Том 23, № 1 (2023)

Рассматривается неравенство Лежанского – Поляка – Лоясевича для вещественно-аналитической функции на вещественно-аналитическом компактном многообразии без края в конечномерном евклидовом пространстве. Это неравенство возникло независимо в 1963 г. в работах трех авторов: Лежанского и Лоясевича из Польши и Поляка из СССР. Неравенство оказалось очень полезным инструментом для исследования сходимости градиентных методов, первоначально в безусловной оптимизации, а в течение последних нескольких десятилетий и в задачах условной оптимизации. Оно применяется, главным образом,  для гладких в определенном смысле функций на гладких в определенном смысле многообразиях. Мы предлагаем вывод неравенства из условия ограничения ошибки степенного типа на компактном вещественно-аналитическом многообразии. В качестве приложения мы доказываем сходимость метода проекции градиента вещественно-аналитической функции на вещественно аналитическом многообразии без края. В отличие от известных результатов, наше доказательство дает явную зависимость погрешности через параметры задачи:  в первую очередь, через показатель в условии ограничения ошибки и константу проксимальной гладкости.  При этом мы существенно используем технический факт, что гладкое компактное многообразие без края есть проксимально гладкое множество.

Известно, что интерполяционный процесс Лагранжа с узлами в нулях многочленов Чебышева может расходиться всюду (с произвольными узлами — почти всюду), подобно ряду Фурье суммируемой функции. В то же время  известно, что любую измеримую (конечную почти всюду) функцию можно исправить на множестве сколь угодно малой меры так, что ее ряд Фурье станет равномерно сходящимся (так называемое усиленное $C$-свойство). Возникает вопрос, не обладает ли класс непрерывных функций подобным свойством по отношению к интерполяционному процессу по той или иной матрице узлов? В настоящей работе показано, что существует матрица узлов интерполирования $\mathfrak{M}_\gamma$, как угодно близкая к матрице узлов Якоби $\mathfrak{M}^{(\alpha,\beta)}$, $\alpha,\beta>-1$, такая, что после исправления (с сохранением непрерывности) функции $f\in{C[-1,1]}$ на множестве как угодно малой меры интерполяционный процесс с узлами $ \mathfrak{M}\gamma$ будет сходиться к исправленной функции равномерно на $[a,b]\in (-1,1)$.

Изучены возможности приложения качественной теории дифференциальных уравнений к одной задаче тепломассопереноса в многослойных планарных полупроводниковых структурах. Исследование проведено на примере математической модели стационарного процесса диффузии неравновесных неосновных носителей заряда, генерированных широким источником возбуждения. Использование широкого источника внешнего воздействия позволяет свести задачи моделирования к одномерным и описать эти математические модели обыкновенными дифференциальными уравнениями. Таковыми являются процессы в различных наносистемах при воздействии на них широких пучков заряженных частиц или электромагнитного излучения. В работе проведен обзор результатов исследований подобных моделей за последнее время. Основным объектом изучения явились вопросы корректности рассматриваемых математических моделей, особое внимание уделено математической оценке влияния внешних факторов на состояние изучаемого объекта.  Ранее методы качественной теории дифференциальных уравнений (в нашем случае — оценка влияния внешнего воздействия на распределение неравновесных неосновных носителей заряда в результате их диффузии в полупроводнике) в сочетании с рассмотрением единственности решения дифференциальных уравнений тепломассопереноса и корректности используемых математических моделей изучались весьма редко, а для широких электронных пучков количественный анализ подобных задач ранее не проводился вовсе. В настоящей работе основное внимание уделяется влиянию правой части дифференциального уравнения, функции возбуждения неосновных носителей заряда, на решение дифференциального уравнения диффузии, которое описывает распределение неравновесных носителей заряда, диффундировавших в каждом слое такой структуры. Доказаны единственность решения рассматриваемой задачи и непрерывная зависимость решения от правой части дифференциального уравнения. Получены оценки влияния внешних факторов на диффузию генерированных носителей в каждом слое многослойной планарной полупроводниковой структуры.

Для получения матрицы деформирования призматического конечного элемента на шаге нагружения с учетом физической нелинейности использованы три варианта физических уравнений. В первом варианте реализованы определяющие уравнения теории пластического течения, согласно которой приращение деформаций разделяется на упругую  и пластическую части. Приращения упругих деформаций  связаны с приращениями напряжений законом Гука. Связь приращений пластических деформаций с приращениями напряжений определяется на основе гипотезы о пропорциональности компонент тензора приращений пластических деформаций компонентам девиатора напряжений. Во втором варианте компоненты тензора приращений пластических деформаций получены на основе предложенной гипотезы о пропорциональности этих компонент компонентам девиатора приращений напряжений на шаге нагружения. В этом варианте так же, как и в первом варианте, принята гипотеза о несжимаемости материала при пластическом деформировании.  В третьем варианте определяющие уравнения на шаге нагружения получены на основе предложенной гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений деформаций компонентам девиатора приращений напряжений без разделения приращений деформаций на упругую и пластическую части. Коэффициент пропорциональности оказался функцией хордового модуля диаграммы деформирования. Гипотеза о несжимаемости материала при пластическом деформировании не принималась, а реализована зависимость между первыми инвариантами тензоров деформаций и тензоров напряжений, получаемая из эксперимента. Для сравнения с первым и вторым вариантами определяющих уравнений эта зависимость между первыми инвариантами тензоров деформаций и напряжений определена по формуле упругого деформирования. В качестве конечного элемента принят призматический элемент с треугольными основаниями. В качестве узловых неизвестных приняты приращения перемещений и приращения напряжений. Аппроксимация искомых величин метода конечных элементов в смешанной формулировке через узловые значения осуществлялась с использованием линейных функций. Матрица напряженно-деформированного состояния представлена на основе смешанного функционала, полученного из физического выражения равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения с заменой действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работы внутренних сил. На примере расчета показано адекватное соответствие в результатах расчета на основе рассмотренных вариантов физических соотношений и отмечена предпочтительность предложенного третьего варианта определяющих уравнений теории пластичности.

Рассматривается классическая задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата как твердого тела произвольной динамической конфигурации при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости космического аппарата без ограничения на вектор-функцию управления и с фиксированным временем переходного процесса. Как критерий оптимальности используется функционал энергии, затраченной на поворот космического аппарата. В рамках концепции Пуансо, описывающей произвольное угловое движение твердого тела в терминах обобщенного конического движения, проведена модификация задачи оптимального управления угловым движением космического аппарата, и его траектория задана в этом классе движений. При этом общность исходной задачи практически не нарушается, так как известные точные решения классической задачи оптимального углового движения динамически-симметричного космического аппарата в случаях плоского поворота или регулярной прецессии и аналогичные решения модифицированной задачи полностью совпадают; в других случаях в числовых расчетах классической и модифицированной задач расхождение между значениями функционала оптимизации составляет не более нескольких процентов, включая повороты космического аппарата на большие углы. Поэтому предлагаемое решение модифицированной задачи может использоваться как квазиоптимальное по отношению к классической задаче. Приведены явные выражения для кватерниона ориентации и вектора угловой скорости космического аппарата, на основе решения обратной задачи динамики твердого тела получена формула для вектора управляющего момента космического аппарата. Дается квазиоптимальный алгоритм оптимального поворота космического аппарата. Приведены числовые примеры, показывающие близость решений классической и модифицированной задач оптимальной переориентации космического аппарата.

Целью настоящего исследования стало формирование положений для получения интегральной оценки, характеризующей рейтинг участков лесного массива по уровню пожароопасности. Получение подобной оценки производится на основании агрегирования множества параметров, характеризующих климатические условия, и факторов, учитывающих антропогенное влияние на заданном участке лесного массива. Учитывая разнородность подобных параметров, для их агрегирования использованы методы нечеткого логического вывода и теории нечетких множеств. Сам комплекс для определения оценки лесного массива реализован в виде иерархической системы нечеткого вывода. Исследование процесса функционирования сформированного комплекса показало, что его выходная закономерность имеет преимущественно ступенчатый характер. Подобный результат позволяет проводить классификацию анализируемых участков лесного массива на группы состояния. Дальнейшее исследование сформированных классов состояний методами кластерного анализа позволяет выявлять участки с близкими характеристиками. Использование результатов классификации позволяет провести ранжирование участков лесного массива по очередности оказания управляющих воздействий в виде профилактических или подготовительных мероприятий по снижению пожароопасности или увеличению оперативности реагирования на возгорание. Полученные результаты ориентированы на их использование в системах поддержки принятия решений по управлению лесными массивами и другими видами прилегающих к ним территорий и социально-экономических образований.