Классификация $(1{,}2)$-рефлективных анизотропных гиперболических решетокранга $4$

Обложка
  • Авторы: Богачев Н.В.1,2,3
  • Учреждения:
    1. Московский физико-технический институт (государственный университет)
    2. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
    3. Кавказский математический центр, Адыгейский государственный университет
  • Выпуск: Том 83, № 1 (2019)
  • Страницы: 3-24
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133763
  • DOI: https://doi.org/10.4213/im8766
  • ID: 133763

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Гиперболическая решетка называется $(1{,}2)$-рефлективной, если ее группа автоморфизмов с точностью до конечного индекса порождена $1$- и $2$-отражениями. В данной работе доказывается, что фундаментальный многогранник $\mathbb{Q}$-арифметической кокомпактной группы отражений в трехмерном пространстве Лобачевского обладает таким ребром, что расстояние между обрамляющими гранями этого ребра достаточно мало. С помощью этого результата получена классификация $(1{,}2)$-рефлективных анизотропных гиперболических решеток ранга $4$. Библиография: 35 наименований.

Об авторах

Николай Владимирович Богачев

Московский физико-технический институт (государственный университет); Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Кавказский математический центр, Адыгейский государственный университет

без ученой степени, без звания

Список литературы

  1. Б. А. Венков, “Об арифметической группе автоморфизмов неопределенной квадратичной формы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1:2 (1937), 139–170
  2. H. S. M. Coxeter, “Discrete groups generated by reflections”, Ann. of Math. (2), 35:3 (1934), 588–621
  3. Э. Б. Винберг, “Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского”, Матем. сб., 72(114):3 (1967), 471–488
  4. Э. Б. Винберг, “О группах единиц некоторых квадратичных форм”, Матем. сб., 87(129):1 (1972), 18–36
  5. È. B. Vinberg, “Some arithmetical discrete groups in Lobačevskiĭ spaces”, Discrete subgroups of Lie groups and applications to moduli, Internat. Colloq. (Bombay, 1973), Oxford Univ. Press, Bombay, 1975, 323–348
  6. Э. Б. Винберг, “Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности”, Тр. ММО, 47, Изд-во Моск. ун-та, М., 1984, 68–102
  7. F. Esselmann, “Über die maximale Dimension von Lorentz–Gittern mit coendlicher Spiegelungsgruppe”, J. Number Theory, 61:1 (1996), 103–144
  8. В. В. Никулин, “Конечность числа арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:1 (2007), 55–60
  9. I. Agol, M. Belolipetsky, P. Storm, K. Whyte, “Finiteness of arithmetic hyperbolic reflection groups”, Groups Geom. Dyn., 2:4 (2008), 481–498
  10. В. В. Никулин, “О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным $2$-отражениями”, Докл. АН СССР, 248:6 (1979), 1307–1309
  11. В. В. Никулин, “О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным $2$-отражениями. Алгебро-геометрические приложения”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Нов. достиж., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 3–114
  12. В. В. Никулин, “Поверхности типа K3 с конечной группой автоморфизмов и группой Пикара ранга три”, Алгебраическая геометрия и ее приложения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР, 165, 1984, 119–142
  13. В. В. Никулин, “О классификации гиперболических систем корней ранга три”, Тр. МИАН, 230, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2000, 3–255
  14. E. Vinberg, Classification of $2$-reflective hyperbolic lattices of rank $4$, Preprint 98-113, Univ. Bielefeld, 1998, 35 pp.
  15. Э. Б. Винберг, “Классификация 2-рефлективных гиперболических решеток ранга 4”, Тр. ММО, 68, УРСС, М., 2007, 44–76
  16. D. Allcock, The reflective Lorentzian lattices of rank $3$, Mem. Amer. Math. Soc., 220, no. 1033, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, x+108 pp.
  17. R. Scharlau, On the classification of arithmetic reflection groups on hyperbolic $3$-space, Bielefeld, 1989, 26 pp.
  18. R. Scharlau, C. Walhorn, “Integral lattices and hyperbolic reflection groups”, Journees arithmetiques (Geneva, 1991), Asterisque, 209, Soc. Math. France, Paris, 1992, 279–291
  19. C. Walhorn, Arithmetische Spiegelungsgruppen auf dem $4$-dimensionalen hyperbolischen Raum, Ph.D. thesis, Univ. Bielefeld, Bielefeld, 1993, 47 pp.
  20. I. Turkalj, Reflective Lorentzian lattices of signature $(5,1)$, Diss. … Dr. rer. nat., Tech. Univ. Dortmund, 2017, 85 pp.
  21. N. V. Bogachev, Reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank $4$, 2016
  22. Н. В. Богачев, “Рефлективные анизотропные гиперболические решетки ранга $4$”, УМН, 72:1(433) (2017), 193–194
  23. M. Belolipetsky, “Arithmetic hyperbolic reflection groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 53:3 (2016), 437–475
  24. Э. Б. Винберг, “Гиперболические группы отражений”, УМН, 40:1(241) (1985), 29–66
  25. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, “Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны”, Геометрия – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 29, ВИНИТИ, М., 1988, 147–259
  26. В. В. Никулин, “Об арифметических группах, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 637–669
  27. В. В. Никулин, “О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:1 (1981), 113–142
  28. Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников, “Геометрия пространств постоянной кривизны”, Геометрия – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 29, ВИНИТИ, М., 1988, 5–146
  29. Дж. Касселс, Рациональные квадратичные формы, Мир, М., 1982, 438 с.
  30. V. O. Bugaenko, “Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices”, Lie groups, their discrete subgroups, and invariant theory, Adv. Soviet Math., 8, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 33–55
  31. R. Guglielmetti, Hyperbolic isometries in (in-)finite dimensions and discrete reflection groups: theory and computations, Ph.D. thesis, Univ. of Fribourg, 2017, 200 pp.
  32. N. V. Bogachev, A. Perepechko, Vinberg's algorithm, 2017
  33. Н. В. Богачев, А. Ю. Перепечко, “Алгоритм Винберга для гиперболических решеток”, Матем. заметки, 103:5 (2018), 769–773
  34. A. Mark, “Reflection groups of the quadratic form $- p x_0^2+x_1^2+…+x_n^2$ with $p$ prime”, Publ. Mat., 59:2 (2015), 353–372
  35. J. A. McLeod, Arithmetic hyperbolic reflection groups, Ph.D. thesis, Durham Univ., 2013, 170 pp.

© Богачев Н.В., 2019

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах