О сведении проблемы топологической классификации градиентно-подобных потоков к классификации полярных потоков

В статье рассматривается класс G(Mⁿ) градиентно-подобных потоков на связных замкнутых многообразиях размерности n ≥ 4, такой что для любого потока f^t ∈ G(Mⁿ) устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия размерности (n-1) не пересекаются с инвариантными многообразиями других седловых состояний равновесия. Известно, что несущее многообразие любого потока f^t из класса G(Mⁿ) раскладывается в связную сумму сферы Sⁿ , g_f^t  ≥ 0 копий прямых произведений S^n-1 x S¹ и односвязного многообразия, отличного от сферы. Число g_f^t определяется только числом узловых состояний равновесия и числом седловых состояний равновесия, одно из инвариантных многообразий которых имеет размерность (n-1) (такие состояния равновесия будем называть тривиальными седлами), а односвязное многообразие, отличное от сферы, присутствует в связной сумме тогда и только тогда, когда множество седловых состояний равновесия содержит точки, размерность неустойчивого многообразия которых принадлежит множеству {2,...,n-2} (такие состояния равновесия будем называть нетривиальными седлами). Более того, для потоков из класса G(Mⁿ) без нетривиальных седел имеется полная топологическая классификация. В настоящей работе доказывается, что для любого потока f^t ∈ G(Mⁿ) разбиение несущего многообразия на связную сумму можно осуществить по попарно непересекающимся гладко вложенным сферам (разбивающим сферам), не содержащим состояний равновесия потока f^t и трансверсально пересекающим его траектории. Ограничение потока f^t на дополнения до этих сфер однозначно (с точностью до топологической эквивалентности и нумерации) определяет конечный набор потоков f^t₁,...,f^t_l, заданных на компонентах связной суммы. Более того, для любого j ∈ {1,...,l}, множество седловых состояний равновесия потока f^t_j либо состоит только из тривиальных седел, либо только из нетривиальных, и тогда поток f^t_j является полярным. Мы вводим понятие согласованной топологической эквивалентности для потоков f^t₁,...,f^t_l и показываем, что потоки f^t , f'^t∈ G(Mⁿ) топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда для каждого из этих потоков существуют наборы разбивающих сфер, определяющих согласованно топологически эквивалентные потоки на компонентах связной суммы.