Том 25, № 2 (2023)

Данная работа посвящена построению энергетической функции — гладкой функции Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепнорекуррентным множеством динамической системы — для каскада, который является прямым произведением двух систем. Один из сомножителей представляет собой структурно устойчивый диффеоморфизм на двумерном торе, неблуждающее множество которого состоит из нульмерного нетривиального базисного множества без пар сопряженных точек и неподвижных источника и стока, а второй является тождественным отображением на вещественной прямой. Ранее было доказано, что если неблуждающее множество динамической системы содержит нульмерное базисное множество, как у рассматриваемого диффеоморфизма, то такая система не обладает энергетической функцией, а именно любая функция Ляпунова будет иметь критические точки вне цепно-рекуррентного множества. Для тождественного отображения энергетическая функция является константой на всей вещественной прямой. В данной работе показано, что отсутствие энергетической функции для одного из сомножителей не является достаточным условием отсутствия такой функции у прямого произведения динамических систем, то есть в некоторых случаях удается подобрать второй каскад таким образом, что прямое произведение будет обладать энергетической функцией.

Цель исследования — выделить класс каскадов (диффеоморфизмов) Морса-Смейла с трехмерным фазовым пространством, допускающих топологическую классификацию при помощи комбинаторных инвариантов. В общем случае препятствием к такой классификации является возможность дикого вложения замыканий сепаратрис в объемлющее многообразие, приводящая к счетному множеству топологически неэквивалентных систем уже в классе каскадов Морса-Смейла, имеющих всего одну седловую неподвижную точку. Для решения поставленной проблемы несущее многообразие диффеоморфизма представляется в виде объединения трех попарно непересекающихся множеств: связных аттрактора и репеллера, размерность которых не превышает единицы, и дополнения к ним, состоящего из блуждающих точек диффеоморфизма, названного характеристическим множеством. Известно, что топология пространства орбит ограничения диффеоморфизма Морса-Смейла на характеристическое множество и вложения в него проекций двумерных сепаратрис является полным топологическим инвариантом для диффеоморфизмов Морса-Смейла на трехмерных многообразиях. Кроме того, ранее описаны свойства пространства орбит, необходимые и достаточные для включения диффеоморфизма Морса-Смейла в топологический поток. Эти результаты используются в настоящей работе, чтобы показать, что классы топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла, включающихся в топологический поток и не имеющих гетероклинических кривых, допускают комбинаторное описание. Более точно, в работе рассмотрен класс диффеоморфизмов Морса-Смейла без гетероклинических пересечений, заданных на замкнутых трехмерных многообразиях, включающихся в топологические потоки и не имеющие гетероклинических кривых. Каждому диффеоморфизму из этого класса поставлен в соответствие двухцветный граф, описывающий взаимное расположение двумерных сепаратрис седловых периодических точек. Доказано, что существование изоморфизма двухцветных графов, сохраняющего цвет ребер, является необходимым и достаточным условием топологической сопряженности каскадов. Показано, что скорость алгоритма, различающего двухцветные графы, полиномиально зависит от числа его вершин. Описан алгоритм построения представителя каждого класса топологической сопряженности.

В статье рассматривается класс G(Mⁿ) градиентно-подобных потоков на связных замкнутых многообразиях размерности n ≥ 4, такой что для любого потока f^t ∈ G(Mⁿ) устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия размерности (n-1) не пересекаются с инвариантными многообразиями других седловых состояний равновесия. Известно, что несущее многообразие любого потока f^t из класса G(Mⁿ) раскладывается в связную сумму сферы Sⁿ , g_f^t  ≥ 0 копий прямых произведений S^n-1 x S¹ и односвязного многообразия, отличного от сферы. Число g_f^t определяется только числом узловых состояний равновесия и числом седловых состояний равновесия, одно из инвариантных многообразий которых имеет размерность (n-1) (такие состояния равновесия будем называть тривиальными седлами), а односвязное многообразие, отличное от сферы, присутствует в связной сумме тогда и только тогда, когда множество седловых состояний равновесия содержит точки, размерность неустойчивого многообразия которых принадлежит множеству {2,...,n-2} (такие состояния равновесия будем называть нетривиальными седлами). Более того, для потоков из класса G(Mⁿ) без нетривиальных седел имеется полная топологическая классификация. В настоящей работе доказывается, что для любого потока f^t ∈ G(Mⁿ) разбиение несущего многообразия на связную сумму можно осуществить по попарно непересекающимся гладко вложенным сферам (разбивающим сферам), не содержащим состояний равновесия потока f^t и трансверсально пересекающим его траектории. Ограничение потока f^t на дополнения до этих сфер однозначно (с точностью до топологической эквивалентности и нумерации) определяет конечный набор потоков f^t₁,...,f^t_l, заданных на компонентах связной суммы. Более того, для любого j ∈ {1,...,l}, множество седловых состояний равновесия потока f^t_j либо состоит только из тривиальных седел, либо только из нетривиальных, и тогда поток f^t_j является полярным. Мы вводим понятие согласованной топологической эквивалентности для потоков f^t₁,...,f^t_l и показываем, что потоки f^t , f'^t∈ G(Mⁿ) топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда для каждого из этих потоков существуют наборы разбивающих сфер, определяющих согласованно топологически эквивалентные потоки на компонентах связной суммы.