О числе эпи-, моно- и гомоморфизмов групп
- Авторы: Брусянская Е.К.1,2, Клячко А.А.1,2
-
Учреждения:
- Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
- Московский центр фундаментальной и прикладной математики
- Выпуск: Том 86, № 2 (2022)
- Страницы: 25-33
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/142255
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9139
- ID: 142255
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Аннотация
Число гомоморфизмов из группы $F$ в группу $G$ делится, как известно, на наибольший общий делитель порядка группы $G$ и экспоненты группы $F/[F,F]$. Мы исследуем вопрос о том, что можно сказать про число гомоморфизмов, удовлетворяющих некоторым естественным условиям вроде инъективности или сюръективности. Простейшим нетривиальным следствием наших результатов является тот факт, что в любой конечной группе число порождающих пар $(x,y)$ таких, что $x^3=1=y^5$, делится на наибольший общий делитель пятнадцати и порядка группы $[G,G]\cdot\{g^{15}\mid g\in G\}$.Библиография: 22 наименования.
Ключевые слова
Полный текст
Об авторах
Елена Константиновна Брусянская
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет; Московский центр фундаментальной и прикладной математикибез ученой степени, без звания
Антон Александрович Клячко
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет; Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Email: anton.klyachko@gmail.com
кандидат физико-математических наук, без звания
Список литературы
- G. Frobenius, “Verallgemeinerung des Sylow'schen Satzes”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1895 (1895), 981–993
- R. Andreev, A translation of “Verallgemeinerung des Sylow'schen Satzes” by F. G. Frobenius
- L. Solomon, “The solution of equations in groups”, Arch. Math. (Basel), 20:3 (1969), 241–247
- S. Iwasaki, “A note on the $n$th roots ratio of a subgroup of a finite group”, J. Algebra, 78:2 (1982), 460–474
- G. Frobenius, “Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1903 (1903), 987–991
- P. Hall, “On a theorem of Frobenius”, Proc. London Math. Soc., 40 (1936), 468–501
- A. Kulakoff, “Einige Bemerkungen zur Arbeit: “On a theorem of Frobenius” von P. Hall”, Матем. сб., 3(45):2 (1938), 403–405
- S. K. Sehgal, “On P. Hall's generalisation of a theorem of Frobenius”, Proc. Glasgow Math. Assoc., 5:3 (1962), 97–100
- I. M. Isaacs, “Systems of equations and generalized characters in groups”, Canadian J. Math., 22:5 (1970), 1040–1046
- K. S. Brown, J. Thevenaz, “A generalization of Sylow's third theorem”, J. Algebra, 115:2 (1988), 414–430
- T. Yoshida, “$|{operatorname{Hom}(A, G)}|$”, J. Algebra, 156:1 (1993), 125–156
- С. П. Струнков, “К теории уравнений на конечных группах”, Изв. РАН. Сер. матем., 59:6 (1995), 171–180
- T. Asai, Yu. Takegahara, “$|{operatorname{Hom}(A,G)}|$. IV”, J. Algebra, 246:2 (2001), 543–563
- J. Sato, T. Asai, “On the $n$-th roots of a double coset of a finite group”, J. Sch. Sci. Eng. Kinki Univ., 43 (2007), 1–4
- A. Amit, U. Vishne, “Characters and solutions to equations in finite groups”, J. Algebra Appl., 10:4 (2011), 675–686
- C. Gordon, F. Rodriguez-Villegas, “On the divisibility of $#operatorname{Hom}(Gamma, G)$ by $|G|$”, J. Algebra, 350:1 (2012), 300–307
- T. Asai, N. Chigira, T. Niwasaki, Yu. Takegahara, “On a theorem of P. Hall”, J. Group Theory, 16:1 (2013), 69–80
- A. A. Klyachko, A. A. Mkrtchyan, “How many tuples of group elements have a given property?”, With an appendix by Dmitrii V. Trushin, Internat. J. Algebra Comput., 24:4 (2014), 413–428
- A. A. Klyachko, A. A. Mkrtchyan, “Strange divisibility in groups and rings”, Arch. Math., 108:5 (2017), 441–451
- E. K. Brusyanskaya, A. A. Klyachko, A. V. Vasil'ev, “What do Frobenius's, Solomon's, and Iwasaki's theorems on divisibility in groups have in common?”, Pacific J. Math., 302:2 (2019), 437–452
- A. A. Klyachko, M. A. Ryabtseva, “The dimension of solution sets to systems of equations in algebraic groups”, Israel J. Math., 237:1 (2020), 141–154
- R. Brauer, “On a theorem of Frobenius”, Amer. Math. Monthly, 76:1 (1969), 12–15
