On an extremal problem for compactly supported positive definite functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This article considers an extremal problem for positive definite functions on ℝn with a fixed support and a fixed value at the origin (the class 𝔉 r (ℝn)). It is required to find the least upper bound of a special form functional over  𝔉 r (ℝn). This problem is a generalization of the Turán problem for functions with support in a ball. We have obtained a general solution to this problem for n≠2. As a consequence, new sharp inequalities are obtained for derivatives of entire functions of exponential spherical type. 

About the authors

A. D. Manov

Saint Petersburg University; Donetsk State University

Author for correspondence.
Email: manov.ad@ro.ru
Russian Federation, Saint Petersburg; Donetsk

References

  1. Sasvári Z. Multivariate Characteristic and Correlation Functions. Berlin, Boston: De Gruyter, 2013.
  2. Akopyan R., Efimov A. Boas–Kac roots of positive definite functions of several variables // Anal. Math. 2017. V. 43. N 3. P. 359–369.
  3. Siegel, C.L. Über Gitterpunkte in konvexen Körpern und damit zusammenhängendes Extremal problem // Acta Math. 1935. V. 65. P. 307–323.
  4. Boas R.P., Jr., Kac. M. Inequalities for Fourier transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. V. 12. N 1. P. 189–206.
  5. Горбачев Д.В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69. № 3. 346–352.
  6. Arestov A.A., Berdysheva E.E. The Turán problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. V. 8. N 3. P. 381–388.
  7. Kolountzakis M., Révész S.G. On a problem of Turán about positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. V. 131. P. 3423–3430.
  8. Révész S.G. Turán's extremal problem on locally compact abelian groups // Anal. Math. 2011. V. 37. N 1. P. 15–50.
  9. Ефимов А.В. Вариант задачи Турана для положительно-определенных функций нескольких переменных // Тр. ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17. № 3. С. 136–154.
  10. Манов А.Д. Об одной экстремальной задаче для положительно определённых функций // Чебышевский сб. 2021. Т. 22. № 5. 161–171.
  11. Szász O. Über harmonische Funktionen und L-Formen. // Math. Zeitschr. 1918. V. 1. P. 149–162.
  12. Rudin W. An extension theorem for positive-definite functions // Duke Math. J. 1970. V. 37. P. 49–53.
  13. Ефимов А.В. Аналог теоремы Рудина для непрерывных радиальных положительно определенных функций нескольких переменных // Тр. ИММ УрО РАН. 2012. Т. 18. № 4. С. 172–179.
  14. Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. V. 356. P. 4655–4685.
  15. Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе целых функций конечной степени // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. № 2. 243–256.
  16. Korevaar J. An inequality for entire functions of exponential type // Nieuw Arch. Wiskunde. 1949. V. 23. N 2. P. 55–62.
  17. Горбачев Д.В. Точные неравенства Бернштейна – Никольского для полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2021. Т. 22. № 5. С. 58–110.
  18. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // JAMA. 2020. V. 140. P. 161–185.
  19. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Некоторые экстремальные задачи для преобразования Фурье по собственным функциям оператора Штурма–Лиувилля // Чебышевский сб. 2017. Т. 18. № 2. C. 34–53

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».