Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки

Актуальность и цели. Рассматриваются гиперсингулярные интегральные уравнения на отрезке, возникающие во многих задачах математической физики. Материалы и методы. Гиперсингулярные уравнения изучаются в специальных классах функций, которые представляются рядами Фурье по многочленам Чебышева 2-го рода. Результаты и выводы. Доказываются критерии компактности операторов в специальных классах функций. Основным результатом является доказательство фредгольмовости гиперсингулярного оператора в специальных классах функций, которое важно при формулировке и реализации численного метода решения гиперсингулярных уравнений.

Актуальность и цели. В теории линейных дифференциальных уравнений существенную роль играют преобразования, порожденные дифференциальными заменами зависимых переменных. Исследование этих преобразований привело к со- зданию общей теории дифференциальных алгебр симметрии однородных линейных систем дифференциальных уравнений и к теории дифференциальных гомоморфизмов. Эти теории оказались тесно связанными с понятием теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов (ЛДО). К настоящему времени доказано несколько теорем о нулях ЛДО, но этих теорем недостаточно для исследования алгебр дифференциальной симметрии и соотношений между разными типами линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Формулировка и доказательство новых теорем о нулях ЛДО является актуальной задачей. Основная цель работы – формулировка и доказательство варианта формальной теоремы о нулях ЛДО. Другая важная цель – построение примеров применения теоремы, которые подтверждают ее полезность и основательность. Материалы и методы. Приведены общие сведения о работах, в которых представлены теоремы о нулях ЛДО. Поясняется смысл формальных теорем о нулях и роль, которую такие частные теоремы могут играть в общей теории. Представлены основные обозначения и понятия, приведено определение теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов для семейства модулей над кольцом скалярных линейных дифференциальных операторов. Описаны элементы теории псевдообратных матриц и операторов, которые используются при доказательстве основной теоремы работы. Результаты. Формулируется и доказывается вариант формальной теоремы о нулях. Приведены примеры семейств линейных дифференциальных операторов, для которых выполняются условия теоремы 1 (теоремы 2, 3, 4). Описан метод построения локальных сечений в общей задаче псевдообращения; в новой ситуации применена псевдообратная матрица; использован специальный базис, в котором координаты ЛДО совпадают с его коэффициентами; введено полезное понятие матрицы главных символов ЛДО по столбцам. Выводы. Результаты работы могут служить основой доказательства справедливости формальной теоремы о нулях для множества конкретных линейных дифференциальных операторов и семейств операторов.

Актуальность и цели. Краевые задачи сопряжения для уравнений Максвелла находят широкое применение в различных областях электродинамики благодаря своей способности моделировать сложные физические ситуации, связанные с взаимодействием электромагнитных волн с границами и тонкими слоями материалов. Задачей данной работы является вывод и анализ системы интегральных уравнений для задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом шаре, покрытом графеном, и доказательство существования и единственности решения краевой задачи. Материалы и методы. С помощью комбинации формул Стрэттона-Чу получена система векторных интегральных уравнений по поверхности шара. Результаты. Получена система скалярных сингулярных интегральных уравнений для поиска четырех неизвестных функций. Доказана теорема о существовании и единственности решения системы уравнений, а также существование и единственность решения краевой задачи дифракции. Вывод. Выполнено исследование задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом шаре, покрытом графеном, получена система уравнений для численного решения.

Актуальность и цели. Целью работы является разработка численного алгоритма приближенного восстановления порядка производной в одном уравнении в частных производных дробного порядка, известном как обобщенное волновое уравнение. Актуальность работы обусловлена как значительной практической потребностью в совершенствовании математического аппарата решения обратных и некорректных задач, так и возрастающим числом приложений уравнений в частных производных дробного порядка к математическому моделированию в различных областях физики и техники. Материалы и методы. Для решения поставленной задачи применяется подход, основанный на сведении ее к интегральному уравнению, нелинейному относительно искомого параметра, и решению этого уравнения при помощи непрерывного операторного метода решения нелинейных уравнений в банаховых пространствах. Результаты. Применение непрерывного операторного метода позволило построить численный алгоритм восстановления порядка дробной производной в обобщенном волновом уравнении в дополнительном предположении о знании значения решения уравнения в одной произвольной точке. Выводы. Описанный подход является достаточно эффективным при решении обратных задач для уравнений в частных производных дробного порядка. Представляет значительный интерес распространение этого подхода на более широкие классы обратных и некорректных задач для уравнений с дробными производными.

Актуальность и цели. Рассматриваются особенности определения пара- метров кубической кристаллической решетки клатратных гидратов. Многие свойства клатратных гидратов аналогичны гексагональному льду, тем не менее взаимодействие поглощенных молекул с льдоподобной кристаллической решеткой имеет особенности. Материалы и методы. Основным методом, который используется в работе, является получение параметров функциональной зависимости методом наименьших квадратов. Полиноминальный подход к единому описанию предлагается ввиду сложной при- роды движения гостевых молекул с их многочисленными степенями свободы, различных степеней связи этого движения с решеткой хозяина. Результаты. Предложено использование полученного соотношения в зависимости от температуры системы и типа гидратообразователя. Средние расхождения согласно предложенному методу для гидратообразователей в температурных диапазонах от 10 до 280 К составляют 0,04 % и не превышают 0,09 %. Выводы. Развитый подход позволяет получать более точные результаты в широком диапазоне условий.

Актуальность и цели. В настоящее время значительный интерес представляют способы бесконтактного управления диэлектрическими свойствами полупроводниковых наноструктур и окружающей их матрицы. Оптическая модуляция диэлектрической проницаемости в сочетании с управляемыми туннельными процесса- ми дают возможность направленного изменения свойств низкоразмерных структур и, как следствие, оптимизации характеристик приборов полупроводниковой наноэлектроники. В этой связи полупроводниковые квантовые точки, туннельно-связанные с окружающей матрицей, представляют интерес, так как в таких структурах возможно образование примесных комплексов A⁺ + e, фотовозбуждение которых может приводить к фотодиэлектрическому эффекту (ФДЭ). Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния туннельной прозрачности потенциального барьера на ФДЭ, связанный с возбуждением примесных комплексов A⁺ + e в квазинульмерных структурах во внешнем магнитном поле. Материалы и методы. Относительное изменение диэлектрической проницаемости (ОИДП) рассчитано в дипольном приближении. Кривые полевой зависимости ОИДП построены для InSb квантовой точки. Численные расчеты и построение графиков проводились с помощью систем численной математики Mathcad 14.0 и Wolfram Mathematica 10.2. Результаты. В дипольном приближении исследована зависимость ОИДП в квазинульмерной полупроводнико- вой наноструктуре от величины индукции внешнего магнитного поля и параметров 1D-диссипативного туннелирования. Выявлен дихроизм ФДЭ, связанный с наличием внешнего магнитного поля. Показано, что внешнее магнитное поле подавляет ФДЭ, что связано с усилением локализации электронной волновой функции в магнитном поле, а также с модификацией электронного адиабатического потенциала. Показано, что величина ОИДП зависит от параметров диссипативного 1D-туннелирования. Выводы. В магнитном поле возможно эффективное управление ФДЭ за счет модификации электронного адиабатического потенциала и электронной волновой функции путем варьирования параметров диссипативного туннелирования.