Classification of (1,2)-reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank 4
- 作者: Bogachev N.1,2,3
-
隶属关系:
- Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
- Lomonosov Moscow State University
- Caucasus Mathematical Center, Adyghe State University
- 期: 卷 83, 编号 1 (2019)
- 页面: 3-24
- 栏目: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133763
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8766
- ID: 133763
如何引用文章
详细
A hyperbolic lattice is said to be $(1{,}{\kern 1pt}2)$-reflectiveif its automorphism group is generated by $1$- and $2$-reflections up to finite index.We prove that the fundamental polyhedron of a $\mathbb{Q}$-arithmeticcocompact reflection group in three-dimensional Lobachevsky space contains an edge with sufficiently small distance between its framing faces.Using this fact, we obtain a classification of $(1{,}{\kern 1pt}2)$-reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank $4$.
作者简介
Nikolay Bogachev
Moscow Institute of Physics and Technology (State University); Lomonosov Moscow State University; Caucasus Mathematical Center, Adyghe State Universitywithout scientific degree, no status
参考
- Б. А. Венков, “Об арифметической группе автоморфизмов неопределенной квадратичной формы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1:2 (1937), 139–170
- H. S. M. Coxeter, “Discrete groups generated by reflections”, Ann. of Math. (2), 35:3 (1934), 588–621
- Э. Б. Винберг, “Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского”, Матем. сб., 72(114):3 (1967), 471–488
- Э. Б. Винберг, “О группах единиц некоторых квадратичных форм”, Матем. сб., 87(129):1 (1972), 18–36
- È. B. Vinberg, “Some arithmetical discrete groups in Lobačevskiĭ spaces”, Discrete subgroups of Lie groups and applications to moduli, Internat. Colloq. (Bombay, 1973), Oxford Univ. Press, Bombay, 1975, 323–348
- Э. Б. Винберг, “Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности”, Тр. ММО, 47, Изд-во Моск. ун-та, М., 1984, 68–102
- F. Esselmann, “Über die maximale Dimension von Lorentz–Gittern mit coendlicher Spiegelungsgruppe”, J. Number Theory, 61:1 (1996), 103–144
- В. В. Никулин, “Конечность числа арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:1 (2007), 55–60
- I. Agol, M. Belolipetsky, P. Storm, K. Whyte, “Finiteness of arithmetic hyperbolic reflection groups”, Groups Geom. Dyn., 2:4 (2008), 481–498
- В. В. Никулин, “О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным $2$-отражениями”, Докл. АН СССР, 248:6 (1979), 1307–1309
- В. В. Никулин, “О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным $2$-отражениями. Алгебро-геометрические приложения”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Нов. достиж., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 3–114
- В. В. Никулин, “Поверхности типа K3 с конечной группой автоморфизмов и группой Пикара ранга три”, Алгебраическая геометрия и ее приложения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР, 165, 1984, 119–142
- В. В. Никулин, “О классификации гиперболических систем корней ранга три”, Тр. МИАН, 230, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2000, 3–255
- E. Vinberg, Classification of $2$-reflective hyperbolic lattices of rank $4$, Preprint 98-113, Univ. Bielefeld, 1998, 35 pp.
- Э. Б. Винберг, “Классификация 2-рефлективных гиперболических решеток ранга 4”, Тр. ММО, 68, УРСС, М., 2007, 44–76
- D. Allcock, The reflective Lorentzian lattices of rank $3$, Mem. Amer. Math. Soc., 220, no. 1033, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, x+108 pp.
- R. Scharlau, On the classification of arithmetic reflection groups on hyperbolic $3$-space, Bielefeld, 1989, 26 pp.
- R. Scharlau, C. Walhorn, “Integral lattices and hyperbolic reflection groups”, Journees arithmetiques (Geneva, 1991), Asterisque, 209, Soc. Math. France, Paris, 1992, 279–291
- C. Walhorn, Arithmetische Spiegelungsgruppen auf dem $4$-dimensionalen hyperbolischen Raum, Ph.D. thesis, Univ. Bielefeld, Bielefeld, 1993, 47 pp.
- I. Turkalj, Reflective Lorentzian lattices of signature $(5,1)$, Diss. … Dr. rer. nat., Tech. Univ. Dortmund, 2017, 85 pp.
- N. V. Bogachev, Reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank $4$, 2016
- Н. В. Богачев, “Рефлективные анизотропные гиперболические решетки ранга $4$”, УМН, 72:1(433) (2017), 193–194
- M. Belolipetsky, “Arithmetic hyperbolic reflection groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 53:3 (2016), 437–475
- Э. Б. Винберг, “Гиперболические группы отражений”, УМН, 40:1(241) (1985), 29–66
- Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, “Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны”, Геометрия – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 29, ВИНИТИ, М., 1988, 147–259
- В. В. Никулин, “Об арифметических группах, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 637–669
- В. В. Никулин, “О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:1 (1981), 113–142
- Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников, “Геометрия пространств постоянной кривизны”, Геометрия – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 29, ВИНИТИ, М., 1988, 5–146
- Дж. Касселс, Рациональные квадратичные формы, Мир, М., 1982, 438 с.
- V. O. Bugaenko, “Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices”, Lie groups, their discrete subgroups, and invariant theory, Adv. Soviet Math., 8, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 33–55
- R. Guglielmetti, Hyperbolic isometries in (in-)finite dimensions and discrete reflection groups: theory and computations, Ph.D. thesis, Univ. of Fribourg, 2017, 200 pp.
- N. V. Bogachev, A. Perepechko, Vinberg's algorithm, 2017
- Н. В. Богачев, А. Ю. Перепечко, “Алгоритм Винберга для гиперболических решеток”, Матем. заметки, 103:5 (2018), 769–773
- A. Mark, “Reflection groups of the quadratic form $- p x_0^2+x_1^2+…+x_n^2$ with $p$ prime”, Publ. Mat., 59:2 (2015), 353–372
- J. A. McLeod, Arithmetic hyperbolic reflection groups, Ph.D. thesis, Durham Univ., 2013, 170 pp.