Algorithm for Calculating Statically Indeterminate Trusses Using the Force Method

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The study focuses on developing an algorithm for calculating statically indeterminate trusses using the force method. The main challenge in algorithmizing the force method lies in obtaining the solution to the homogeneous equilibrium equations, which is complicated by the ambiguity in selecting the primary system. The idea behind the presented algorithm is based on using the transposed compatibility matrix of the structure as the general solution to the homogeneous equilibrium equations. The governing system of equations eliminates the need to select redundant unknowns, as the column of unknowns is generated automatically. The method for obtaining compatibility equations in statically indeterminate truss cells is presented through a direct examination of changes in the area of truss loops. The compatibility matrix of the system is composed of rows of compatibility equations for independent statically indeterminate truss loops. Compatibility equations for the deformations of triangular and rectangular truss cells are derived, and a method for obtaining compatibility equations for externally statically indeterminate trusses is described. Using the proposed algorithm, the flexibility matrix of a truss with parallel chords is presented. The algorithm removes the ambiguity in selecting the primary system, and the structure of the flexibility matrix is determined by the numbering of the statically indeterminate loops of the system. There is no need to use the equilibrium equations when constructing the flexibility matrix of the structure.

About the authors

Vladimir V. Lalin

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University; RUDN University

Email: vllalin@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3850-424X
SPIN-code: 8220-6921

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Higher School of Industrial, Civil and Road Construction of the Institute of Civil Engineering, Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University; Professor of the Department of Construction Technologies and Structural Materials of the Engineering Academy, RUDN university

Saint Petersburg, Russia; Moscow, Russia

Timur R. Ibragimov

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: timuribragimov.ra@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-2742-1345
SPIN-code: 5342-2799

Graduate student of the Higher School of Industrial, Civil and Road Construction of the Institute of Civil Engineering

Saint Petersburg, Russia

References

  1. Kaveh A., Zaerreza A. Comparison of the graph-theoretical force method and displacement method for optimal design of frame structures. Structures. 2022;43:1145-1159. http://doi.org/10.1016/J.ISTRUC.2022.07.035
  2. Kaveh A., Shabani Rad A. Metaheuristic-based optimal design of truss structures using algebraic force method. Structures. 2023;50:1951-1964. http://doi.org/10.1016/J.ISTRUC.2023.02.123
  3. Kaveh A., Zaerreza A. Optimum Design of the Frame Structures Using the Force Method and Three Recently Improved Metaheuristic Algorithms. International Journal of Optimization in Civil Engineering. 2023;13(3):309-325.
  4. Saeed N.M., Kwan A.S.K. Simultaneous displacement and internal force prescription in shape control of pin-jointed assemblies. Journal of Aircraft. 2016;4:2499-2506. http://doi.org/10.2514/1.J054811
  5. du Pasquier C., Shea K. Validation of a nonlinear force method for large deformations in shape-morphing structures. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2022;3:1-17. http://doi.org/10.1007/s00158-022-03187-z
  6. Mohammed Saeed N., Aulla Manguri A. An Approximate Linear Analysis of Structures Utilizing Incremental Loading of Force Method. UKH Journal of Science and Engineering. 2020;6(4):37-44. http://doi.org/10.25079/ukhjse. v4n1y2020.pp37-44
  7. Yuan X., Liang X., Li A. Shape and force control of prestressed cable-strut structures based on nonlinear force method. Advances in Structural Engineering. 2016;12(19):1917-1926. http://doi.org/10.1177/1369433216652411
  8. Reksowardojo A.P., Senatore G., Smith I.F.C. Design of Structures That Adapt to Loads through Large Shape Changes. Journal of Structural Engineering. 2020;5:1-16. http://doi.org/10.1061/(asce)st.1943-541x.0002604
  9. Denke P.H. A general digital computer analysis of statically indeterminate structures. NASA-TN-D-1666. 1962.
  10. Przemieniecki J.S., Denke P.H. Joining of complex substructures by the matrix force method. Journal of Aircraft. 1966;3(3):236-243. http://doi.org/10.2514/3.43731
  11. Topçu A., Thierauf G. Structural optimization using the force method. World Congress on Finite Element Methods in Structural Mechanics. Bournemouth, England, 1975.
  12. Topçu A. A contribution to the systematic analysis of finite element structures using the force method. Doctoral dissertation, Essen University, 1979. (In German)
  13. Soyer E., Topcu A. Sparse self-stress matrices for the finite element force method. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2001;9:2175-2194. http://doi.org/10.1002/nme.119
  14. Pellegrino S., Van Heerden T. Solution of equilibrium equations in the force method: A compact band scheme for underdetermined linear systems. Computers & Structures. 1990;5:743-751. http://doi.org/10.1016/0045-7949(90)90103-9
  15. Pellegrino S. Structural computations with the singular value decomposition of the equilibrium matrix. International Journal of Solids and Structures. 1993;21(30):3025-3035. http://doi.org/10.1016/0020-7683(93)90210-X
  16. Rozin L.A. Rod systems as systems of finite elements. Leningrad. 1976. (In Russ.) Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1976. 232 c.
  17. Coleman T.F., Pothen A. The Null Space Problem I. Complexity. SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods. 1986;4(7):527-537. http://doi.org/10.1137/0607059
  18. Coleman T.F., Pothen A. The Null Space Problem II. Algorithms. SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods. 1987;4(8):544-563. http://doi.org/10.1137/0608045
  19. Pothen A. Sparse null basis computations in structural optimization. Numerische Mathematik. 1989;5:501-519. http://doi.org/10.1007/BF01398913
  20. Gilbert J.R., Heath M.T. Computing a Sparse Basis for the Null Space. SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods. 1987;3(8):446-459. http://doi.org/10.1137/0608037
  21. Henderson J.C. Topological Aspects of Structural Linear Analysis. Aircraft Engineering and Aerospace Technology. 1960;5:137-141. http://doi.org/10.1108/eb033249
  22. Maunder E.A. Topological and linear analysis of skeletal structures. Imperial College, London, 1971. ISBN: 2013206534
  23. De Henderson J.C.C., Maunder E.A.W. A Problem in Applied Topology: on the Selection of Cycles for the Flexibility Analysis of Skeletal Structures. IMA Journal of Applied Mathematics. 1969;2(5):254-269. http://doi.org/10.1093/IMAMAT/ 5.2.254.
  24. Kaveh A. Application of Topology and Matroid Theory to the flexibility analysis of structures. Ph.D. Thesis London University Imperial College, 1974.
  25. Kaveh A. Subminimal Cycle Bases for the Force Method of Structural Analysis. Communications in Applied Numerical Methods. 1987;4(3):277-280. http://doi.org/10.1002/cnm.1630030407
  26. Kaveh A. Bandwidth reduction of rectangular matrices. Communications in Numerical Methods in Engineering. 1993;3(9):259-267. http://doi.org/10.1002/cnm.1640090310
  27. Koohestani K. An orthogonal self-stress matrix for efficient analysis of cyclically symmetric space truss structures via force method. International Journal of Solids and Structures. 2011;2:227-233. http://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2010.09.023
  28. Koohestani K. Innovative numerical form-finding of tensegrity structures. International Journal of Solids and Structures. 2020;206:304-313. http://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2020.09.034
  29. Patnaik S. An integrated force method for discrete analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1973;2(6):237-251. http://doi.org/10.1002/nme.1620060209
  30. Patnaik S.N., Pai S.S., Hopkins D.A. Compatibility condition in theory of solid mechanics (elasticity, structures, and design optimization). Archives of Computational Methods in Engineering. 2007;4(14):431-457. http://doi.org/10.1007/S11831-007-9011-9/METRICS
  31. Wei X.F., Patnaik S.N., Pai S.S., Ling P.P. Extension of Integrated Force Method into Stochastic Domain. International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. 2009;3(10):197-208. http://doi.org/ 10.1080/15502280902795060
  32. Wei X.F., Patnaik S.N. Application of stochastic sensitivity analysis to integrated force method. International Journal of Stochastic Analysis. 2012;1:249201. http://doi.org/10.1155/2012/249201
  33. Postnikov M.M. Analytical Geometry. Moscow: Nauka Publ.; 1979. (In Russ.) Постников М.М. Аналитическая геометрия. Москва: Наука, 1979. 336 c.
  34. Washizu K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity. New York: Oxford, Pergamon Press, 1974.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».