GRADIENT FLOWS IN THE SHAPE OPTIMIZATION THEORY

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The identification problem of an inclusion is considered in the paper. The inclusion is unknown subdomain of a given physical region. The available information on the inclusion is governed by measurements on the boundary of this region. In particular, the single measurement problem of impedance electrotomography and other inverse problems are included in our approach. The shape identification problem can be solved by the minimization of an objective function taking into account the measurement data. The best choice of such objective function is the Kohn-Vogelius energy functional. The standard regularization of the Kohn-Vogelius functional include the perimeter and Willmore curvature functional evaluated for an admissible inclusion boundary. In the two-dimensional case, a nonlocal existence theorem of strong solutions is proved for the gradient flow dynamical system generated for such a regularization of the Kohn-Vogelius functional.

About the authors

P. I. Plotnikov

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: piplotnikov@mail.ru
Russian Federation, Novosibirsk

J. Sokolowski

Systems Research Institute of the Polish Academy of Sciences; Institut Elie Cartan, Laboratoire de Mathematiques, Universite de Lorraine; Department of Scientific Computing, Informatics Center, Federal University of Paraiba

Author for correspondence.
Email: Jan.Sokolowski@univ-lorraine.fr
Poland, Warszawa; France, Nancy; Brazil, Paraiba, Joao Pessoa

References

  1. Dall’ Acqua A., Pozzi P., Willmore-Helfrich A. L2 flows with natural boundary conditions // Communications in analysis and geometry. 2014. V. 221. № 4. P. 617–669.
  2. Afraites L., Dambrin M., Kateb D. Shape methods for the transmission problem with a single measurment // Numerical functional analysis and optimization. 2007. V. 28. № 5-6. P. 519–551.
  3. Ambrosio L., Buttazzo G. An optimal design problem with perimeter penalization // Calc. Var. Partial Differential Equations. 1993. V. 1. P. 55–69.
  4. Chou K.-S., Zhu X.-P. The curve shortening problem. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, FL, 2001.
  5. Delfour M., Zolesio J. Shapes and Geometries, SIAM, Philadelphia, 2001.
  6. Dziuk G., Kuwert E., Schatzle R. Evolution of elastic curves in : existence and computation // SIAM J. Math. Anal. 2002. V. 33. № 5. P. 1228–1245 (electronic).
  7. Eppler K., Harbrecht H. Shape optimization for 3D electrical impedance tomography. In R. Glowinski and J. Zolesio, editors, Free and Moving Boundaries: Analysis, Simulation and Control. Vol. 252 of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2007. P. 165–184.
  8. Kohn R., Vogelius M. Determining conductivity by boundary measurements // Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. 37. P. 289–298.
  9. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Москва, Наука, 1971.
  10. Le Elliptic H. equations with transmission and Wentzel boundary conditions and an application to steady water waves in the pesence of wind // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2018. V. 38. P. 3357–3385.
  11. Lin C.-C. L2-flow of elastic curves with clamped boundary conditions // J. Differ. Equ. 2012. V. 252. № 12. P. 6414–6428.
  12. Mantegazza C., Posetta M. The Lojasievicz-Simon inequality for the elastic flows, arXiv: 2007.16093v3 [math AP]. 18 Dec 2020.
  13. Meyers N. An Lp estimates for the gradients of solutions of second ordet elliptic divergence equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 1963. V. 17. P. 189–206.
  14. Mumford D., Shah J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variaional problems // Communications on Pure and AppliedMathematics. 1989. V. 42. P. 577–684.
  15. Mumford D. Elastica and Computer Vision. In Algebraic Geometry and its Applications (ed. C.L. Bajaj). Springer-Verlag, Berlin, 1993.
  16. Roche J., Sokolowski J. Numerical methods for shape identification problems. Control Cybern. 1996. V. 25. P. 867–894.
  17. Sokolowski J., Zolesio J. Introduction to Shape Optimization. Springer, Berlin, 1992.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 П.И. Плотников, Я. Соколовский

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».