Geometry of Orbits of Vector Fields and Singular Foliations

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The subject of this paper is the geometry of orbits of a family of smooth vector fields defined on a smooth manifold and singular foliations generated by the orbits. As is well known, the geometry of orbits of vector fields is one of the main subjects of investigation in geometry and control theory. Here we propose some author’s results on this problem. Throughout this paper, the smoothness means C∞-smoothness.

About the authors

A Ya Narmanov

National University of Uzbekistan named after M. Ulugbek

Email: narmanov@yandex.ru
Tashkent, Uzbekistan

References

  1. Азамов А. А., Нарманов А. Я. О предельных множествах орбит систем векторных полей// Дифф. уравн. - 2004. - 40, № 2. - С. 257-260.
  2. Берестовский В. Н., Никоноров Ю. Г. Киллинговы векторные поля постоянной длины на римановых многообразиях// Сиб. мат. ж. - 2008. - 49, № 3. - С. 497-514.
  3. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. - М.: Наука, 1981.
  4. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления// В сб.: «Математические методы в теории систем». - М.: Мир, 1979. - С. 134-173.
  5. Нарманов А. Я. О структуре множества управляемости непрерывно уравновешенных систем управления// Вестн. Ленинград. ун-та. - 1981. - 13.- С. 50-55.
  6. Нарманов А. Я. О трансверсальной структуре множества управляемости симметричных систем управления// Дифф. уравн. - 1996. - 32, № 6. - С. 780-783.
  7. Нарманов А. Я. О зависимости множества управляемости от целевой точки// Дифф. уравн. - 1997. - 33, № 10. - С. 1334-1338.
  8. Нарманов А. Я. О геометрии вполне геодезических римановых слоений// Изв. вузов. Сер. Мат. - 1999. - № 9. - С. 26-31.
  9. Нарманов А. Я., Косимов О. О геометрии римановых слоений сфер малых размерностей// Докл. АН Респ. Узбекистан. - 2013. - № 2. - С. 96-105.
  10. Нарманов А. Я., Саитова С. О геометрии орбит векторных полей Киллинга// Дифф. уравн. - 2014. - 50, № 12. - С. 1582-1589.
  11. Нарманов А. Я., Саитова С. О геометрии множества достижимости векторных полей// Дифф. уравн. - 2017. - 53, № 3. - С. 321-326.
  12. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией// Уч. зап. МПИ им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. наук. - 1938. - № 2. - С. 83-94.
  13. Agrachev A. A., Sachkov Y. Control theory from the geometric viewpoint. - Berlin: Springer, 2004.
  14. Brockett R. W. Lie algebras and Lie groups in control theory// В сб.: «Geometric Methods in System Theory». - Dordrecht: Springer, 1973. - С. 43-82.
  15. Cairns G. A general description of totally geodesic foliations// Tohoku Math. J. - 1986. - 38. - С. 37-55.
  16. Chow W. L. Uber systeme von linearen partiellen differential-gleinchangen ester ordmung// Math. Ann. - 1939. - 117. - С. 98-105.
  17. Hermann R. On the accessibility problem in control theory// В сб.: «International symposium on nonlinear differential equations and nonlinear mechanics». - N. Y.: Acad. Press, 1963. - С. 325-332.
  18. Jurdjevic V. Geometric control theory. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008.
  19. Levitt N., Sussmann H. On controllability by means of two vector fields// SIAM J. Control. - 1975. - 13, № 6. - С. 1271-1281.
  20. Lobry C. Controllability of nonlinear control dynamical systems// Control Theory Topol. Funct. Anal. - 1976. - 1. - С. 361-383.
  21. Molino P. Riemaninan foliations. - Boston-Basel: Birkhauser, 1988.
  22. Morgan A. Holonomy and metric properties of foliations in higher codimension// Proc. Am. Math. Soc. - 1960. - 11. - С. 236-242.
  23. Nagano T. Linear differential systems with singularities and application to transitive Lie algebras// J. Math. Soc. Japan. - 1968. - 18. - С. 338-404.
  24. Nishimori T. Behavior of leaves of codimension one foliations// Tohoku Math. J. - 1977. - 29. - С. 255- 273.
  25. Reinhart B. Foliated manifolds with bundle-like metrics// Ann. Math. - 1959. - 69, № 1. - С. 119-132.
  26. Sacksteder R. Foliations and pseudogroups// Am. J. Math. - 1965. - 87. - С. 79-102.
  27. Stefan P. Accessible sets, orbits, and foliations with singularities// Proc. Lond. Math. Soc. - 1974. - 29. - С. 694-713.
  28. Sussmann H. Orbits of family of vector fields and integrability of distribution// Trans. Am. Math. Soc. - 1973. - 180. - С. 171-188.
  29. Sussmann H. Orbits of family of vector fields and integrability of systems with singularities// Bull. Am. Math. Soc. - 1973. - 79. - С. 197-199.
  30. Sussmann H., Jurdjevich V. Controllability of nonlinear systems// J. Differ. Equ. - 1972. - 12.- С. 95- 116.
  31. Tondeur Ph. Foliations on Riemannian manifolds. - N. Y.: Springer, 1988.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».