APOS Theory in Learning Mathematics (Using Trigonometry as an Example)

Texto integral

Введение

Виды человеческой деятельности, а  особенно образовательная, связаны с  пониманием/взаимопониманием в  ходе коммуникации. В  связи с  этим представляется актуальной разработка средств и  методов, позволяющих оценить степень понимания сообщаемой информации обучающемуся. Педагогами и  психологами предпринимаются различные попытки  для объяснения ментальных структур, возникающих у  студентов в  процессе обучения. Такие исследования представляют ценность не только в  специальных областях, но и  в  более широком контексте.

Теория APOS, стоящая на позициях конструктивизма и  базирующаяся на работах Ж.  Пиаже¹, была разработана Э. Дубинским для понимания процесса структурирования абстрактных математических понятий  [1]. Она впервые была апробирована на исследовании понятия смежных классов в  теории групп  [2], затем получила развитие в  когнитивном анализе понятия функции  [3], линейной алгебре  [4] и  других разделах математики. Теорию APOS также использовались в  теории моделирования и  экономике  [4], однако в  исследовании собственно тригонометрических функций  она не применялась. Целью теории APOS является выявление структуризации математической концепции в  сознании человека. В  соответствии с  теорией считается, что в  процессе обучения обучающиеся строят ментальные структуры, которые порождаются на базе рефлектирующей абстракции  [1]: Действие (Action), Процесс (Process), Объект (Object), Схема (Scheme). Основная идея настоящей работы – применение теории APOS к  исследованию формирования ментальных структур обучающихся при изучении математики (на примере тригонометрических функций).

Понятие функции вызывает большие трудности в  освоении студентами  [5], поскольку включает в  себя много других определений. Особую сложность представляют тригонометрические функции, так как тригонометрия интегрирует алгебраические, геометрические и  графические рассуждения  [6], необходимые при обучении в  высшей школе как при изучении самой математики, так и  дисциплин естественно-научного цикла (физики, механики, сопромата, электротехники и  др.). Интерес к  изучению тригонометрических функций с  использованием теории APOS вызван, с  одной стороны, недостаточным знанием студентами этих функций, с  другой – их широким применением в  инженерном деле (в  расчетах фундаментов, ветровых нагрузок на здания и  сооружения, в  исследованиях газовых и  жидких потоков).

Преподавание тригонометрии в  России имеет  давние исторические корни². Большинство работ, посвященных данной теме, направлено на развитие и  создание различных методов решения обучающимися типовых тригонометрических уравнений  [7], неравенств³ и  задач олимпиадного уровня  [8; 9]. Имеются работы российских  [10] и  зарубежных исследователей  [6], ориентированные на преподавателей математики, в  которых обсуждаются методические проблемы, связанные с  анализом тригонометрических функций на единичной окружности и  координатной плоскости. Во многих из них основное внимание уделяется внешнему плану восприятия учебного материала обучающимися, в  том числе и  математических понятий: рассматриваются разные методы решения задач, совершенствуются рабочие программы по математике и  др. Однако наряду с  проведенными исследованиями в  этой области важным остается изучение структур, которые формируются в  сознании обучающегося в  процессе его изучения математического понятия. Одной из теорий, позволяющей изучать процесс структуризации математического понятия в  сознании студента, является теория APOS.

Таким образом, с  одной стороны, продолжается интенсивное наращивание, вызванное широкими и  разносторонними приложениями тригонометрических функций, исследований методической направленности, с  другой – отмечается наличие серьезных и  возрастающих проблем с  пониманием студентами тригонометрических функций. В  рамках нашего исследования продуктивным средством для разрешения данного несоотвествия является использование теории APOS.

Цель исследования состоит в  изучении процесса овладения студентами математических понятий (на примере тригонометрических функций) в  рамках теории APOS. Гипотеза данного исследования состоит в  том, что использование теории APOS позволяет количественно и  качественно определить уровень знаний студентов, выявить и  оценить характер ошибок, совершаемых студентами в  ходе обучения. Для достижения указанной цели необходимо решение следующих задач:

– оценить восприятие студентами тригонометрической функции и  анализ ментальных трудностей, возникающих при этом;

– выявить причины ошибок, допускаемых студентами при  работе с  тригонометрическими функциями.

Обзор литературы

С помощью APOS (Action, Process, Object, Schema) воспроизводятся стадии освоения обучающимся математического понятия.

Теория APOS развивается и  используется в  основном в  трех направлениях:

1) сбор и  анализ данных – для тестирования структур, формирующихся в  сознании обучающихся после применения или обучения математическому понятию [2];

2) анализ структуры самого математического понятия в  ходе обучения  [11];

3) разработка эффективных методов обучения, тесно cвязаных с  математическими концепциями  [12], в  частности методика ACE (так называемый цикл ACE (действие-дискуссии в  классе-упражнения)) [2].

Применение теории APOS в  обучении математике подробно описывают О. Сефик и  соавторы. По их мнению, теория APOS может быть использована для организации учебной деятельности, а  также применена для анализа данных, позволяющих выявить ментальные структуры, возникающие в  сознании студентов после изучения математических понятий  [13].

В  настоящей статье на примере тригонометрических функций проводится анализ процесса усвоения математики.

Современные исследования по обучению тригонометрии можно рассматривать с  нескольких позиций: ориентированные на изучение сложных с  математической точки зрения тем тригонометрии; направленные на совершенствование и  создание новых методов и  форм эффективного обучения; связанные с  изучением интеграции методов и  форм обучения с  ментальными структурами обучающихся  [14].

Тригонометрические функции могут вводиться в  практику обучения тремя способами: через соотношения в  прямоугольном треугольнике, использование единичной окружности, степенные ряды, т. е. аналитически. Такая множественность влияет на понимание тригонометрических функций. Например, Д. Камбер и  Д. Такаси  рассматривают проблемы, связанные с  пониманием тригонометрических функций как соотношений сторон прямоугольного треугольника  [15], а  индонезийские ученые  [10] – в  случае задания на единичном круге.

Во многих зарубежных вузах тригонометрия входит в  образовательные программы в  качестве раздела математического анализа  [16], требующего интеграции фундаментальных понятий математического анализа и  свойств тригонометрических функций  [16; 17], что позволяет на основе изучения успеваемости студентов по тригонометрии оценивать успехи в  усвоении  дифференциального исчисления  [18].

С  эпистемологической позиции о  преодолении препятствий в  обучении тригонометрии выступают Ч. Л. Макнун с  коллегами  [6]. Предложено большое число активных и  интерактивных методов обучения  [19], использования различных частных методик⁴. Особый интерес вызывает работа K. Вебера, в  которой исследователь, опираясь на идеи Д. Талла  [20], предлагает рассматривать тригонометрические функции с  трех позиций: процесса, объекта и  символа, репрезентирующего процесс или объект, что, по словам автора, позволило студентам лучше понять тригонометрические функции  [21]. Здесь же доказана эффективность изучения тригонометрии в  рамках практических занятий (в отличие от лекционных).

Предлагаемое исследование, опираясь на теорию APOS, проводится в  рамках третьей позиции – изучение ментальных структур студента, возникающих в  процессе обучения.

Несмотря на значительное количество публикаций методической направленности, малочисленны публикации, посвященные проблемам понимания студентами математических понятий и  концепций. Практически нет работ, в  которых проводится анализ ментальных процессов, происходящих в  сознании студентов. Авторы впервые в  рамках теории APOS исследуют процесс структуризации математических понятий и  проводят классификацию ошибок в  случае тригонометрических функций.

 Материалы и  методы

В качестве теоретической основы исследования выбрана теория APOS, которая базируется на представлении о  рефлектирующей абстракции⁵  [1]. Рефлектирующая абстракция делает упор на общие свойства действий, не зависящие от математических объектов, с  которым совершаются действия.

Теория APOS фокусируется на построении моделей, объясняющих ментальные процессы обучающегося при попытке понять ту или иную математическую концепцию. И. Арнон и  соавторы утверждают, что «APOS – это теория того, как математические понятия могут быть выучены»  [12].

Рассмотрим каждый этап овладения понятиями в  теории APOS.

1. Действие (Action) – это стадия, на которой каждый шаг процесса обучения четко представляется студентом и направляется внешними инструкциями. «Действие – это трансформация какого-либо объекта, воспринимаемая индивидом как принципиально внешняя и как требующая выполнения пошаговой инструкции (заданной эксплицитно или же воспроизводимой по памяти) о  том, как производить соответствующие операции»⁶. Действия основаны на правилах и  алгоритмах, отрабатываемых многократно, но связанных с  конкретными объектами. Для случая тригонометрических функций это предполагает, что студент  должен знать понятие функции, уметь отличать тригонометрические функции от  других видов, вычислять значение тригонометрической функции в  определенной точке.
2. Процесс (Process) – стадия, на которой происходит повторение действий и их осмысление; студент переходит от опоры на внешние подсказки к внутреннему контролю. Данная стадия характеризуется способностью представлять себе выполнение шагов без необходимости осуществлять их эксплицитно, пропускать шаги, а  также обращать их вспять. Обучающийся может отражать во внутреннем плане сами  действия без привязки к  конкретным математическим объектам. Реализация этой стадии состоит в  интериоризации действий в  процедуры, которые учащиеся могут выполнять без посторонней помощи или обобщать действия, выполняемые на конкретных объектах, в  процессы, которые действительны для любого объекта того же типа. Процессы помогают студентам абстрагироваться от конкретных реализаций, взять под контроль само действие безотносительно внешнего объекта и  тем самым сделать гибким использование действий. Это предполагает умение пользоваться определенным алгоритмом решения со стандартными  действиями и  формулами. Так, поиск значения функции синуса для заданного угла может быть сведен к  определению значения по единичному кругу, где значения синуса распределены на вертикальной оси. Перечисленные операции на этой стадии студент  выполняет без посторонней помощи.
3. Объект (Object) – это стадия, в ходе которой обучающийся осознает процесс как целостность, к которому можно применить новые действия. Данный этап предусматривает умение студента вычленить подклассы в  пределах заданного концепта. В  этом случае происходит инкапсуляция процесса. Следует заметить, что такое понятие как «объект», возникшее на основе процесса, предполагает возврат к  стадии процесса в  случае необходимости⁷, т. е. объект  де-инкапсулирован. Такая возможность двигаться в  разных направлениях составляет существенный аспект математической деятельности⁸. Для тригонометрических функций это свидетельствует о том, что студент может определить, например, интервалы возрастания и  убывания функций.
4. Схема (Schema) – это стадия, включающая упорядоченное множество связей в сознании студента между различными действиями, процессами и  объектами, которые предполагается использовать при  решении  данной конкретной проблемы или построении новых знаний.

В качестве основных использовались следующие методы:

– системный подход – анализ научно-педагогических публикаций по проблематике исследования – выявление и  обобщение теоретических основ проблемы исследования;

– контент-анализ результатов, полученных с  помощью опроса, – анализ взаимосвязей между этапами теории APOS; направлен на изучение процесса понимания студентами тригонометрических функций;

– статистическая обработка с группировкой данных – исследование в  ходе изучения студентами тригонометрических функций ментальных структур в  их сознании, выявление закономерностей и  извлечение выводов.

Данная работа включает в  себя сбор и  анализ результатов опроса с  последующими их разбором и  классификацией ошибок студентов на стадиях теории APOS, а  также рекомендации по их исправлению.

В качестве базы эмпирического этапа исследования выбран Казанский государственный архитектурно-строительный университет. В  опросе приняли участие студенты четырех групп первого курса направления подготовки «Строительство»: 1  группа – 26  чел., 2 – 26, 3 и  4 – по 25  чел. Для анализа мы не делаем различий между группами, принимаем их как единую выборку численностью 102 участника. Все участники на момент проведения исследования были проинформированы о  цели исследования и  выразили готовность к  участию в  нем.

Исследование проводилось по следующим этапам:

1. Теоретический – уточнение концептуальных вопросов исследования, научное обоснование и разработка основных разделов опросника, с помощью которого возможно, согласно теории APOS, определить насколько студенты готовы к  пониманию математических объектов, а  равно и  оценить стадии его понимания. Применяемые методы: системный анализ литературы по данной тематике, статистический метод обработки  данных.
2. Экспериментальный – опрос, в ходе которого респондентами выполнялись задания опросника, созданного на предыдущем этапе исследования. При обработке тестов выявлялись ошибки, определялся их характер и стадия APOS, на которой находится студент (согласно его понимания математического понятия). Ниже приведен перечень вопросов.

 

1. Напишите своими словами, что такое функция.
2. Опишите своими словами функцию sin x.
3. Напишите, чему равно: $\sin \frac{\pi }{2}$ , $\sin \frac{\pi }{3}$ , sin 30°, sin 180°?
4. Отметьте на единичном круге решение уравнений: sin x = 0,5, sin x = 1, sin x = 1,5.
5. Существуют ли $x$ , решения неравенства  $\sin$  Если нет, объясните почему.
6. Для каких значений х функция синус убывает, почему?
7. Постройте график функции y = a × sin x. Как изменится график функции при различных значениях параметра  a?
8. На графике функции y = a × sin x изобразите график функции y  =  a × sin 3x.
9. Напишите в порядке возрастания числа: sin 115°, sin 250°, sin 370°.
10. Чему равно число $\sin$ ? Ответ поясните.
11. Чему равно sin²x + cos²x и почему?
12. Что больше sin 23° или sin 37°? Ответ поясните.
13. Что означает периодичность функции sin x и какой у нее период? Какой период функции sin 2x?
14. Верна ли формула sin(x + y) = sin x + sin y? Если нет, напишите правильную формулу.

Использование в вопроснике только одной функции y = sin x (за исключением 11-го вопроса) обусловлено тем, что оно позволяет осуществить сквозной анализ усвоения этой функции как типичной тригонометрической функции; в случае других тригонометрических функций теория APOS применяется аналогично.

3. Обработка, систематизация и интерпретация полученных данных: статистические методы, группировка, контент-анализ.

 Результаты исследования

Приведенные выше вопросы соответствуют стадиям теории APOS. Задания 1 и  2 опросника относятся к  так называемой стадии Pre-action  [16]. Они позволяют обнаружить студентов, не готовых к  восприятию понятия тригонометрической функции в  силу отсутствия у  них основополагающих знаний.

Как показал анализ ответов на эти вопросы, на стадии Pre-action находится 10  студентов, не справившихся с  заданиями. Заметим, что на подготовительных курсах вуза вопросы 1 и  2 задавались и  школьникам, ответы которых примерно совпадают с  ответами студентов-первокурсников (не справились с  заданием 5  чел. из 43). Вопросы 3, 9, 10, 12 отражают стадию действия; 4, 6, 14 – процесса; 5, 11, 13 – объекта; 7,  8  – схемы. По каждой стадии теории APOS составим таблицы.

Как видно из таблицы 1, основная часть студентов эту стадию успешно преодолевает; в среднем 85,3 % обучающихся полностью справились с заданиями. Однако ответы на 10-й вопрос показали, что некоторые из них справляются с вычислением соответствующих значений, но пояснить не могут. Эта стадия преодолевается с помощью преподавателя, и студенты формально выполняют такие задания. В  ответах пользуются тригонометрическим кругом. На этой стадии студенты в основном производят только заранее известные алгоритмические действия, но при этом совершают ошибки, например, забывая писать скобки. Так, в выражении $\sin \frac{3\pi }{2}‐2\pi$  надо писать $\sin \left(\frac{3\pi }{2}‐2\pi \right)$  и далее, а в строке $\sin ‐\frac{\pi }{2}$  надо писать $\sin \left(‐\frac{\pi }{2}\right)$ .  Пренебрежение скобками – одна из наиболее частых ошибок.

 

Таблица  1.  Итоговые показатели по этапу «Действие» в  теории APOS

Table  1.  Final figures for the Action in APOS theory stage

Номер вопроса  / Question number	Полный корректный ответ  / Full correct  answer	Неполный, частично правильный ответ  / Incomplete, partially correct  answer	Ошибочный ответ  / Wrong answer	Нет ответа  / No answer
3	100	1	0	1
9	79	1	20	2
10	67	28	2	5
12	102	0	0	0
Средние значения,  %  / Average values,  %	85,3	7,4	5,4	1,9

_{Источник: здесь и  далее в  статье все таблицы составлены авторами.}

_{Source: Hereinafter in the  article  all tables are compiled by the  authors.}

 

В одной из работ указано, что поскольку sin 2π – периодическая функция, то $\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$ , но это неверно.

Полученные результаты по стадии «Процесс» продемонстрированы в  таблице 2. Студенты могут представить решение (в  основном на единичном круге), достаточно легко ориентируются в  показе значений функций, однако затрудняются в  учете периодичности функции. Наименьшее число правильных ответов было дано на 6-й вопрос: они путали интервалы убывания с  интервалами, где функция имеет отрицательные значения. Большинство обучающихся использовали на этой стадии единичный круг, что затруднило нахождение интервалов монотонности. В  среднем по данной стадии полный ответ  дали 63,8  % студентов.

 

Таблица  2.  Итоговые показатели по этапу «Процесс» в  теории APOS

Table  2.  Final figures for the Process stage in APOS theory

Номер вопроса  / Question number	Полный корректный ответ  / Full correct  answer	Неполный, частично правильный ответ  / Incomplete, partially correct  answer	Ошибочный ответ  / Wrong answer	Нет ответа  / No answer
4	86	9	7	0
6	43	23	16	20
14	66	14	5	17
Средние значения,  %  / Average values,  %	63,8	15,0	9,1	12,1

 

Как видно из таблицы 3, задания стадии «Объект» решили в  среднем 29,4  % студентов. Остальные студенты плохо представляют себе свойства функций, особенно возрастание, убывание и периодичность. Например, определяя период функции sin2x, ими  допускались следующие ошибки: одни писали, что у  sin2x период вдвое больше, чем у  sinx, другие – вообще не указали периоды. Так, неполный частичный правильный ответ на 13-й вопрос соответствует тому, что студенты дали только определение периодичности либо указали периоды функций синуса.

 

Таблица  3.  Итоговые показатели по этапу «Объект» в  теории APOS

Table  3.  Final Figures for the Object Stage in APOS Theory

Номер вопроса  / Question number	Полный корректный ответ  / Full correct  answer	Неполный, частично правильный ответ  / Incomplete, partially correct  answer	Ошибочный ответ  / Wrong answer	Нет ответа  / No answer
5	37	51	7	7
11	17	82	0	3
13	36	34	12	20
Средние значения,  %  / Average values,  %	29,4	54,6	6,2	9,8

 

17 из 102 студентов полностью владеют теоретическим и  практическим материалами по свойствам тригонометрических функций и  их графиков; 66  чел. не могут представить преобразование графика синуса тройного аргумента  [1]. Таким образом, в  среднем только 22,5  % студентов способны к  реализации этапа «Схема», согласно теории APOS (табл.  4).

 

Таблица  4.  Итоговые показатели по этапу «Схема» в  теории APOS

Table  4.  Total figures for the Scheme stage in the APOS theory

Номер вопроса  / Question number	Полный корректный ответ  / Full correct  answer	Неполный, частично правильный ответ  / Incomplete, partially correct  answer	Ошибочный ответ  / Wrong answer	Нет ответа  / No answer
7	29	23	8	42
8	17	10	9	66
Средние значения,  %  / Average values,  %	22,5	16,2	8,3	53,0

 

Динамику распределения правильных, ошибочных, неполных и  работ без ответа по соответствующим стадиям проиллюстрируем на следующей диаграмме (рисунок), полученной на основании сводной таблицы 5.

 

Таблица  5.  Сводная таблица средних значений результатов по каждому этапу,  %

Table  5.  Summary table of average results for each stage,  %

Этапы  / Stages	Действие  / Action	Процесс  / Process	Объект  / Object	Схема  / Schema	Средние значения  / Average values
Решенные задания  / Solved tasks	85,3	64,0	29,4	22,5	51,000
Неполностью выполнено  / Incomplete	7,3	15,0	54,6	16,2	23,275
Решено с  ошибками  / Solved with errors	5,4	9,0	6,2	8,3	7,225
Не решено  / Unsolved	2,0	12,0	9,8	53,0	19,200

 

Рисунок демонстрирует тот факт, что переход от стадии к  стадии средний процент полностью решенных заданий снижается, а  процент ошибок в  среднем увеличивается (небольшое исключение на стадии «Схема», но это корректируется ростом нерешенных задач).
Наибольшее число частично решенных заданий, судя по среднему проценту, наблюдается на стадии «Объект». В  основном это связано с  демонстрацией функции синуса на тригонометрическом круге, по которой не видны промежутки убывания или возрастания функции. Вместе с  тем студенты, владеющие знанием графического представления синуса в  виде синусоиды, хорошо справляются с  заданиями  данной стадии.

 

 

Рис. Распределение средних результатов по каждой стадии APOS

Fig. Distribution of average results for each APOS stage

_{Примечания: ряд 1 – полностью решенные задания; ряд 2 – решено частично; ряд 3 – решенные с ошибками; ряд 4 – нерешенные.
Notes: Row 1 – completely solved tasks; row 2 – partially solved; row 3 – solved with errors; row 4 – unsolved.
Источник: составлено авторами.
Source: Compiled by the authors.}

Допускаемые ошибки на основе APOS анализа можно классифицировать как концептуальные и  процессуальные  [13]. К  концептуальным относятся следующие ошибки: непонимание понятия функции, желание работать только с  взаимно-однозначными функциями и  тождествами, неумение распознавать свойства сложных тригонометрических функций на основе знаний свойств основных элементарных тригонометрических функций, перенесение свойств линейной функции на тригонометрические (например, sin(x + y) = sinx + siny); к  процессуальным – неумение делать упрощения в  формулах, ошибки в  знаках и  др. В  комментариях к  таблице 2 приведены примеры процессуальных ошибок.

На основании  результатов, представленных в  таблицах 3 и  4, можно утверждать, что около 70  % опрошенных совершают концептуальные ошибки. На стадиях «Действие» и  «Процесс» совершаются в  основном процессуальные ошибки, поскольку обучение осуществляется по инструкции.

 Обсуждение и  заключение

Поэтапное исследование познавательного процесса, на что ориентирована теория APOS, позволяет выяснить причины тех или иных действий учащихся, степень понимания, хотя на проблему понимания в  математике есть различные точки зрения⁹. Объединение общих взглядов на природу математических концептов и  когнитивной теории APOS позволяет осознать связь между математической деятельностью и  математическим мышлением¹⁰. Теория APOS способствуют выявлению потенциала обучающегося, а  также конкретизации формы помощи студенту. Разработка методических материалов по математике вызывает определенные трудности, а  понимание процесса структуризации понятия в  сознании студента помогает выстраивать эффективную методическую работу  [22;  23]. В  процессе обучения преподаватели и  обучающиеся часто испытывают затруднения в  коммуникации  [24], связанные с  проблемами понимания преподавателями механизмов структуризации понятия в  сознании обучающегося. Теория APOS дает продуктивную возможность преодоления таких препятствий.

Анализ ответов студентов показал, что большинство из них (99  % с  учетом неполных ответов) в ходе изучения тригонометрических функций находятся на стадии «Действие», что демонстрирует слабость самостоятельного и  критического мышления у  современных студентов. По результатам экспериментов выявлено, что причиной ошибок являются непонимание студентами сути определения функции, формальное понимание свойств тригонометрических функций, отсутствие связи между математическим символом и  его визуальным представлением (подтверждает результаты, полученные в  работе  [25]). В  школьной программе много внимания уделяется тригонометрии на единичной окружности, что наносит некоторый ущерб пониманию тригонометрических функций как соответствий и  их графическому представлению. Слабый уровень знаний студентов этого раздела математики приводит к  необходимости дополнительных занятий по тригонометрии  для студентов первого курса, так как тригонометрические функции используются в  математическом анализе, уравнениях математической физики и  других разделах дисциплин, входящих в  обязательную часть обучения. Полученные теоретические и  экспериментальные результаты позволяют сделать следующие выводы.

1. Изучение усвоения тригонометрических функций с использованием теории APOS подтвердило эффективность его применения, позволило выявить трудности, возникающие перед обучающимися, и детализировать понимание студентами этих функций. Выводы, касающиеся снижения числа студентов, владеющих математикой, при  движении от стадии к  стадии подтверждают результаты других работ  [16].
2. Ошибки студентов носят концептуальный и процессуальный характер. Как правило, концептуальные ошибки совершаются на стадиях «Объект» и «Схема», процессуальные – на стадиях «Действие» и  «Процесс». Используемая теория позволяет выделить ошибки в  наглядном виде и  дает возможность провести соответствующие методические мероприятия, направленные на устранение препятствий с  учетом индивидуальности обучающегося.
3. Практическая значимость исследования заключается в том, что в работе показано, как APOS позволяет количественно и  качественно определить уровень компетентности каждого студента в  данной области математики. Последнее дает возможность сделать обучение более релевантным как для преподавателей, так и  для студентов и  в  комплексе с  другими методами может успешно применяться для улучшения образовательного процесса в  целом.

Материалы статьи могут быть интересны учителям математики и  преподавателям вузов с  целью детального изучения когнитивной деятельности обучающихся и  классификации ошибок с  последующими  рекомендациями методического характера. Выбор других разделов математики как предметов использования теории APOS предполагается в  дальнейших исследованиях авторов.

 

 

¹           Пиаже Ж. Психогенез знаний и его эпистемологическое значение // Семиотика. М. : Радуга, 1983. С.  90–101. URL: https://platona.net/load/knigi_po_filosofii/filosofija_jazyka/semiotika/32-1-0-4352 (дата обращения: 11.05.2023).

²           Саввина О. А., Паршина А. Н. Методическое наследие математика и офицера П. А. Баранова // Эвристическое обучение математике : V Междунар. науч.-метод. конф. Донецк : Изд-во Донецкого национального университета. 2021. С. 63–66. EDN: LXWJFS

³           Микаелян А. К., Игнатушина И. В. Методические особенности знакомства с тригонометрической окружностью в курсе математики средней школы // Психология и педагогика XXI века: актуальные вопросы, достижения и инновации : сборник статей III Всерос. студенческой науч.-практ. конф. с междунар. участием. Орехово-Зуево, 2022. С. 469–474. EDN: ALTQTE

⁴           Методические подходы знакомства обучающихся с тригонометрической окружностью в средней школе / А. К. Микаелян [и др.] // Трансформация мировой науки и образования в эпоху перемен: стратегии, инструменты развития : материалы III междунар. науч.-практ. конф. В 2-х ч. Ч. 1. Ростов-на-Дону, 2022. С.  278–283. EDN: SJTESE

⁵           Пиаже Ж. Психогенез знаний и его эпистемологическое значение.

⁶           Шварц А. Ю. Роль чувственных представлений в овладении математическими понятиями : дис. … канд. психол. наук. 2011. 259 с. URL: https://www.dissercat.com/content/rol-chuvstvennykh-predstavlenii-v-ovladenii-matematicheskimi-ponyatiyami (дата обращения: 11.05.2023).

⁷           Там же. С. 89.

⁸           Там же. С. 89.

⁹           Kuzniak A., Nechache A. Understanding Mathematical Work and Mathematical Thinking Through Individuals’ Actions Analyses: A Networking Approach // Proceedings of the CERME12. Italy : Bozen-Bolzano, 2022. P.  2986–2994. URL: https://hal.science/hal-03749271/document (дата обращения: 11.05.2023); Tuktamyshov  N. Mathematical Picture of the World and Understanding // Proceedings of the CERME12. Italy : Bozen-Bolzano, 2022. P. 3032–3036. URL: https://hal.science/hal-03749363/document (дата обращения: 11.05.2023).

¹⁰          Kuzniak A., Nechache A. Understanding Mathematical Work and Mathematical Thinking Through Individuals’ Actions Analyses: A Networking Approach.

Sobre autores

Nail Tuktamyshov

Kazan State University of Architecture and Engineering

Autor responsável pela correspondência
Email: nail1954@gmail.com
ORCID ID: 0000-0002-4679-0701
Scopus Author ID: 56181288100
Researcher ID: L-2998-2018

Dr.Sci. (Ped.), Professor of the Chair of Higher Mathematics

Rússia, Kazan

Tatiana Gorskaya

Kazan State University of Architecture and Engineering

Email: gorskaya0304@mail.ru
ORCID ID: 0000-0001-7136-8388
Scopus Author ID: 57163473900
Researcher ID: L-2152-2018

Cand.Sci. (Engr.), Associate Professor of the Chair of Higher Mathematics

Rússia, Kazan

Bibliografia

Arquivos suplementares