat{P}}_{s1}\right)}^{-1}или{\widehat{P}}_2={\widehat{P}}_{s1}{\widehat{P}}_1{\left({\widehat{P}}_{s1}\right)}^{-1}$

в зависимости от нумерации областей $G_1$, $G_2$. Таким образом, матрицы ${\widehat{P}}_1$ и ${\widehat{P}}_2$ будут подобны, как и любые другие матрицы монодромии одной и той же особой точки, но совпадать они будут тогда и только тогда, когда матрицы ${\widehat{P}}_{s1}$ и ${\widehat{P}}_1$ (или ${\widehat{P}}_2$) перестановочны. Это будет иметь место, например, если $z_s$ или (и) $z_{s1}$ является безмонодромной особой точкой потенциала.

Лемма 2.3. Регулярная циклическая матрица изолированной особой точки $z_s$ не может быть определена для точки $z_0$ аналитичности потенциала $Q\left(z\right)$, если отрезок, соединяющий точки $z_s$ и $z_0$, содержит хотя бы одну особую точку потенциала $z_{s1}$, отличную от точки $z_s$.

Доказательство. Предположим что в описанном в лемме случае существует область $G$, удовлетворяющая условиям определения 1.2. Известно, что замыкание выпуклой области (множества) есть выпуклое множество. Поэтому отрезок $z_s{z}_0$ принадлежит замыканию $G\cup \delta G$ области $G$. При этом по определению 1.2 граница области $G$ не содержит особых точек, т.е. $z_{s1}\in G$, и, следовательно, область $G$ содержит более одной особой точки, что противоречит определению 1.2. Лемма доказана.

Лемма 2.4. Пусть $z_s$ — изолированная особая точка потенциала $Q\left(z\right)$ и отрезок $L_0$, соединяющий точки $z_s$ и $z_0$, не содержит особых точек $Q\left(z\right)$, отличных от точки $z_s$. Тогда существует такое $\delta >0$, что для любых ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2\in (0;\delta ]$ в определении 1.2 можно взять область $G$, ограниченную замкнутой ломаной $z_0{z}_A{z}_B{z}_C{z}_0$, где точка $z_B$ лежит на луче, выходящем из точки $z_0$ и проходящем через точку $z_s$, причем $|z_B-z_0|=|z_s-z_0|+{\epsilon }_1$; отрезок $z_A{z}_C$ перпендикулярен отрезку $L_0$, проходит через точку $z_s$, и $|z_A-z_s|=|z_C-z_s|={\epsilon }_2$.

Доказательство. Поскольку предельная точка особых точек аналитической функции также является особой точкой, что непосредственно следует из определения голоморфной в точке функции (см., например, [17]), то множество $A_s$ всех особых точек голоморфной функции замкнуто. По условию леммы $z_s$ — изолированная особая точка, поэтому множество точек $A_s/z_s$ также замкнуто. Множество точек любого отрезка также замкнуто и по условию леммы $L_0\cap A_s/z_s=\varnothing$. Следовательно, по известной теореме о расстоянии между двумя замкнутыми множествами, не имеющими общих точек (см. [17]) расстояние ${\delta }_0$ между этими множествами положительно. Положим $\delta ={\delta }_0/2$. Тогда описанная в лемме выпуклая область $G$ будет содержать единственную особую точку $z_s$ потенциала $Q\left(z\right)$, и во всех точках её границы потенциал $Q\left(z\right)$ будет голоморфен. Лемма доказана.

Заметим, что выбирая ${\epsilon }_2\ll {\epsilon }_1$, углы между лучами $z_A{z}_0$ и $z_A{z}_B$, а также $z_C{z}_B$ и $z_C{z}_0$ можно сделать сколь угодно близкими к $180°$. Именно это обстоятельство лежит в основе доказательства следующей леммы.

Лемма 2.5. Пусть $z_s$ — изолированная особая точка потенциала $Q\left(z\right)$, отрезок, соединяющий точки $z_s$ и $z_0$, не содержит особых точек $Q\left(z\right)$, отличных от точки $z_s$, $\lambda \ne 0$ и ${\beta }_{\lambda }:=\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_s-z_0\left)\right\}/\left|\lambda \right|\ne 0$. Тогда для любого $\epsilon >0$ существует область $G$ описанного в лемме 2.4 вида, удовлетворяющая определению 1.2 и такая, что $0<|z_B-z_0|-|z_s-z_0|<\epsilon$ и $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z-z_0\left)\right\}$ изменяется монотонно как на ломаной $z_0{z}_A{z}_B$, так и на ломаной $z_0{z}_C{z}_B$.

Доказательство. Пусть $L=\left|z_s-z_0\right|$. Положим в лемме 2.4

${\epsilon }_1\in (0;\min \{\delta ,\epsilon /2\left\}\right),{\epsilon }_2\in (0;\min \{\delta ,\left|{\beta }_{\lambda }\right|/\mathrm{2,}{\epsilon }_1\left|{\beta }_{\lambda }\right|/\left(2L\right)\left\}\right)$

и рассмотрим соответствующие область $G$ и точки $z_A$, $z_B$ и $z_C$, описанные в лемме 2.4. Очевидно, что

$0<|z_B-z_0|-|z_s-z_0|<\epsilon$

в силу леммы 2.4 и выбора значения ${\epsilon }_1$. Ломаную $z_0{z}_A{z}_B$ можно задать параметрически следующим образом:

$z=\left\{\begin{array}{cc}{z}_0+t(z_A-z_0),& t\in \left[\mathrm{0,1}\right],\\ z_0+(z_A-z_0)+(t-1)(z_B-z_A),& t\in \left(\mathrm{1,2}\right].\end{array}\right.$

Отсюда сразу следует, что при $\lambda \ne 0$ для монотонности изменения $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z-z_0\left)\right\}$ на ломаной $z_0{z}_A{z}_B$ необходимо и достаточно выполнения неравенства

$I_{\lambda }:=\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_A-z_0\left)\right\}\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_B-z_A\left)\right\}>0.$

Но в силу леммы 2.4

$|z_A-z_s|={\epsilon }_2,z_B-z_s=(z_s-z_0){\epsilon }_1/L.$

Поэтому

$I_{\lambda }:=\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_A-z_s+z_s-z_0\left\}\mathrm{Re}\right\{\lambda (z_B-z_s+z_s-z_A\}=|\lambda {|}^2\left({\delta }_A{\epsilon }_2+{\beta }_{\lambda }\right)\left({\beta }_{\lambda }{\epsilon }_1/L-{\delta }_A{\epsilon }_2\right)>\mathrm{0,}$

где ${\delta }_A:=\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_A-z_s\left)\right\}/\left(\right|\lambda \left|\right|z_A-z_s\left|\right)$, и положительность $I_{\lambda }$ обусловлена указанным выше выбором значений параметров ${\epsilon }_1$, ${\epsilon }_2$ и очевидным неравенством $\left|{\delta }_A\right|\le 1$. Монотонность изменения величины $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z-z_0\left)\right\}$ на ломаной $z_B{z}_C{z}_0$ доказывается аналогично. Лемма доказана.

Предложение 2.1. Монотонность изменения $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z-z_0\left)\right\}$ на ломаных $z_0{z}_A{z}_B$ и  обеспечивает для элементов передаточных матриц вдоль этих ломаных асимптотики такого же вида, как для передаточных матриц вдоль отрезков, при всех достаточно больших по модулю значениях спектрального параметра, кроме тех, которые лежат на луче $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_s-z_0\left)\right\}=0$.

Доказательство. Данное утверждение следует из результатов монографий [2, 13]. Его доказательство полностью аналогично, например, доказательству леммы 8 в [5], в котором достаточно заменить слово "отрезок" на слово "кривая" или "ломаная".

Предложение (2.1) позволяет дать оценку сверху для индикаторов элементов регулярной циклической матрицы.

Теорема 2.1. Пусть $z_s$ — изолированная особая точка потенциала $Q\left(z\right)$, отрезок, соединяющий точки $z_s$ и $z_0$, не содержит особых точек $Q\left(z\right)$, отличных от точки $z_s$,

$\rho :={\lambda }^2=\left|\rho \right|\exp \left(i{\phi }_{\rho }\right)\ne \mathrm{0,}{z}_0-z_s=|z_0-z_s|\exp \left(i{\phi }_{s0}\right).$

Тогда все элементы $c_{lj}$, $l, j\in \left\{1,2\right\}$, регулярной циклической матрицы $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ уравнения Штурма– Лиувилля стандартного вида (1.1) являются целыми функциями $\rho$ порядка не выше $1/2$, и их индикаторы $h_{lj}({\phi }_{\rho },z_0,z_s)$ (относительно порядка $1/2$) удовлетворяют неравенствам

$0\le h_{lj}({\phi }_{\rho },z_0,z_s)\le 2|z_s-z_0|\left|\cos \frac{{\phi }_{\rho }+{\phi }_{s0}}{2}\right|.$ (2.1)

Доказательство. Из леммы 2.4 настоящей работы и леммы 1 статьи [3] следует, что регулярную циклическую матрицу можно представить в виде

$\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )=\widehat{P}({\gamma }_C,z_0,z_B)\widehat{P}({\gamma }_A,z_B,z_0)=\widehat{P}({\gamma }_C,z_0,z_B){\widehat{P}}^{-1}({\gamma }_A,z_0,z_B),$ (2.2)

 где ${\gamma }_{С}$ и ${\gamma }_A$ — описанные в лемме 2.4 ломаные $z_B{z}_C{z}_0$ и $z_0{z}_A{z}_B$ соответственно. При записи соотношений (2.2) предполагается, что точки $z_A$ и $z_C$ выбраны таким образом, что обход особой точки $z_s$ по ломаной $z_0{z}_A{z}_B{z}_C{z}_0$ в соответствии с определением 1.2 происходит против часовой стрелки. При $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_s-z_0\left)\right\}\ne 0$ (т.е. $\cos ({\phi }_{\rho }+{\phi }_{s0})/2\ne 0$) в силу леммы 2.5 и предложения 2.1 все элементы матриц $\widehat{P}({\gamma }_A,z_B,z_0)$ и $\widehat{P}({\gamma }_C,z_0,z_B)$ являются целыми функциями спектрального параметра $\rho$ регулярного роста порядка $1/2$ и типа $|z_B-z_0|$ с индикатором

$h_0({\phi }_{\rho },{\phi }_{s0})=|z_B-z_0|\left|\cos \frac{{\phi }_{\rho }+{\phi }_{s0}}{2}\right|.$ (2.3)

В силу (2.2) элементы $c_{lj}$, $l,j\in \left\{\mathrm{1,2}\right\}$, регулярной циклической матрицы связаны с элементами матриц $\widehat{P}({\gamma }_A,z_B,z_0)$ и $\widehat{P}({\gamma }_C,z_0,z_B)$ следующим образом:

$c_{lj}=p_{l1}({\gamma }_C,z_0,z_B)p_{1j}({\gamma }_A,z_B,z_0)+p_{l2}({\gamma }_C,z_0,z_B)p_{2j}({\gamma }_A,z_B,z_0).$ (2.4)

По теореме об индикаторе произведения двух целых функций одного порядка, хотя бы одна из которых является функцией регулярного роста (см. [15, гл.3, § 4],) получаем, что оба слагаемых в последней формуле имеют порядок $1/2$, тип $2|z_B-z_0|$ и общий индикатор $2h_0({\phi }_{\rho },{\phi }_{s0})$. С другой стороны, порядок суммы любых двух целых функций одного порядка не больше порядка каждого из слагаемых (см. [15, гл. 1, § 15]), и целые функции порядка не больше $1/2$ могут иметь только неотрицательные индикаторы (см. [15, гл. 1, § 14, теорема 21; § 16 свойство (з) индикатора]), что доказывает левое неравенство в (2.1). Правая часть неравенство в (2.1) следует из лемм 2.2, 2.5, формул (2.3), (2.4) и того факта, что индикатор суммы любых двух целых функций одного порядка (относительно этого порядка) не больше наибольшего (при данном ${\phi }_{\rho }$) из индикторов слагаемых (см. [15, гл. 1, § 15]): в силу леммы 2.2 для фиксированных точки $z_0$ аналитичности потенциала $Q\left(z\right)$ уравнения Штурма– Лиувилля (1.1) и его изолированой особой точки $z_s$ регулярная циклическая матрица $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ не зависит от выбора области $G$, удовлетворяющей условиям определения 1.2, а по лемме 2.5 для любого $\epsilon >0$ существует подходящая область $G$, для которой $0<|z_B-z_0|-|z_s-z_0|<\epsilon$. Таким образом, при $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_s-z_0\left)\right\}\ne 0$ все утверждения теоремы доказаны. В силу непрерывности индикатора любой целой функции (см. [15, гл. 1, § 16, свойство (а) индикатора]) утверждения теоремы справедливы и при $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_s-z_0\left)\right\}=0$, причем в этом случае $\cos ({\phi }_{\rho }+{\phi }_{s0})/2=0$, и значит, $h_{lj}=0$.

3. Признаки безмонодромности особой точки.

Лемма 3.1. Пусть $z_s$ — изолированная особая точка потенциала $Q\left(z\right)$, и для некоторой точки $z_0$ регулярная циклическая матрица ${\widehat{C}}_0:=\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ уравнения Штурма– Лиувилля стандартного вида (1.1) не зависит от спектрального параметра $\rho$. Тогда $z_s$ — особая точка однозначного характера и ${\widehat{C}}_0\equiv \widehat{I}$, где $\widehat{I}$ — единичная матрица.

Доказательство. Поскольку любая регулярная циклическая матрицы является передаточной матрицей, то её определитель в силу вида уравнения (1.1) и начальных условий (1.2) равен единице. Кроме того, случай ${\widehat{C}}_0\equiv -\widehat{I}$ невозможен, так как при этом из формулы (2.2) имеем $\widehat{P}({\gamma }_A,z_0,z_B)=-\widehat{P}({\gamma }_C,z_0,z_B)$, что противоречит известной асимптотике элементов передадочной матрицы уравнения (1.1) при больших значениях $\left|\lambda \right|$ на любых кривых $\gamma$ с монотонным изменением $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z-z_B\left)\right\}$. Так, например, из леммы (2.5) и предложения 2.1 следует, что если $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z_0-z_B\left)\right\}>0$, то для нахождения асимптотик элементов матриц $\widehat{P}({\gamma }_A,z_0,z_B)$ и $\widehat{P}\left({\gamma }_C\mathrm{,}{z}_0\mathrm{,}{z}_B\right)$ можно использовать формулу (11) работы [4], положив в ней $N=0$. В результате получим, что

$\begin{array}{ll}{p}_{11}(\gamma ,z_0,z_B)& =\frac{1}{2}\left(1+\frac{O\left(1\right)}{\left|\lambda \right|}\right)\exp \left(\lambda \right(z_0-z_B\left)\right),\\ p_{12}(\gamma ,z_0,z_B)& =\frac{1}{2\lambda }\left(1+\frac{O\left(1\right)}{\left|\lambda \right|}\right)\exp \left(\lambda \right(z_0-z_B\left)\right),\\ p_{21}(\gamma ,z_0,z_B)& =\frac{\lambda }{2}\left(1+\frac{O\left(1\right)}{\left|\lambda \right|}\right)\exp \left(\lambda \right(z_0-z_B\left)\right),\\ p_{22}(\gamma ,z_0,z_B)& =\frac{1}{2}\left(1+\frac{O\left(1\right)}{\left|\lambda \right|}\right)\exp \left(\lambda \right(z_0-z_B\left)\right),\end{array}$ (3.1)

где кривая $\gamma$ совпадает с кривой ${\gamma }_A$ или $Y_C$, а символ $O\left(1\right)$ обозначает функцию параметра $\lambda$, конкретный вид которой для нас не важен, ограниченную при $\left|\lambda \right|>{\lambda }_{cr}$, где ${\lambda }_{cr}$ — конечная величина, которая может быть разной для разных кривых $\gamma$.

Рассмотрим точку $z_1$, которая делит отрезок, соединяющий точки $z_s$ и $z_0$, в отношении $1:2$, т.е.

$|z_1-z_s|=\frac{|z_0-z_s|}{3}=\frac{|z_0-z_1|}{2}.$ (3.2)

Тогда по лемме 2.4 определена регулярная циклическая матрица $\widehat{C}(z_1,z_s,\rho )$ уравнения (1.1), которую в силу [3, лемма 1] можно представить в виде

$\widehat{C}(z_1,z_s,\rho )=\widehat{P}(L_1,z_1,z_0){\widehat{C}}_0\widehat{P}(L_1,z_0,z_1),$ (3.3)

где $L_1$ — отрезок, соединяющий точки $z_1$ и $z_0$. Значит, в силу [3, лемма 1] матрица $\widehat{C}(z_1,z_s,\rho )$ равна передаточной матрице ${\hat{P}}_0$ уравнения (1.1) вдоль замкнутой вырожденной ломаной $L$, соединяющей точки $z_1$, $z_0$ и $z_1$, с условиями разрыва решений в этих точках, задаваемых не зависящими от $\rho$ матрицами ${\widehat{\eta }}_0=\widehat{I}$, ${\widehat{\eta }}_1:={\widehat{C}}_0$ и ${\widehat{\eta }}_2=\widehat{I}$ соответственно. Кроме того, в случае, если $z_s$ является особой точкой неоднозначного характера, то потенциал $Q$ в уравнении (1.1) будет кусочно аналитическим на ломаной $L$: он будет совпадать с некоторыми аналитическими функциями $Q_0$ и $Q_1$ соответственно на путях от точки $z_1$ к точке $z_0$ и обратно.

Рассмотрим три случая.

Случай 1. Пусть ${\widehat{C}}_0\equiv \widehat{I}$ и точка $z_s$ — особая точка однозначного характера, т.е. функции $Q_0$ и $Q_1$ совпадают. Тогда $\widehat{P}(L_1,z_1,z_0)={\widehat{P}}^{-1}(L_1,z_0,z_1)$, и $\widehat{C}(z_1,z_s,\rho )\equiv \widehat{I}$ в силу формулы (3.3).

Случай 2. Пусть ${\widehat{C}}_0\equiv \pm i{\widehat{\sigma }}_3$, где ${\widehat{\sigma }}_3:=\left(\begin{array}{cc}1& -0\\ 0& -1\end{array}\right)$. Тогла в силу [3, лемма 6] матрица ${\widehat{P}}_0=\pm i{\widehat{\sigma }}_3{\widehat{P}}_1$, где ${\widehat{P}}_1$ — передаточная матрица уравнения (1.1) вдоль отрезка, соединяющего точки $z_1$ и $2z_0-z_1$, с кусочно аналитическим потенциалом $Q$, совпадающим с функциями $Q_0\left(z\right)$ и $Q_1(2z_0-z)$ на отрезках, соединяющих соответственно точки $z_1$, $z_0$ и $z_0$, $2z_0-z_1$. В этом случае все элементы матрицы ${\widehat{P}}_0$ являются целыми функциями порядка $1/2$ и типа $\left|\right(2z_0-z_1)-z_1|=2|z_0-z_1|=4|z_1-z_s|$ (см. [3]), где последнее равенство следует из соотношения (3.2), задающего положение точки $z_1$, и противоречит ограничению (2.1) на тип элементов регулярной циклической матрицы $\widehat{C}(z_1,z_s,\rho )$. Значит, случай 2 невозможен.

Случай 3. Пусть ${\widehat{C}}_0\equiv \widehat{I}$ и $Q_0\left(z\right)\ne Q_1\left(z\right)$ ($z_s$ является особой точкой неоднозначного характера) или ${\widehat{C}}_0\notin \{\pm \widehat{I},\pm i{\widehat{\sigma }}_3\}$ (при этом особая точка может быть любой). Тогда, поскольку $\det {\widehat{C}}_0=1$, то в терминологии работы [3] ломаная $L$ является простой кривой и следовательно, в силу [3, лемма 15] все элементы матрицы ${\widehat{P}}_0$ являются целыми функциями порядка $1/2$ и типа $2|z_0-z_1|=4|z_1-z_s|$, т.е. случай 3 невозможен по той же причине, что и случай 2.

Заметим, что, хотя потенциал на ломаной $L$ не является кусочно целым, а только кусочно аналитическим, в случаях 2 и 3 для матрицы ${\widehat{P}}_0$ применимы все результаты работы [3] с $N=1$, ${\widehat{\eta }}_1:={\widehat{C}}_0$ и ${\widehat{\eta }}_0={\widehat{\eta }}_2=\widehat{I}$. Дело в том, что кусочная целостность потенциала в [3] используется только для деформации исходной кривой в ломаную с простым набором характеристических данных (в терминологии указанной работы) без изменения передаточной матрицы вдоль нее. Для применения же результатов [3] к рассматриваемой геометрии достаточно кусочной аналитичности потенциала на ломаной $L$.

Поскольку, как было указано в самом начале доказательства, случай ${\widehat{C}}_0\equiv -\widehat{I}$ невозможен, то мы рассмотрели все возможные случаи и не получили противоречия только в случае 1. Лемма доказана.

Предложение 3.1. Рассуждая полностью аналогично и пользуясь результатами работы [6], можно доказать, что утверждения леммы 3.1 сохраняются, если все элементы матрицы ${\hat{C}}_0$ являются полиномами спектрального параметра $\rho$ некоторых конечных степеней.

Лемма 3.2. Пусть $z_s$ — изолированная особая точка потенциала $Q\left(z\right)$, и для некоторой точки $z_0$ элемент $c_{12}$ или $c_{21}$ регулярной циклической матрицы $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ уравнения Штурма– Лиувилля стандартного вида (1.1) равен нулю при всех значениях спектрального параметра $\rho$. Тогда $z_s$ — особая точка однозначного характера и $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )\equiv \widehat{I}$.

Доказательство. Как указывалось выше, $\det \widehat{C}\equiv 1$. Поэтому, если $c_{12}{c}_{21}\equiv 0$, то $c_{11}{c}_{22}\equiv 1$, т.е. $c_{11}$, $c_{22}$ не имеют нулей и, значит, не зависят от $\rho$, поскольку по теореме 2.1 являются целыми функциями $\rho$ порядка не выше $1/2$, а такие функции определяются своими нулями с точностью до постоянного множителя (см. [15, гл. 1, § 10]). Таким образом, $c_{11}=f$, $c_{22}=1/f$, где $f\ne 0$ и не зависит от $\rho$. Записывая формулу (2.2) в виде

$\widehat{P}({\gamma }_C,z_0,z_B)=\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )\widehat{P}({\gamma }_A,z_0,z_B),$

получим, что

$\begin{array}{llllll}& p_{C\mathrm{,11}}\equiv f{p}_{A\mathrm{,11}},& & p_{C\mathrm{,21}}\equiv c_{21}{p}_{A\mathrm{,11}}+p_{A\mathrm{,21}}/f& & приc_{12}\equiv 0;\\ & p_{C\mathrm{,22}}\equiv p_{A\mathrm{,22}}/f,& & p_{C\mathrm{,11}}\equiv f{p}_{A\mathrm{,11}}+c_{12}{p}_{A\mathrm{,21}}& & приc_{21}\equiv 0.\end{array}$

Отсюда, пользуясь асимптотическими формулами (3.1), получаем,что в обоих случаях $f=1$, и, кроме того, $c_{21}=O\left(1\right)$ или $c_{12}=O\left(1\right)/{\lambda }^2$ при $\mathrm{Re}\left\{\lambda \right(z-z_0\left)\right\}>0$ и $\left|\lambda \right|>{\lambda }_{cr}$. Но по теореме 2.1 заключаем, что $c_{12}$ и $c_{21}$ — целые функции $\rho$ порядка не выше $1/2$, а такие функции могут быть ограничены в некотором угле на комплексной плоскости $\rho$ только если они не зависят от $\rho$ (см. [15, гл. 1, § 14, теорема 21]). Таким образом, доказано, что если $c_{12}{c}_{21}\equiv 0$, то матрица $\hat{C}$ не зависит от $\rho$, и значит все утверждения леммы следуют из леммы 3.1.

Заметим, что, если для особой точки $z_s$ потенциала $Q\left(z\right)$ существует точка $z_0$, для которой $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )\equiv \widehat{I}$, то точка $z_s$ является безмонодромной особой точкой уравнения (1.1) (см. [9]).

4. Доказательство теоремы об индикаторе роста элементов матрицы  особой точки однозначного характера.

Для начала докажем утверждение теоремы 1.1 о следе регулярной циклической матрицы особой точки потенциала $Q\left(z\right)$ однозначного характера.

Лемма 4.1. Пусть $z_s$ — изолированная особая точка потенциала $Q\left(z\right)$ однозначного характера, а отрезок, соединяющий точки $z_s$ и $z_0$, не содержит особых точек $Q\left(z\right)$, отличных от $z_s$. Тогда след $c_0:=c_{11}+c_{22}$ регулярной циклической матрицы $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ уравнения Штурма – Лиувилля стандартного вида (1.1) является целой функцией $\rho$ порядка не выше $1/2$, и минимального типа (относительно порядка $1/2$), которая не зависит от положения точки $z_0$.

Доказательство. Поскольку по условию $z_s$ — изолированная особая точка потенциала $Q\left(z\right)$, то существует такое $\delta >0$, что круг радиуса $\delta$ с центром в точке $z_s$ не содержит других особых точек. Значит, для любого $0<\epsilon <\delta$ существует такая точка $z_{\epsilon }$, что отрезок, соединяющий точки $z_s$ и $z_{\epsilon }$, не содержит особых точек $Q\left(z\right)$, отличных от $z_s$. Пусть $\gamma$ — произвольная кривая, соединяющая точки $z_0$, $z_{\epsilon }$ и не содержащая особых точек потенциала $Q\left(z\right)$. Тогда в силу [3, лемма 1] регулярную циклическую матрицу $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ можно представить в виде

$\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )=\widehat{P}(\gamma ,z_0,z_{\epsilon })\widehat{C}(z_{\epsilon },z_s,\rho )\widehat{P}(\gamma ,z_{\epsilon },z_0).$

 Поскольку $z_s$ — особая точка потенциала $Q\left(z\right)$ однозначного характера, то значения потенциала $Q\left(z\right)$ в каждой точке кривой $\gamma$ до и после обхода точки $z_s$ будут совпадать, и, следовательно, $\widehat{P}(\gamma ,z_{\epsilon },z_0)={\widehat{P}}^{-1}(\gamma ,z_0,z_{\epsilon })$. Поэтому матрица $\widehat{C}(z_0,z_s,\rho )$ подобна матрице $\widehat{C}(z_{\epsilon },z_s,\rho )$. Но $\widehat{C}(z_{\epsilon },z_s,\rho )$ не зависит от положения точки $z_0$ и в силу теоремы 2.1 её элементы являются целыми функциями порядка не выше $1/2$ с неотрицательным индикатором (относительно порядка $1/2$), не превышающим $2\epsilon$ для любого $\epsilon >0$. Поскольку следы подобных матрицы совпадают (см. [14, п. 13.4.1]), то лемма доказана.

Для последующего нам понадобится следующая алгебраическая лемма.

Лемма 4.2. Пусть

$\begin{array}{llll}\widehat{A}& :=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right),& {\widehat{M}}_1& :=\widehat{A}{\widehat{B}}^{-1}:=\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}^{\left(1\right)}& m_{12}^{\left(1\right)}\\ m_{21}^{\left(1\right)}& m_{22}^{\left(1\right)}\end{array}\right),\\ \widehat{B}& :=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right),& {\widehat{M}}_2& :={\widehat{B}}^{-1}\widehat{A}:=\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}^{\left(2\right)}& m_{12}^{\left(2\right)}\\ m_{21}^{\left(2\right)}& m_{22}^{\left(2\right)}\end{array}\right),\end{array}$

$\det \widehat{A}=\det \widehat{B}=1$. Тогда

$\left\{\begin{array}{ll}{m}_{12}^{\left(1\right)}{m}_{12}^{\left(2\right)}& \equiv a_{12}^2+b_{12}^2-m_0{a}_{12}{b}_{12},\\ m_{21}^{\left(1\right)}{m}_{21}^{\left(2\right)}& \equiv a_{21}^2+b_{21}^2-m_0{a}_{21}{b}_{21},\\ 1-m_{11}^{\left(1\right)}{m}_{11}^{\left(2\right)}& \equiv a_{11}{a}_{22}+b_{11}{b}_{22}-m_0{a}_{11}{b}_{22},\end{array}\right.$ (4.1)

где $m_0$ — совпадающие между собой следы матриц ${\hat{M}}_1$ и ${\hat{M}}_2$.

Доказательство. По условию леммы ${\widehat{M}}_1=\widehat{A}{\widehat{M}}_2{\widehat{A}}^{-1}$, т.е. матрицы ${\hat{M}}_1$ и ${\hat{M}}_2$ подобны, что и обеспечивает совпадение их следов (см. [14, п. 13.4.1]). Тождества (4.1) проверяются непосредственно.

Пользуясь леммой 4.2, докажем формулу (1.3) для индикаторов элементов регулярной циклической матрицы. Рассмотрим точки $z_{01}$ и $z_{02}$, лежащие на одной прямой с особой точкой $z_s$ по разные стороны от нее. Пусть $z_{01}-z_s:=|z_{01}-z_s|\exp \left(i{\phi }_{s1}\right)$. Тогда в силу выбора взаимного расположения точек $z_{01}$, $z_{02}$ и $z_s$ имеем:

$z_{01}-z_{02}=\left(\right|z_{01}-z_s|+|z_{02}-z_s\left|\right)\exp \left(i{\phi }_{s1}\right),z_{02}-z_s:=|z_{02}-z_s|\exp (i{\phi }_{s1}+i\pi ).$ (4.2)

 В силу изолированности особой точки $z_s$ точки $z_{01}$ и $z_{02}$ можно выбрать так, чтобы отрезок $z_{01}{z}_{02}$ не содержал особых точек потенциала $Q$, отличных от точки $z_s$. В этом случае определены регулярные циклические матрицы ${\widehat{C}}^{\left(1\right)}:=\widehat{C}(z_{01},z_s,\rho )$ и ${\widehat{C}}^{\left(2\right)}:=\widehat{C}(z_{02},z_s,\rho )$ особой точки $z_s$ уравнения (1.1) относительно точек $z_{01}$ и $z_{02}$ соответственно. При этом в силу формулы (2.2)

$\begin{array}{ll}{\widehat{C}}^{\left(1\right)}& =\widehat{P}({\gamma }_C,z_{01},z_{02}){\widehat{P}}^{-1}({\gamma }_A,z_{01},z_{02}),\\ {\widehat{C}}^{\left(2\right)}& ={\widehat{P}}^{-1}({\gamma }_A,z_{01},z_{02})\widehat{P}({\gamma }_C,z_{01},z_{02}).\end{array}$ (4.3)

 При записи соотношений (4.3) (как и соотношений (2.2)) предполагается, что ломаные ${\gamma }_A$ и ${\gamma }_C$, соединяющие точки $z_{01}$ и $z_{02}$, выбраны так, что обход особой точки $z_s$ в соответствии с определением 1.2 происходит против часовой стрелки. Положим

${\widehat{P}}^{\left(A\right)}:=\widehat{P}({\gamma }_A,z_{01},z_{02}),{\widehat{P}}^{\left(C\right)}:=\widehat{P}({\gamma }_C,z_{01},z_{02})$

и применим к матрицам ${\widehat{C}}^{\left(1\right)}$ и ${\widehat{C}}^{\left(2\right)}$ первую формулу (4.1). В результате получим (верхние индексы у матриц и их элементов совпадают):

$c_{12}^{\left(1\right)}{c}_{12}^{\left(2\right)}\equiv {\left(p_{12}^{\left(A\right)}\right)}^2+{\left(p_{12}^{\left(C\right)}\right)}^2-c_0{p}_{12}^{\left(A\right)}{p}_{12}^{\left(C\right)}.$ (4.4)

 В силу леммы 4.1 заключаем, что $c_0$ является целой функцией $\rho$ порядка не выше $1/2$ и минимального типа (относительно порядка $1/2$). Иными словами, $c_0\left(\rho \right)$ либо не зависит от $\rho$, либо неограниченно возрастает при увеличении $\left|\rho \right|$ вдоль любого луча, кроме, возможно, одного (см. [15, гл. 1, § 14, теорема 21]). Учитывая также одинаковую асимптотику (3.1) для элементов матриц ${\widehat{P}}^{\left(A\right)}$ и ${\widehat{P}}^{\left(C\right)}$, получаем, что во всех случаях, кроме $c_0\left(\rho \right)\equiv 2$ индикатор роста правой, а значит и левой части соотношения (4.4) равен

$h({\phi }_{\rho },{\phi }_{s12})=2|z_{01}-z_{02}|\left|\cos \frac{{\phi }_{\rho }+{\phi }_{s12}}{2}\right|$ (4.5)

при всех значениях ${\phi }_{\rho }$, кроме, возможно, одного. Следовательно, в силу непрерывности индикатора любой целой функции (см. [15, гл. 1, § 16, свойство (а) индикатора]), если след $c_0\left(\rho \right)$ не равен тождественно 2, то соотношение (4.5) выполняется для всех значений ${\phi }_{\rho }$. Сопоставляя формулы (2.1), (4.2), (4.4) и (4.5), получаем, что последняя формула может выполняться тогда и только тогда, когда для $h_{12}$ выполняется (1.3). Рассуждая аналогично с помощью второй и третьей формул (4.1), получим, что формула (1.3) справедлива также для $h_{21}$, $h_{11}$ и, следовательно, в силу леммы 4.1, для $h_{22}$. Теорема 1.1 полностью доказана.

About the authors

A. A. Golubkov

Author for correspondence.
Email: andrej2501@yandex.ru
Russian Federation, Москва

References