О глобальных экстремумах степенных функций Такаги

Степенные функции Такаги S_p по конструкции аналогичны непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции Такаги, описанной в 1903 г. Функции S_p имеют один вещественный параметр p>0 и задаются на числовой прямой с помощью ряда S_p(x)=∑^∞_n=0 (S₀(2ⁿx)/2ⁿ)^p, где S₀(x) — расстояние между точкой x ∈ R и ближайшей к ней целой точкой. Мы показываем, что при любом p>0 функции S_p на R являются всюду непрерывными, но нигде не дифференцируемыми. Далее для степенных функций Такаги мы выводим функциональные уравнения. С их помощью можно, в частности, вычислять значения S_p(x) в рациональных точках x. Кроме того, при всех значениях параметра p из интервала (0; 1) мы находим глобальные экстремумы функций S_p, а также точки, где они достигаются. При этом оказывается, что глобальный максимум функций S_p равен 2^p/(3^p(2^p-1)) и достигается только в точках вида (q+1/3) и (q+2/3), где q — произвольное целое число. Глобальный минимум функций S_p равен 0 и достигается только в целых точках. Используя результаты о глобальных экстремумах, мы получаем двусторонние оценки для функций S_p и находим точки, в которых эти оценки достигаются.