Finite-difference method for solving the first boundary value problem for a non-stationary loaded moisture transfer equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Background. One of the important sections of the theory of differential equations is loaded equations. They allow us to model processes in which the influence of external factors significantly changes the behavior of the system. This is especially important in fields such as mechanics, hydrology, and materials science. The study of loaded equations contributes to the creation of more accurate models that are used to analyze the stability and reliability of structures, as well as to predict various phenomena in natural and engineering systems. New difference schemes of an increased order of accuracy are constructed for an approximate solution of the first boundary value problem for an unsteady loaded moisture transfer equation in one-dimensional and multidimensional regions. Loaded integral equations allow for a deeper understanding of the distribution of loads and the interaction of elements in complex systems. The equations studied in this paper play a significant role in solving urgent problems of ecology, agriculture, construction and climatology. Accurate modeling of moisture transfer processes makes it possible to effectively manage water resources, predict groundwater levels, optimize irrigation, ensure the stability of building structures, and predict the effects of climate change. In addition, the development of such models contributes to progress in hydrology and related sciences. Materials and methods. For an approximate solution of the tasks set, the finite difference method and the energy inequality method are used to obtain a priori estimates of the solutions of the proposed difference schemes. Results. A high-order approximation difference scheme is constructed for each problem. An a priori estimate is obtained by the method of energy inequalities for solving each difference problem. The obtained estimates imply the uniqueness and stability of the solution on the right side and the initial data, as well as the convergence of the solution of the difference problem to the solution of the corresponding initial differential problem with a speed equal to the order of approximation of the difference scheme. Conclusions. New high-order difference schemes of approximation have been developed for the approximate solution of the tasks set.

About the authors

Murat Kh. Beshtokov

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS

Author for correspondence.
Email: beshtokov-murat@yandex.ru

Leading researcher

(89a Shortanova street, Nalchik, Russia)

References

  1. Knezer A. Belastete integralgleichungen. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 1914;37:169‒197.
  2. Kneser A. Die Integralgleichungen und ihre Anwendung in der matem. Phusik, 1922:248.
  3. Lichtenstein L. Vorlesungen`ber einege Klassen nichtlinear Integralgleichungen und Integraldifferentialgleihungen nebst Anwendungen. Berlin: Springer, 1931:164.
  4. Gunther N. Sur le probleme des Belastete Integralgleichungen. Studia math. 1933;(IV):8‒14.
  5. Nazarov H.H. On a new class of linear integral equations. Trudy instituta matematiki i mekhaniki AN UzSSR = Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics of the Academy of Sciences of the Uzbek SSR. 1948;4:77‒106. (In Russ.)
  6. Gabib-zade A.Sh. Study of the solution of one class of linear loaded integral equations. Trudy Instituta fiziki i matematiki AN AzSSR, Seriya: matematika = Proceedings of the Institute of Physics and Mathematics of the Academy of Sciences of the Azerbaijan SSR, Series: Mathematics. 1959;8:177‒182. (In Russ.)
  7. Smirnov M.M. Vyrozhdayushchiesya giperbolicheskie uravneniya = Degenerate hyperbolic equations. Minsk: Vysshaya shkola, 1977:157.
  8. Budak B.M., Iskenderov A.D. On a class of boundary value problems with unknown coefficients. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1967;175(1):13‒16. (In Russ.)
  9. Nakhushev A.M. Loaded equations and their applications. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1983;19(1):86‒94. (In Russ.)
  10. Nakhushev A.M. Nagruzhennye uravneniya i ikh primenenie = Loaded equations and their applications. Moscow: Nauka, 2012:231. (In Russ.)
  11. Nakhushev A.M., Borisov V.N. Boundary value problems for loaded parabolic equations and their applications to groundwater level prediction. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1977;13(1):105‒110. (In Russ.)
  12. Borodin A.B. Differentiability with respect to the parameter of solutions of nonlinear loaded boundary value problems for second-order partial differential equations. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1979;15(1):18‒26. (In Russ.)
  13. Kaziev V.M. Tricoti problem for loaded Lavrentiev-Bitsadze equation. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 1979;15:173–175. (In Russ.)
  14. Dzhenaliev M.T. K teorii lineynykh kraevykh zadach dlya nagruzhennykh differentsial'nykh uravneniy = On the theory of linear boundary value problems for loaded differential equations. Almaty, 1995:270. (In Russ.)
  15. Krall A.M. The development of general differential and general differential boundary systems. Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1975;5(4):493‒542.
  16. Nakhushev A.M. Nonlocal and Goursat problems for loaded hyperbolic equations and their applications to soil moisture forecasting. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1978;242(5):1008‒1011. (In Russ.)
  17. Kardanov R.G., Nakhushev A.M. On some methods of identifying a mathematical model of the dynamics of groundwater and soil moisture. SAPR i ASPR v melioratsii: sb. nauch. trudov = SAPR and ASPR in land reclamation: collected papers. Nal'chik, 1983:3‒20. (In Russ.)
  18. Ayda-zade K.R., Abdullaev V.M. On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations with non-separated multipoint and integral conditions. Sibirskiy zhurnal vychislitel'noy matematiki = Siberian journal of computational mathematics. 2014;17(1):1‒16. (In Russ.)
  19. Abdullaev V.M. Solution of differential equations with non-separated multi-point and integral conditions. Sibirskiy zhurnal vychislitel'noy matematiki = Siberian journal of computational mathematics. 2012;15(3):3‒15. (In Russ.)
  20. Ayda-zade K.R., Abdullaev V.M. Numerical method for solving loaded nonlocal boundary value problems for ordinary differential equations. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 2014;54(7):1096‒1109. (In Russ.)
  21. Beshtokov M.Kh. Differential and diverse boundary problems for the loaded pseudoparabolic equation of the third phase and different methods for their numerical implementation. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 2017;57(12):2021‒2041. (In Russ.)
  22. Beshtokov M.Kh. Regional tasks for loading modified level of moisture-permeable fractional time-lapse with operator Besselya and different methods of their solution. Vestnik Udmurtskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye nauki = Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer sciences. 2020;30(2):158–175. (In Russ.)
  23. Beshtokov M.Kh., Khudalov M.Z. Difference Methods for Solving Local and Nonlocal Boundary Value Problems for a Loaded Fractional Order Heat Equation. Stability, Control and Differential Games: Lecture Notes in Control and Information Sciences ‒ Proceedings. Ed. by A. Tarasyev, V. Maksimov, T. Filippova. Cham: Springer, 2020:187‒201.
  24. Samarskiy A.A. Teoriya raznostnykh skhem = Theory of difference schemes. Moscow: Nauka, 1983:616. (In Russ.)
  25. Samarskiy A.A., Gulin A.B. Ustoychivost' raznostnykh skhem = Stability of difference schemes. Moscow: Nauka, 1973:415. (In Russ.)
  26. Voevodin A.F., Shugrin S.M. Chislennye metody rascheta odnomernykh system = Numerical methods for calculating one-dimensional systems. Novosibirsk: Nauka, Sib. otd-nie, 1981:208. (In Russ.)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».