Boundary value problem for loaded parabolic equations of fractional order

Full Text

Введение

Как известно, исследования математических моделей физико-биологических фрактальных процессов и связанных с ними задач, таких как задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, содержания влаги и соли в почвогрунтах на мелиорируемой территории и др., приводят к качественно новому классу дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. В связи с этим исследование этих уравнений представляет большой как теоретический, так и практический интерес.

В монографии А. М. Нахушева [1] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений, как метода исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.

Данная работа посвящена исследованию краевых задач для разрывно-нагруженных параболических уравнений с дробной производной.

В области $D=\left\{\right(x,t):0<x<l, 0<t<T\}$ рассмотрим разрывно-нагруженное уравнение

$Lu=\sum _{j=1}^{n_k}{a}_j^k\left(x,t\right)D_{0t}^{a_j^k}{K}_j^k\left(x,t\right)u\left(x_j^k,t\right), T_k<t\le T_{k+1},$ (1)

где $k=0,1,2,\dots ,N, 0=T_0<T_1<\cdots <T_N=T, {\alpha }_{n_k}^k<{\alpha }_{n_{k-1}}^k<\cdots <{\alpha }_1^k,0<x_1^k<x_2^k<\cdots x_{n_k}^k<l, Lu=a\left(x,t\right)u_{xx}+b\left(x,t\right)u_x+c\left(x,t\right)u-u_t, D_{0t}^{\alpha }$ – оператор дробного интегро-дифференцирования порядка $\alpha$ [2].

Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3]. В работе [4] методом функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности. Работа [5] посвящена локальным и нелокальным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, включая диффузионно-волновые уравнения, рассмотрены в монографии [6]. В работе [7] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. Численному решению первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами посвящены работы [8, 9].

Вторая краевая задача

В области $D$ для уравнения (1) рассмотрим краевую задачу:

$u(x,0)=\phi \left(x\right),$ (2)

$\left\{\begin{array}{l}{u}_x(0,t)+{\beta }_1\left(t\right)u(0,t)={\gamma }_1\left(t\right),\\ u_x(l,t)+{\beta }_2\left(t\right)u(l,t)={\gamma }_2\left(t\right),\end{array}\right.$ (3)

где ${\beta }_1\left(t\right),{\beta }_2\left(t\right),{\gamma }_1\left(t\right),{\gamma }_2\left(t\right)\in [0,T]$.

Решением второй краевой задачи (1)–(3) будем называть функцию $u(x,t)$, непрерывную в $D$, регулярную в $D_i=\left\{(x,t):0<x<l, T_{i-1}<t<T_i\} \right(i=1,2,\dots ,N)$, удовлетворяющую условиям (2), (3).

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) коэффициенты $a(x,t), b(x,t), c(x,t)$ в $D$ удовлетворяют неравенствам

$a(x,t)\ge {\lambda }_0>0$,

$\left|a\right(x^{\text{'}},t)-a(x,t\left)\right|\le A|x^{\text{'}}-x{|}^{\lambda }$,

$\left|b\right(x^{\text{'}},t)-b(x,t\left)\right|\le A|x^{\text{'}}-x{|}^{\lambda }$,

$\left|c\right(x^{\text{'}},t)-c(x,t\left)\right|\le A|x^{\text{'}}-x{|}^{\lambda }$,

$\left|a\right(x,t^{\text{'}})-a(x,t\left)\right|\le A|t^{\text{'}}-t{|}^{\lambda }$,

где $A, {\lambda }_0$ и $\lambda$ – некоторые положительные постоянные.

2) $a_j^k$, $j=1,2,\dots ,n_k$, $k=0,1, \dots , N$ непрерывны в $\overline{D}$ по совокупности переменных $x, t$,  и удовлетворяют по $t$ условию Гельдера, а $K_j^k(x,t)$ – непрерывны в $\overline{D}, \phi \left(x\right)\in C\left[0,l\right]$,  и ${\lambda }^k<0$. Тогда существует единственное решение задачи (1)–(3).

Доказательство. Пусть в уравнении (1) $N=2$. Сначала мы докажем теорему в области $D_1$.

Пусть существует решение задачи (1)–(3) в области $D_1$. Будем искать $u(x,t)$ в виде:

$u\left(x,t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left[Z(x,t;0,\tau ){\Psi }_1\left(\tau \right)+Z(x,t;l,\tau ){\Psi }_2\left(\tau \right)\right]d\tau +\underset{0}{\overset{l}{\int }}Z\left(x,t;\xi ,0\right)\phi \left(\xi \right)d\xi -$

$-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)}}\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,\tau \right)u\left(x_j^0,\tau \right)d\xi$, (4)

где

$\frac{{\Psi }_1\left(t\right)}{2}=A\left(t\right)-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{t}{\int }}{M}_1\left(0,t;\xi ,\tau \right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}\left[K_j^0\left(\xi ,\tau \right)u\left(x_j^0,\tau \right)\right]d\tau -$

$-\sum _{n=1}^{\infty }\left\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}\right.M_{1,n}\left(0,t;0,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_1\left(0,t;\xi ,{\tau }_1\right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)D_{0{\tau }_1}^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)u\left(x_j^0,{\tau }_1\right)d\xi \right]d\tau -$

$-\underset{0}{\overset{t}{\int }} M_{2,n}\left(0,t;l,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_2\left(l,\tau ;\xi ,{\tau }_1\right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)u\left(x_j^0,{\tau }_1\right)d\xi \right]\left.d\tau \right\}$,

$\frac{{\Psi }_2\left(t\right)}{2}=B\left(t\right)-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{t}{\int }}{M}_2\left(l,t;\xi ,\tau \right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}\left[K_j^0\left(\xi ,\tau \right)u\left(x_j^0,\tau \right)\right]d\tau -$

$-\sum _{n=1}^{\infty }\left\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}\right.M_{1,n}\left(l,t;0,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_1\left(0,t;\xi ,{\tau }_1\right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)D_{0{\tau }_1}^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)u\left(x_j^0,{\tau }_1\right)d\xi \right]d\tau -$

$-\underset{0}{\overset{t}{\int }} M_{2,n}\left(l,t;l,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_2\left(l,\tau ;\xi ,{\tau }_1\right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)D_{0{\tau }_1}^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)u\left(x_j^0,{\tau }_1\right)d\xi \right]\left.d\tau \right\}$,

$A\left(t\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }} M_1\left(0,t;\xi ,\tau \right)\phi \left(\phi \right)d\xi +$

$+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}\right.M_{1,n}\left(0,t;0,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_1\left(0,\tau ;\xi ,0\right)\phi \left(\xi \right)d\xi -{\gamma }_1\left(\tau \right)\right]-$

$-\underset{0}{\overset{t}{\int }} M_{2,n}\left(0,t;l,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_2\left(l,\tau ;\xi ,0\right)\phi \left(\xi \right)d\xi -{\gamma }_2\left(\tau \right)\right]\}d\tau -{\gamma }_1\left(\tau \right)$,

$B\left(t\right)=\underset{0}{\overset{l}{\int }} M_2\left(l,t;\xi ,0\right)\phi \left(\xi \right)d\xi +$

$+\sum _{n=1}^{\infty }\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}\right.M_{1,n}\left(l,t;0,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_1\left(0,\tau ;\xi ,0\right)\phi \left(\xi \right)d\xi -{\gamma }_1\left(\tau \right)\right]-$

$-\underset{0}{\overset{t}{\int }} M_{2,n}\left(l,t;l,\tau \right)\left[\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_2\left(l,\tau ;\xi ,0\right)\phi \left(\xi \right)d\xi -{\gamma }_2\left(\tau \right)\right]\}d\tau -{\gamma }_2\left(\tau \right)$,

$M_{k,1}=M_k$,

$M_{k,n+1}\left({\xi }_k,t;{\xi }_j,\tau \right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }} M_k\left({\xi }_k,t;{\xi }_j,\sigma \right)M_{k,n}\left({\xi }_j,\sigma ;{\xi }_k,\tau \right)d\tau$,

$k=1, 2; j=1, 2; {\xi }_1=0; {\xi }_2=0$.

При $x\to x_i^0 (i=1,2,\dots ,n_0)$ из (4) имеем

$u\left(x_i^0,t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }} N_i\left(t,\eta \right)u\left(x_i^0,\eta \right)\eta +F_i\left(t\right)$, (5)

где

$N_i\left(t,\eta \right)=-2\sum _{n=1}^{\infty }\{\underset{\eta }{\overset{t}{\int }}Z\left(x_i,t;0,\tau \right)\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{\eta }{\overset{\tau }{\int }} [M_{1,n}\left(0,\tau ;\xi ,{\tau }_1\right)M_1\left(0,{\tau }_1;\xi ,\eta \right)+$

$+M_{2,n}\left(0,\tau ;l,{\tau }_1\right)M_2\left(l,{\tau }_1;\xi ,\tau \right)]\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)D_{0{\tau }_1}^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)u\left(x_j^0,{\tau }_1\right)d{\tau }_{1}d\xi +$

$+\underset{\eta }{\overset{t}{\int }}Z\left(x_i,t;l,\tau \right)\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{\eta }{\overset{\tau }{\int }}[M_{1,n}\left(l,\tau ;0,{\tau }_1\right)M_1\left(0,{\tau }_1;\xi ,\eta \right)+$

$+M_{2,n}\left(l,\tau ;l,{\tau }_1\right)M_2\left(l,{\tau }_1;\xi ,\eta \right)\left]\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)D_{0{\tau }_1}^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)u\left(x_j^0,{\tau }_1\right)d{\tau }_{1}d\xi \right\}$

$F_i\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}[Z\left(x_i,t;0,\tau \right)A\left(\tau \right)+Z\left(x_i,t;l,\tau \right)B\left(\tau \right)]d\tau$.

Для $Z\left(x_i,t;\xi ,\tau \right)$ и $M_k\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ имеем следующие оценки:

$\left|Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le \frac{c}{{\left(t-\tau \right)}^{\mu }|x-\xi {|}^{1-2\mu }}, 1-\lambda /2<\mu <1$,

$\left|M_k\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le \frac{c}{{\left(t-\tau \right)}^{\mu }|x-\xi {|}^{1-2\mu -\lambda }}, k=1,2$. (6)

Докажем сходимость ряда

$\sum _{n=1}^{\infty }\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{\eta }{\overset{\tau }{\int }}{M}_{k,n}\left({\xi }_k,t;{\xi }_i,{\tau }_1\right)M_k\left({\xi }_i,{\tau }_1;\xi ,\eta \right)d\xi d{\tau }_1$.

Для этого воспользуемся следующей леммой [10]:

Лемма 1. Если $0<a<1,0<b<1,$то $\forall x\in [0,l],z\in [0,l],x\ne z:$:

 $\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{dy}{|x-y{|}^a|y-z{|}^b}\le \{\begin{array}{c}c|x-\xi {|}^{1-a-b}, если a+b>1,\\ c, если a+b<1.\end{array}$

Используя лемму 1 и неравенство (6), находим, что

$\left|M_{k,2}\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le \frac{c}{{\left(t-\tau \right)}^{\mu +\left(\mu -1\right)}|x-\xi {|}^{2-2\mu -\lambda +(1-2\mu -\lambda )}}$

Поскольку $\mu <1$ и $1<2\mu +\lambda$, особенность в $M_{k,2}$ более слабая, чем в $M_{k,1}$=$M_k$.

Оценивая аналогичным образом $M_{k,3}, M_{k,4}$ и т. д., мы дойдем до $m_0$, для которого

$\left|M_{k,m_0}\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le c$. (8)

Докажем далее методом индукции по $l_0$, что

$\left|M_{k,m_0}\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le c\frac{{\left[c_2{\left(t-\tau \right)}^{1-\mu }\right]}^{l_0}}{}$, (9)

где $c_1, c_2$ – некоторые постоянные, а $\Gamma \left(z\right)$ – гамма-функция Эйлера. Предположим, что (9) имеет место для некоторого целого $l_0$ и с помощью (6) получим

$\left|M_{k,l_0+m_0+1}\right|\le c{c}_1\frac{c_2^{l_0}}{\Gamma \left[{\left(1-\mu \right)}^{l_0+1}\right]}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\left(t-\sigma \right)}^{-\mu }{\left(\sigma -\eta \right)}^{\left(1-\mu \right)l_0}d\sigma$.

Подставляя $Y=\left(\sigma -\tau \right)/\left(t-\tau \right)$, используя формулу

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(1-y\right)}^{a-1}{y}^{b-1}dz=\frac{\Gamma \left(a\right)\Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(1+b\right)}$

и выбирая подходящим образом постоянную $c_2$, получим формулу (9) для всех $l_0=1$. Но для  (9) совпадает с (8). Отсюда следует доказательство (9). Из (9) следует, что ряд (7сходится.

В дальнейшем понадобятся следующие неравенства:

$\left|Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le c{\left(t-\tau \right)}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{{\lambda }_0\left(x-\xi \right){}^2}{4\left(t-\tau \right)}}$, (10)

$\left|\frac{\partial Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)}{\partial x}\right|\le c{\left(t-\tau \right)}^{-\frac{3}{2}}{e}^{-\frac{{\lambda }_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}$.

Преобразуем (10) в виде

$\left|Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le c{\left(t-\tau \right)}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{{\lambda }_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}=$

$=c{\left(t-\tau \right)}^{-\mu }{\left(x-\xi \right)}^{\mu -1/2}{\left[\frac{{\left(x-\xi \right)}^2}{\left(t-\tau \right)}\right]}^{\frac{1}{2}-\mu }{e}^{\frac{\epsilon {\lambda }_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}{e}^{\frac{\left(1-\epsilon \right){\left(x-\xi \right)}^2{\lambda }_0}{4\left(t-\tau \right)}}$.

Для $0<A<\infty$ получим следующее неравенство

$\left|Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le c{\left(t-\tau \right)}^{-\mu }{\left(x-\xi \right)}^{1-2\mu }{e}^{-\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}$

для любых ${\overline{\lambda }}_0<{\lambda }_0$ и $0<\mu \le 1/2$.

Аналогично доказывается, что

$\left|\frac{\partial Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)}{\partial x}\right|\le c{\left(t-\tau \right)}^{-{\mu }_1}{\left(x-\xi \right)}^{2{\mu }_1-\frac{3}{2} }{e}^{-\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}$.

Следовательно,

$\left|M_{k,2}\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le c{\left(t-\tau \right)}^{-\mu }{\left(x-\xi \right)}^{2{\mu }_1-\frac{3}{2} }{e}^{-\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}$.

Пусть ${\mu }_1=\frac{3}{4}$. Тогда

$\left|M_{k,2}\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|=\left|\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_k\left(x,t;y,\sigma \right)M_{k,1}\left(y,\sigma ;\xi ,\tau \right)d\xi d\sigma \right|\le$

$\le c\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left(t-\tau \right)}^{-{\mu }_1}{e}^{-\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}{\left(\sigma -\tau \right)}^{-{\lambda }_0\left(\xi -y\right)}d\xi d\tau$. (11)

Сделаем подстановку:

$\rho ={\left({\overline{\lambda }}_0\frac{t-\tau }{t-\sigma }\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{\xi -y}{2{\left(\sigma -t\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}+{\left({\overline{\lambda }}_0\frac{\sigma -\tau }{t-\sigma }\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{y-x}{2{\left(t-x\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$.

Так как

$\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\sigma \right)}+\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(y-\xi \right)}^2}{4\left(t-\sigma \right)}=\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\sigma \right)}+{\rho }^2$,

то из (11) имеем

$\left|M_{k,2}\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|=c\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\left(t-\sigma \right)}^{\frac{1}{2}-{\mu }_1}\sigma -t^{\frac{1}{2}-{\mu }_1}{\left(t-\tau \right)}^{-\frac{1}{2}}d\tau$.

После подстановки $(t-\sigma )/(t-\tau )=\eta$ получим

$\left|M_{k,2}\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|\le \frac{2{\pi }^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{h}c{e}^{-\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}$,

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\eta }^{-\frac{1}{4}}{\left(1-\eta \right)}^{-\frac{1}{4}}d\eta \le cB\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right)e^{-\frac{{\overline{\lambda }}_0{\left(x-\xi \right)}^2}{4\left(t-\tau \right)}}$,

где $B(\alpha ,\beta )$ – бета-функция.

Легко установить, что все $M_{k,m_0}\left(m_0>z\right)$ – тоже непрерывные функции $(x,t)$ равномерно по отношению к $(\xi ,\tau )$, если $t-\tau \ge c>0$, и непрерывные функции $(\xi ,\tau )$ равномерно по отношению к $(x,t)$, если $t-\tau \ge c>0$. Отсюда следует, что $M_{k,n}\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ – непрерывная функция по совокупности переменных $\left(x,t;\xi ,\tau \right)$, а следовательно, и ряд (7) – также непрерывная функция.

Рассмотрим интеграл

$I\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int }}{M}_i\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0\left(\xi ,\eta \right)\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j\right)}\underset{0}{\overset{{\tau }_1}{\int }}\frac{K_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)u\left(x_j^0,{\tau }_1\right)}{{\left(\tau -{\tau }_1\right)}^{1+{\alpha }_j}}d{\tau }_1$.

Так как ${\alpha }_j<0$, то из (6) имеем, что $I\left(t\right)$ – прерывная функция. Следовательно, система интегральных уравнений (5) имеет единственное непрерывное решение. Подставляя $u\left(x_i^0,t\right)$ в (4), с учетом, что краевая задача (2), (3) имеет единственное решение для уравнения $Lu=f\left(x,t\right)$ [10], получаем однозначное решение в $D_1$.

Так как $u\left(x,T_1\right)\in C[0,l],$, то аналогично получается решение задачи (1)–(3) и в области $D_2$. Теорема доказана.

Заключение

Таким образом, в данной работе доказана однозначная разрешимость второй краевой задачи для нагруженного параболического уравнения дробного порядка. Полученные результаты важны для развития теории краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, в том числе нагруженных уравнений параболического типа, а также математического моделирования различных процессов и систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-временную структуру.

About the authors

Mukhamed M. Karmokov

Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov

Author for correspondence.
Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538

Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of applied mathematics and computer science

Russian Federation, 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky street

Fatima M. Nakhusheva

Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov

Email: fatima-nakhusheva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3750-1445

Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of applied mathematics and computer science

Russian Federation, 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky street

Mukhad Kh. Abregov

Kabardino-Balkarian State University named after Kh. M. Berbekov

Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0003-9592-4133

Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of applied mathematics and computer science

Russian Federation, 360004, Nalchik, 173 Chernyshevsky street

References