О подобии над кольцом целых чисел верхних треугольных нильпотентных матриц $4$-го и $5$-го порядков обобщённой жордановой клетке

В работе ставится вопрос о том, при каких условиях верхняя треугольная нильпотентная матрица подобна над кольцом целых чисел обобщённой жордановой клетке, т.,е. матрице, в которой ненулевыми являются элементы только первой наддиагонали. Получены необходимые и достаточные условия подобия обобщённой жордановой клетке для следующих классов матриц: для матриц четвёртого порядка ранга $3$ с ненулевыми элементами первой наддиагонали; для матриц пятого порядка ранга $4$ и некоторыми дополнительными ограничениями на элементы первой наддиагонали. Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Доказано, что если в матрице первый и последний элементы первой наддиагонали взаимно просты, а произведение остальных элементов этой наддиагонали равно $1$, то эта матрица подобна обобщённой жордановой клетке. Для получения критерия подобия используется следующий факт: если две нильпотентные верхние треугольные матрицы порядка $n$ и ранга $n - 1$ подобны над кольцом целых чисел, то среди трансформирующих матриц существует треугольная матрица. Этот факт сводит задачу распознавания подобия к решению в целых числах системы линейных уравнений. Основным инструментом для получения результатов в статье является критерий совместности в целых числах системы линейных уравнений.