Краевая задача для нагруженного параболического уравнения дробного порядка
- Авторы: Кармоков М.М.1, Нахушева Ф.М.1, Абрегов М.Х.1
-
Учреждения:
- Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
- Выпуск: Том 26, № 1 (2024)
- Страницы: 69-77
- Раздел: Математика и механика
- URL: https://journals.rcsi.science/1991-6639/article/view/254330
- DOI: https://doi.org/10.35330/1991-6639-2024-26-1-69-77
- EDN: https://elibrary.ru/MPQWLS
- ID: 254330
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В статье рассматривается вторая краевая задача для нагруженного параболического уравнения с оператором дробного интегро-дифференцирования Римана – Лиувилля. Доказана однозначная разрешимость второй краевой задачи. Методом функции Грина, используя теорию потенциала простого слоя, задача редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Полный текст
Введение
Как известно, исследования математических моделей физико-биологических фрактальных процессов и связанных с ними задач, таких как задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, содержания влаги и соли в почвогрунтах на мелиорируемой территории и др., приводят к качественно новому классу дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. В связи с этим исследование этих уравнений представляет большой как теоретический, так и практический интерес.
В монографии А. М. Нахушева [1] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений, как метода исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.
Данная работа посвящена исследованию краевых задач для разрывно-нагруженных параболических уравнений с дробной производной.
В области рассмотрим разрывно-нагруженное уравнение
(1)
где – оператор дробного интегро-дифференцирования порядка [2].
Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3]. В работе [4] методом функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности. Работа [5] посвящена локальным и нелокальным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, включая диффузионно-волновые уравнения, рассмотрены в монографии [6]. В работе [7] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. Численному решению первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами посвящены работы [8, 9].
Вторая краевая задача
В области для уравнения (1) рассмотрим краевую задачу:
(2)
(3)
где .
Решением второй краевой задачи (1)–(3) будем называть функцию , непрерывную в , регулярную в , удовлетворяющую условиям (2), (3).
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
1) коэффициенты в удовлетворяют неравенствам
,
,
,
,
,
где и – некоторые положительные постоянные.
2) , , непрерывны в по совокупности переменных , и удовлетворяют по условию Гельдера, а – непрерывны в , и . Тогда существует единственное решение задачи (1)–(3).
Доказательство. Пусть в уравнении (1) . Сначала мы докажем теорему в области .
Пусть существует решение задачи (1)–(3) в области . Будем искать в виде:
, (4)
где
,
,
,
,
,
,
.
При из (4) имеем
, (5)
где
.
Для и имеем следующие оценки:
,
. (6)
Докажем сходимость ряда
.
Для этого воспользуемся следующей леммой [10]:
Лемма 1. Если то :
Используя лемму 1 и неравенство (6), находим, что
Поскольку и , особенность в более слабая, чем в =.
Оценивая аналогичным образом и т. д., мы дойдем до , для которого
. (8)
Докажем далее методом индукции по , что
, (9)
где – некоторые постоянные, а – гамма-функция Эйлера. Предположим, что (9) имеет место для некоторого целого и с помощью (6) получим
.
Подставляя , используя формулу
и выбирая подходящим образом постоянную , получим формулу (9) для всех . Но для (9) совпадает с (8). Отсюда следует доказательство (9). Из (9) следует, что ряд (7сходится.
В дальнейшем понадобятся следующие неравенства:
, (10)
.
Преобразуем (10) в виде
.
Для получим следующее неравенство
для любых и .
Аналогично доказывается, что
.
Следовательно,
.
Пусть . Тогда
. (11)
Сделаем подстановку:
.
Так как
,
то из (11) имеем
.
После подстановки получим
,
,
где – бета-функция.
Легко установить, что все – тоже непрерывные функции равномерно по отношению к , если , и непрерывные функции равномерно по отношению к , если . Отсюда следует, что – непрерывная функция по совокупности переменных , а следовательно, и ряд (7) – также непрерывная функция.
Рассмотрим интеграл
.
Так как , то из (6) имеем, что – прерывная функция. Следовательно, система интегральных уравнений (5) имеет единственное непрерывное решение. Подставляя в (4), с учетом, что краевая задача (2), (3) имеет единственное решение для уравнения [10], получаем однозначное решение в .
Так как , то аналогично получается решение задачи (1)–(3) и в области . Теорема доказана.
Заключение
Таким образом, в данной работе доказана однозначная разрешимость второй краевой задачи для нагруженного параболического уравнения дробного порядка. Полученные результаты важны для развития теории краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, в том числе нагруженных уравнений параболического типа, а также математического моделирования различных процессов и систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-временную структуру.
Об авторах
Мухамед Мацевич Кармоков
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Автор, ответственный за переписку.
Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики
Россия, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173Фатима Мухамедовна Нахушева
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Email: fatima-nakhusheva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3750-1445
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики
Россия, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173Мухад Хасанбиевич Абрегов
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова
Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0003-9592-4133
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики
Россия, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173Список литературы
- Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012. 232 с.
- Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
- Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1976. T. 12. № 1. С. 103–108.
- Дикинов Х. Б., Керефов А. А., Нахушев А. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1976. T. 12. С. 177–179.
- Кармоков М. М. Локальные и нелокальные краевые задачи для разрывно-нагруженных параболических уравнений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1991. 87 с.
- Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
- Геккиева С. Х. Смешанные краевые задачи для нагруженного диффузионно-волнового уравнения // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2016. Выпуск 42. № 6 (227). С. 32–35.
- Нахушева Ф. М., Лафишева М. М., Кармоков М. М., Джанкулаева М. А. Численный метод решения краевой задачи для параболического уравнения с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоемкостью // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2018. № 5 (85). С. 34–43.
- Бештоков М. Х., Водахова В. А., Исакова М. М. Приближенное решение первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2023. Т. 26. № 4. С. 5–17.
- Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.