Том 29, № 148 (2024)

В работе предлагается математическая модель на основе непрерывной динамической системы, формализующая взаимодействие популяций насекомого-вредителя тепличной агрокультуры и энтомофага. В рамках модели энтомофаг, согласно концепции комплексной борьбы с вредителями, выступает агентом экологического контроля популяции насекомого-вредителя. Проводится идентификация параметров модели на основе экспериментальных данных, полученных в лабораторных условиях для тепличной системы «огурец обыкновенный — паутинный клещ — клещ-акарифаг». Для предложенной модели формулируется задача импульсного управления, отвечающая реализации контроля популяции вредителя при помощи энтомофага, исследуются вопросы существования решений и их непрерывной зависимости от управления. На основе исследованной управляемой системы обсуждаются вопросы построения экономически эффективных управляющих стратегий, позволяющих реализовывать востребованное при проектировании «умных» теплиц математическое обеспечение программно-аппаратных средств автоматизированных систем контроля численности вредителей.

Рассматривается простейшая процедура экстраполяции, а именно, удвоение шага, для ускорения сходимости ньютоновских методов к особым решениям гладких нелинейных уравнений. Демонстрируется, что ускоряющий эффект этой процедуры для разных ньютоновских методов может быть разным. Для линейно-квадратичных уравнений приводятся теоретические результаты, дающие количественные оценки потенциального эффекта от экстраполяции для методов Ньютона, Левенберга–Марквардта, а также недавно предложенного ньютоновского метода с подзадачами линейного программирования, в определенном смысле объясняющие наблюдаемую разницу. Теоретически анализ основан на интерпретации этих методов как возмущенного метода Ньютона с соответствующими оценками на возмущения, а также на тонких результатах, количественно характеризующих шаг такого возмущенного метода и его локальную сходимость с линейной скоростью к особым решениям, в которых выполняется условие 2-регулярности по направлению из ядра первой производной. Также проводятся численные эксперименты для глобализаций указанных алгоритмов, снабженных выбором параметра длины шага, на двух тестовых наборах. Экспериментальные наблюдения подтверждают теоретические результаты, а также демонстрируют, что в случаях, когда уравнение содержит нелинейные и неквадратичные члены, эффект от экстраполяции выравнивается.

Рассматривается супердиффузионное уравнение с дробными производными Рисса по пространству с несколькими переменными запаздываниями. Производится дискретизация задачи. По времени конструируется аналог разностного метода Кранка–Николсон с кусочно-линейной интерполяцией для учета эффекта переменного запаздывания и с экстраполяцией продолжением для того, чтобы неявность метода стала конечномерной. По пространству конструируется аналог компактной схемы со специальной заменой дробных производных Рисса дробными центральными разностями. В результате метод сводится к решению на каждом шаге времени системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной главной матрицей. Изучается порядок малости относительно шагов дискретизации по времени $\Delta$ и пространству h невязки метода без интерполяции и с интерполяцией, он равен $O({\Delta }^2+h^4)$. Основной результат состоит в доказательстве того, что метод сходится с порядком $O({\Delta }^2+h^4)$ в энергетической и компактной норме послойного вектора погрешности. Приводятся результаты тестовых примеров для супердиффузионных уравнений с постоянным и переменным запаздываниями. Вычислимые порядки сходимости по каждому шагу дискретизации в примерах оказались близки к теоретически полученным порядкам сходимости по соответствующим шагам дискретизации.

В работе исследуется вопрос об условиях существования и единственности неподвижной точки отображения полного метрического пространства. Вначале обсуждаются понятия F-сжатия и $F^{*}$-сжатия в теории неподвижных точек. Эти понятия, разработанные соответственно Вардовским и Пири совместно с Кумамом, послужили катализатором значительных исследований в различных метрических пространствах. Затем предлагаются обобщения этих понятий — $\rho -F$-сжатие и $\rho -F^{*}$-сжатие, демонстрируется их эффективность в обеспечении существования и единственности неподвижных точек. Этот новый подход обеспечивает большую гибкость за счет использования функции $\rho$, которая регулирует сжатие, расширяя возможности примения F- и $F^{*}$-сжатий. Завершает статью пример отображения, являющегося $\rho -F$-сжатием и $\rho -F^{*}$-сжатием и имеющего единственную неподвижную точку. При этом это отображение не удовлетворяет условиям Вардовского и условиям Пири и Кумама.