Exponential stability of the flow for a generalized Burgers equation on a circle

Capa

Citar

Texto integral

Resumo

The paper deals with the problem of stability for the flow of the 1D Burgers equation on a circle. Using some ideas from the theory of positivity preserving semigroups, we establish the strong contraction in the \(L^1\) norm. As a consequence, it is proved that the equation with a bounded external force possesses a unique bounded solution on \(R\), which is exponentially stable in \(H^1\) as \(t\to+\infty\). In the case of a random external force, we show that the difference between two trajectories goes to zero with probability \(1\).

Sobre autores

A. Djurdjevac

Freie Universitat Berlin

Autor responsável pela correspondência
Email: adjurdjevac@zedat.fu-berlin.de
Berlin, Germany

A. Shirikyan

CY Cergy Paris University; RUDN University

Email: Armen.Shirikyan@cyu.fr
Cergy-Pontoise, France; Moscow, Russia

Bibliografia

  1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: Наука, 1975.
  2. Kружков С. Н. О задаче Коши для некоторых классов квазилинейных параболических уравнений// Мат. заметки. - 1969. - 6, № 3. - С. 295-300.
  3. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. - М.: Наука, 1985.
  4. Крылов Н. В., Сафонов М. В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1980. - 44, № 1. - С. 161-175.
  5. Ландис E. M. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. - М.: Наука, 1971.
  6. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.: Мир, 1972.
  7. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. Т. 1. - М.: Мир, 1971.
  8. Bakhtin Y., Li L. Thermodynamic limit for directed polymers and stationary solutions of the Burgers equation// Commun. Pure Appl. Math. - 2019. - 72, № 3. - С. 536-619.
  9. Boritchev A. Sharp estimates for turbulence in white-forced generalised Burgers equation// Geom. Funct. Anal. - 2013. - 23, № 6. - С. 1730-1771.
  10. Chung J., Kwon O. Asymptotic behavior for the viscous Burgers equation with a stationary source// J. Math. Phys. - 2016. - 57, № 10. - 101506.
  11. Dunlap A., Graham C., Ryzhik L. Stationary solutions to the stochastic Burgers equation on the line// Commun. Math. Phys. - 2021. - 382, № 2. - С. 875-949.
  12. Djurdjevac A., Rosati T. Synchronisation for scalar conservation laws via Dirichlet boundary// ArXiv. - 2022. - 2211.05814.
  13. Djurdjevac A., Shirikyan A. Stabilisation of a viscous conservation law by a one-dimensional external force// ArXiv. - 2022. - 2204.03427.
  14. Evans L. C. Partial differential equations. - Providence: Am. Math. Soc., 2010.
  15. Hill A. T., Su¨li E. Dynamics of a nonlinear convection-diffusion equation in multidimensional bounded domains// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1995. - 125, № 2. - С. 439-448.
  16. H¨ormander L. Lectures on nonlinear hyperbolic differential equations. - Berlin: Springer, 1997.
  17. Jauslin H. R., Kreiss H. O., Moser J. On the forced Burgers equation with periodic boundary conditions// В сб.: «Differential equations: La Pietra 1996». - Providence: Am. Math. Soc., 1999. - С. 133-153.
  18. Kalita P., Zgliczyn´ski P. On non-autonomously forced Burgers equation with periodic and Dirichlet boundary conditions// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 2020. - 150, № 4. - С. 2025-2054.
  19. Kifer Y. The Burgers equation with a random force and a general model for directed polymers in random environments// Probab. Theory Related Fields. - 1997. - 108, № 1. - С. 29-65.
  20. Shirikyan A. Global exponential stabilisation for the Burgers equation with localised control// J. E´ c. Polytech. Math. - 2017. - 4. - С. 613-632.
  21. Sina˘ı Ya. G. Two results concerning asymptotic behavior of solutions of the Burgers equation with force// J. Stat. Phys. - 1991. - 64, № 1-2. - С. 1-12.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».