Деление на 2 в гиперэллиптических кривых нечетной степени и их якобианах
- Авторы: Зархин Ю.Г.1
-
Учреждения:
- Университет штата Пенсильвания, математический факультет
- Выпуск: Том 83, № 3 (2019)
- Страницы: 93-112
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133775
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8773
- ID: 133775
Цитировать
Аннотация
Пусть $K$ – алгебраически замкнутое поле характеристики, отличной от $2$, $g$ – натуральное число, $f(x)$ – многочлен степени $(2g+1)$ с коэффициентами в $K$ и без кратных корней, $\mathcal{C}\colon y^2=f(x)$ – соответствующая гиперэллиптическая кривая рода $g$ над $K$, а $J$ – ее якобиан. Мы отождествляем $\mathcal{C}$ с ее образом при каноническом вложении в якобиан $J$ (при котором единственная бесконечная точка кривой $\mathcal{C}$ переходит в ноль группового закона на $J$).Хорошо известно, что для каждой точки $\mathfrak{b} \in J(K)$ найдется ровно $2^{2g}$ элемента $\mathfrak{a}\in J(K)$ таких, что $2\mathfrak{a}=\mathfrak{b}$. М. Штоль построил алгоритм, позволяющий найти представления Мамфорда всех таких $\mathfrak{a}$, если известно представление Мамфорда точки $\mathfrak{b}$. Цель настоящей работы – дать явные формулы в терминах координат $a,b$ для представлений Мамфорда всех таких $\mathfrak{a}$, когда $\mathfrak{b}\in J(K)$ совпадает с точкой нашей кривой $P=(a,b) \in \mathcal{C}(K)\subset J(K)$. Мы также доказываем, что если $g>1$, то $\mathcal{C}(K)$ не содержит точек кручения, порядок которых лежит между $3$ и $2g$.Библиография: 14 наименований.
Ключевые слова
Об авторах
Юрий Геннадьевич Зархин
Университет штата Пенсильвания, математический факультет
Email: zarhin@math.psu.edu
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
- Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988, 448 с.
- L. C. Washington, Elliptic curves. Number theory and cryptography, Discrete Math. Appl. (Boca Raton), 2nd ed., Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008, xviii+513 pp.
- M. Stoll, “Chabauty without the Mordell–Weil group”, Algorithmic and experimental methods in algebra, geometry, and number theory, Springer, Cham, 2017, 623–663
- Б. М. Беккер, Ю. Г. Зархин, “Деление на $2$ рациональных точек на эллиптических кривых”, Алгебра и анализ, 29:4 (2017), 196–239
- E. F. Schaefer, “$2$-descent on the Jacobians of hyperelliptic curves”, J. Number Theory, 51:2 (1995), 219–232
- J. Yelton, “Images of $2$-adic representations associated to hyperelliptic Jacobians”, J. Number Theory, 151 (2015), 7–17
- M. Stoll, Arithmetic of hyperelliptic curves, Summer semester 2014, Univ. of Bayreuth, 2014, 42 pp.
- J. Boxall, D. Grant, “Examples of torsion points on genus two curves”, Trans. Amer. Math. Soc., 352:10 (2000), 4533–4555
- Ж. Серр, Алгебраические группы и поля классов, Мир, М., 1968, 285 с.
- N. Bruin, E. V. Flynn, “Towers of $2$-covers of hyperelliptic curves”, Trans. Amer. Math. Soc., 357:11 (2005), 4329–4347
- J. Boxall, D. Grant, F. Leprevost, “$5$-torsion points on curves of genus $2$”, J. London Math. Soc. (2), 64:1 (2001), 29–43
- M. Raynaud, “Courbes sur une variete abelienne et points de torsion”, Invent. Math., 71:1 (1983), 207–233
- B. Poonen, M. Stoll, “Most odd degree hyperelliptic curves have only one rational point”, Ann. of Math. (2), 180:3 (2014), 1137–1166
- M. Raynaud, “Sous-varietes d'une variete abelienne et points de torsion”, Arithmetic and geometry, Papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of his sixtieth birthday, v. I, Progr. Math., 35, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983, 327–352