Email this article 
ON THE EXISTENCE OF POLYNOMIALS f OF ODD DEGREE DEFINING A HYPERELLIPTIC FIELD WITH FUNDAMENTAL S-UNIT OF DEGREE 13 AND PERIODIC EXPANSION √f
- Authors: Platonov V.P1,2, Shteinikov Y.N1
-
Affiliations:
- Scientific Research Institute for System Analysis of the National Research Centre Kurchatov Institute
- Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 526, No 1 (2025)
- Pages: 30–35
- Section: MATHEMATICS
- URL: https://journals.rcsi.science/2686-9543/article/view/364246
- DOI: https://doi.org/10.7868/S3034504925060059
- ID: 364246
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
We proved that there are no polynomials f ∈ ℚ[x], deg f is odd, deg f ≥ 7, deg f ≠ 11,13, for which the corresponding hyperelliptic field ℚ(x)(√f) has a fundamental S-unit of degree 13 and for which the expansion of √f into a functional continued fraction is periodic. In the case deg f = 11,13, all polynomials f with the indicated properties are obtained. It is also proved that there exist at most finitely many pairwise nonequivalent polynomials f(x) ∈ ℚ[x] of degree 5 with such properties. Symbolic computations with Grobner bases play a significant role in proving the main results.
About the authors
V. P Platonov
Scientific Research Institute for System Analysis of the National Research Centre Kurchatov Institute; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
Email: platonov@mi-ras.ru
Academician of the RAS Moscow, Russia; Moscow, Russia
Yu. N Shteinikov
Scientific Research Institute for System Analysis of the National Research Centre Kurchatov Institute
Email: yuritsht@yandex.ru
Moscow, Russia
References
- Платонов В.П., Петрунин М.М. Группы S-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Труды МИАН. 2018. Т. 302. С. 354–376.
- Платонов В.П., Федоров Г.В. О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях // Математический сборник. 2018. Т. 209.№4. С. 54–94.
- Платонов В.П., Петрунин М.М. О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь √ f для кубических многочленов над полями алгебраических чисел // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 495.№1. С. 48–54.
- Платонов В.П., Жгун В.С., Петрунин М.М. О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь √ f для кубических многочленов f над полями алгебраических чисел, Матем. сб., 213:3 (2022), 139–170.
- Kubert D.S. Universal bounds on the torsion of elliptic curves // Proc. London Math. Soc. 1976. V. 33.№2. P. 193–237.
- Sutherland A. Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion // Mathematics of Computation. 2012. V. 81. №278. P. 1131–1147.
- Платонов В.П., Петрунин М.М. Новые результаты о проблеме периодичности непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей // Труды МИАН. 2023. № 320. С. 278–286.
- Платонов В.П., Петрунин М.М., Жгун В.С., Штейников Ю.Н., О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением √ f , Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613.
Supplementary files
