ГРАДИЕНТНЫЕ ПОТОКИ В ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В работе рассматривается задача идентификации включения, содержащегося в некоторой физическиой области, по данным измерений на границе этой области. В частности, к этому классу задач относятся задача импедансной электротомографии и ряд других обратных задач. Задача идентификации формулируется как задача минимизации целевого функционала, который характеризует отклонение данной конфигурации от возможного решения задачи. Наилучшим выбором такого функционала является энергетический функционал Кона-Вогелиуса. В работе рассматривается стандартная регуляризация этого функционала, полученная добавлением к нему линейной комбинации периметра включения и функционала Уиллмора, контролирующего кривизну границы включения. В двумерном случае доказывается нелокальная теорема существования сильных решений для динамической системы порожденной градиентным потоком регуляризованного функционала Кона-Вогелиуса.

Об авторах

П. И. Плотников

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: piplotnikov@mail.ru
Россия, Новосибирск

Я. Соколовский

Systems Research Institute of the Polish Academy
of Sciences; Institut Elie Cartan, Laboratoire de Mathematiques, Universite de Lorraine; Department of Scientific Computing, Informatics Center, Federal University of Paraiba

Автор, ответственный за переписку.
Email: Jan.Sokolowski@univ-lorraine.fr
Poland, Warszawa; France, Nancy; Brazil, Paraiba, Joao Pessoa

Список литературы

  1. Dall’ Acqua A., Pozzi P., Willmore-Helfrich A. L2 flows with natural boundary conditions // Communications in analysis and geometry. 2014. V. 221. № 4. P. 617–669.
  2. Afraites L., Dambrin M., Kateb D. Shape methods for the transmission problem with a single measurment // Numerical functional analysis and optimization. 2007. V. 28. № 5-6. P. 519–551.
  3. Ambrosio L., Buttazzo G. An optimal design problem with perimeter penalization // Calc. Var. Partial Differential Equations. 1993. V. 1. P. 55–69.
  4. Chou K.-S., Zhu X.-P. The curve shortening problem. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, FL, 2001.
  5. Delfour M., Zolesio J. Shapes and Geometries, SIAM, Philadelphia, 2001.
  6. Dziuk G., Kuwert E., Schatzle R. Evolution of elastic curves in : existence and computation // SIAM J. Math. Anal. 2002. V. 33. № 5. P. 1228–1245 (electronic).
  7. Eppler K., Harbrecht H. Shape optimization for 3D electrical impedance tomography. In R. Glowinski and J. Zolesio, editors, Free and Moving Boundaries: Analysis, Simulation and Control. Vol. 252 of Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2007. P. 165–184.
  8. Kohn R., Vogelius M. Determining conductivity by boundary measurements // Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. 37. P. 289–298.
  9. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Москва, Наука, 1971.
  10. Le Elliptic H. equations with transmission and Wentzel boundary conditions and an application to steady water waves in the pesence of wind // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2018. V. 38. P. 3357–3385.
  11. Lin C.-C. L2-flow of elastic curves with clamped boundary conditions // J. Differ. Equ. 2012. V. 252. № 12. P. 6414–6428.
  12. Mantegazza C., Posetta M. The Lojasievicz-Simon inequality for the elastic flows, arXiv: 2007.16093v3 [math AP]. 18 Dec 2020.
  13. Meyers N. An Lp estimates for the gradients of solutions of second ordet elliptic divergence equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 1963. V. 17. P. 189–206.
  14. Mumford D., Shah J. Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variaional problems // Communications on Pure and AppliedMathematics. 1989. V. 42. P. 577–684.
  15. Mumford D. Elastica and Computer Vision. In Algebraic Geometry and its Applications (ed. C.L. Bajaj). Springer-Verlag, Berlin, 1993.
  16. Roche J., Sokolowski J. Numerical methods for shape identification problems. Control Cybern. 1996. V. 25. P. 867–894.
  17. Sokolowski J., Zolesio J. Introduction to Shape Optimization. Springer, Berlin, 1992.

© П.И. Плотников, Я. Соколовский, 2023

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах