Об энергетической функции для прямого произведения дискретных динамических систем

Данная работа посвящена построению энергетической функции — гладкой функции Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепнорекуррентным множеством динамической системы — для каскада, который является прямым произведением двух систем. Один из сомножителей представляет собой структурно устойчивый диффеоморфизм на двумерном торе, неблуждающее множество которого состоит из нульмерного нетривиального базисного множества без пар сопряженных точек и неподвижных источника и стока, а второй является тождественным отображением на вещественной прямой. Ранее было доказано, что если неблуждающее множество динамической системы содержит нульмерное базисное множество, как у рассматриваемого диффеоморфизма, то такая система не обладает энергетической функцией, а именно любая функция Ляпунова будет иметь критические точки вне цепно-рекуррентного множества. Для тождественного отображения энергетическая функция является константой на всей вещественной прямой. В данной работе показано, что отсутствие энергетической функции для одного из сомножителей не является достаточным условием отсутствия такой функции у прямого произведения динамических систем, то есть в некоторых случаях удается подобрать второй каскад таким образом, что прямое произведение будет обладать энергетической функцией.