Boundary value problem for loaded parabolic equations of fractional order
- Authors: Karmokov M.M.1, Nakhusheva F.M.1, Abregov M.K.1
-
Affiliations:
- Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov
- Issue: Vol 26, No 1 (2024)
- Pages: 69-77
- Section: Математика и механика
- URL: https://journals.rcsi.science/1991-6639/article/view/254330
- DOI: https://doi.org/10.35330/1991-6639-2024-26-1-69-77
- EDN: https://elibrary.ru/MPQWLS
- ID: 254330
Cite item
Full Text
Abstract
The article considers the second boundary value problem for a loaded parabolic equation with a fractional Riemann – Liouville integro-differentiation operator. The unambiguous solvability of the second boundary value problem is proved. Using the Green function method with the theory of the potential of a simple layer, the problem is reduced to a system of Volterra integral equations of the second kind.
Full Text
Введение
Как известно, исследования математических моделей физико-биологических фрактальных процессов и связанных с ними задач, таких как задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, содержания влаги и соли в почвогрунтах на мелиорируемой территории и др., приводят к качественно новому классу дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. В связи с этим исследование этих уравнений представляет большой как теоретический, так и практический интерес.
В монографии А. М. Нахушева [1] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений, как метода исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.
Данная работа посвящена исследованию краевых задач для разрывно-нагруженных параболических уравнений с дробной производной.
В области рассмотрим разрывно-нагруженное уравнение
(1)
где – оператор дробного интегро-дифференцирования порядка [2].
Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3]. В работе [4] методом функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности. Работа [5] посвящена локальным и нелокальным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, включая диффузионно-волновые уравнения, рассмотрены в монографии [6]. В работе [7] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. Численному решению первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами посвящены работы [8, 9].
Вторая краевая задача
В области для уравнения (1) рассмотрим краевую задачу:
(2)
(3)
где .
Решением второй краевой задачи (1)–(3) будем называть функцию , непрерывную в , регулярную в , удовлетворяющую условиям (2), (3).
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
1) коэффициенты в удовлетворяют неравенствам
,
,
,
,
,
где и – некоторые положительные постоянные.
2) , , непрерывны в по совокупности переменных , и удовлетворяют по условию Гельдера, а – непрерывны в , и . Тогда существует единственное решение задачи (1)–(3).
Доказательство. Пусть в уравнении (1) . Сначала мы докажем теорему в области .
Пусть существует решение задачи (1)–(3) в области . Будем искать в виде:
, (4)
где
,
,
,
,
,
,
.
При из (4) имеем
, (5)
где
.
Для и имеем следующие оценки:
,
. (6)
Докажем сходимость ряда
.
Для этого воспользуемся следующей леммой [10]:
Лемма 1. Если то :
Используя лемму 1 и неравенство (6), находим, что
Поскольку и , особенность в более слабая, чем в =.
Оценивая аналогичным образом и т. д., мы дойдем до , для которого
. (8)
Докажем далее методом индукции по , что
, (9)
где – некоторые постоянные, а – гамма-функция Эйлера. Предположим, что (9) имеет место для некоторого целого и с помощью (6) получим
.
Подставляя , используя формулу
и выбирая подходящим образом постоянную , получим формулу (9) для всех . Но для (9) совпадает с (8). Отсюда следует доказательство (9). Из (9) следует, что ряд (7сходится.
В дальнейшем понадобятся следующие неравенства:
, (10)
.
Преобразуем (10) в виде
.
Для получим следующее неравенство
для любых и .
Аналогично доказывается, что
.
Следовательно,
.
Пусть . Тогда
. (11)
Сделаем подстановку:
.
Так как
,
то из (11) имеем
.
После подстановки получим
,
,
где – бета-функция.
Легко установить, что все – тоже непрерывные функции равномерно по отношению к , если , и непрерывные функции равномерно по отношению к , если . Отсюда следует, что – непрерывная функция по совокупности переменных , а следовательно, и ряд (7) – также непрерывная функция.
Рассмотрим интеграл
.
Так как , то из (6) имеем, что – прерывная функция. Следовательно, система интегральных уравнений (5) имеет единственное непрерывное решение. Подставляя в (4), с учетом, что краевая задача (2), (3) имеет единственное решение для уравнения [10], получаем однозначное решение в .
Так как , то аналогично получается решение задачи (1)–(3) и в области . Теорема доказана.
Заключение
Таким образом, в данной работе доказана однозначная разрешимость второй краевой задачи для нагруженного параболического уравнения дробного порядка. Полученные результаты важны для развития теории краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, в том числе нагруженных уравнений параболического типа, а также математического моделирования различных процессов и систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-временную структуру.
About the authors
Mukhamed M. Karmokov
Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov
Author for correspondence.
Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538
Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of applied mathematics and computer science
Russian Federation, 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky streetFatima M. Nakhusheva
Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov
Email: fatima-nakhusheva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3750-1445
Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of applied mathematics and computer science
Russian Federation, 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky streetMukhad Kh. Abregov
Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov
Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0003-9592-4133
Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of applied mathematics and computer science
Russian Federation, 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky streetReferences
- Nakhushev A.M. Nagruzhennyye uravneniya i ikh primeneniye [Loaded equations and their application]. Moscow: Nauka, 2012. 232 p. (in Russian)
- Nakhushev A.M. Uravneniya matematicheskoy biologii [Equations of mathematical biology]. Moscow: Vysshaya shkola, 1995. 301 p. (in Russian)
- Nakhushev A.M. On the Darboux problem for a degenerate loaded second-order integro-differential equation. Differential equations. 1976. Vol. 12. No. 1. Pp. 103–108. (in Russian)
- Dikinov Kh.B., Kerefov A.A., Nakhushev A.M. On a boundary value problem for the loaded equation of thermal conductivity. Differential equations. 1976. Vol. 12. Pp. 177–179. (in Russian)
- Karmokov M.M. Lokal’nye i nelokal’nye kraevye zadachi dlya razryvno-nagruzhennykh parabolicheskikh uravneniy [Local and non-local boundary value problems for discontinuously loaded parabolic equations]. Kand. dis. Nalchik, 1990. 86 p. (in Russian)
- Pskhu A.V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka [Partial differential equations of fractional order]. Moscow: Nauka, 2005. 199 p. (in Russian)
- Gekkieva S.Kh. Mixed boundary value problems for the loaded diffusion-wave equation. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudanstiennogo universiteta. Seriya: Matematika. Fizika [Scientific Bulletin of Belgorod Stade University. Senes: Mathemaitics. Physics]. 2016. Vol. 42. No. 6 (227). Pp. 32–35. (in Russian)
- Nakhusheva F.M., Lafisheva M.M., Karmokov M.M., Dzhankulaeva M.A. A numerical method for solving a boundary value problem for a parabolic equation with a fractional time derivative with a concentrated heat capacity. News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS. 2018. No. 5 (85). Pp. 34–43. (in Russian)
- Beshtokov M.Kh., Vodakhova V.A., Isakova M.M. Approximate solution of the first boundary value problem for the loaded heat equation. Matematicheskaya fizika i komp’yuternoe modelirovanie [Mathematical physics and computer modeling]. 2023. Vol. 26. No. 4. Pp. 5–17. (in Russian)
- Friedman A. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi parabolicheskogo tipa [Partial Differential Equations of Parabolic Type]. Moscow: Mir, 1968. 427 p. (in Russian)