Об интеграле Ютилы в проблеме круга

В работе исследуется “корреляционная” функция $\mathcal{K}_{P} = \mathcal{K}_{P}(T;H,U)$ остаточного члена $P(t)$ в проблеме круга, т. е. интеграл от произведения $P(t)P(t+U)$ по промежутку $(T,T+H]$, $1\le U, H\le T$. Случай малых значений $U$, $1\le U\ll \sqrt{T}$, был фактически изучен М. Ютилой в 1984 г.; при этом оказывается, что для всех указанных $U$ и достаточно больших $H$ интеграл $\mathcal{K}_{P}$ принимает максимальное возможное значение. В настоящей статье исследуется случай “больших” $U$, $\sqrt{T}\ll U\le T$, когда поведение $\mathcal{K}_{P}$ становится более сложным. В частности, доказывается, что корреляционная функция может быть как максимально большой по модулю положительной и отрицательной, так и очень малой по модулю на множествах значений $U$ положительной меры.Библиография: 15 наименований.

проблема круга, гипотеза Ютилы, формула Ютилы, корреляционная функция, совместные приближения