Division by 2 on odd-degree hyperelliptic curves and their Jacobians

封面

如何引用文章

全文:

开放存取 开放存取
受限制的访问 ##reader.subscriptionAccessGranted##
受限制的访问 订阅存取

详细

Let $K$ be an algebraically closed field of characteristic differentfrom $2$, $g$ a positive integer, $f(x)$ a polynomial of degree $2g+1$with coefficients in $K$ and without multiple roots,$\mathcal{C}\colon y^2=f(x)$ the corresponding hyperelliptic curve ofgenus $g$ over $K$, and $J$ its Jacobian. We identify $\mathcal{C}$ withthe image of its canonical embedding in $J$ (the infinite point of$\mathcal{C}$ goes to the identity element of $J$). It is well known thatfor every $\mathfrak{b} \in J(K)$ there are exactly $2^{2g}$ elements$\mathfrak{a}\in J(K)$ such that $2\mathfrak{a}=\mathfrak{b}$. Stollconstructed an algorithm that provides the Mumford representationsof all such $\mathfrak{a}$ in terms of the Mumford representation of$\mathfrak{b}$. The aim of this paper is to give explicit formulaefor the Mumford representations of all such $\mathfrak{a}$ in terms ofthe coordinates $a,b$, where $\mathfrak{b}\in J(K)$ is given by a point$P=(a,b) \in \mathcal{C}(K)\subset J(K)$. We also prove that if $g>1$,then $\mathcal{C}(K)$ does not contain torsion points of ordersbetween $3$ and $2g$.

作者简介

Yuri Zarhin

Department of Mathematics, Pennsylvania State University

Email: zarhin@math.psu.edu
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

参考

  1. Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988, 448 с.
  2. L. C. Washington, Elliptic curves. Number theory and cryptography, Discrete Math. Appl. (Boca Raton), 2nd ed., Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008, xviii+513 pp.
  3. M. Stoll, “Chabauty without the Mordell–Weil group”, Algorithmic and experimental methods in algebra, geometry, and number theory, Springer, Cham, 2017, 623–663
  4. Б. М. Беккер, Ю. Г. Зархин, “Деление на $2$ рациональных точек на эллиптических кривых”, Алгебра и анализ, 29:4 (2017), 196–239
  5. E. F. Schaefer, “$2$-descent on the Jacobians of hyperelliptic curves”, J. Number Theory, 51:2 (1995), 219–232
  6. J. Yelton, “Images of $2$-adic representations associated to hyperelliptic Jacobians”, J. Number Theory, 151 (2015), 7–17
  7. M. Stoll, Arithmetic of hyperelliptic curves, Summer semester 2014, Univ. of Bayreuth, 2014, 42 pp.
  8. J. Boxall, D. Grant, “Examples of torsion points on genus two curves”, Trans. Amer. Math. Soc., 352:10 (2000), 4533–4555
  9. Ж. Серр, Алгебраические группы и поля классов, Мир, М., 1968, 285 с.
  10. N. Bruin, E. V. Flynn, “Towers of $2$-covers of hyperelliptic curves”, Trans. Amer. Math. Soc., 357:11 (2005), 4329–4347
  11. J. Boxall, D. Grant, F. Leprevost, “$5$-torsion points on curves of genus $2$”, J. London Math. Soc. (2), 64:1 (2001), 29–43
  12. M. Raynaud, “Courbes sur une variete abelienne et points de torsion”, Invent. Math., 71:1 (1983), 207–233
  13. B. Poonen, M. Stoll, “Most odd degree hyperelliptic curves have only one rational point”, Ann. of Math. (2), 180:3 (2014), 1137–1166
  14. M. Raynaud, “Sous-varietes d'une variete abelienne et points de torsion”, Arithmetic and geometry, Papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of his sixtieth birthday, v. I, Progr. Math., 35, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983, 327–352

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML

版权所有 © Zarhin Y.G., 2019

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».