On the classification problem for polynomials $f$ with a periodic continued fraction expansion of $\sqrt{f}$ in hyperelliptic fields
- Авторлар: Platonov V.1,2, Fedorov G.3,1
-
Мекемелер:
- Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences
- Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
- Lomonosov Moscow State University
- Шығарылым: Том 85, № 5 (2021)
- Беттер: 152-189
- Бөлім: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/142277
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9098
- ID: 142277
Дәйексөз келтіру
Аннотация
The classical problem of the periodicity of continued fractions for elements of hyperelliptic fieldshas a long and deep history. This problem has up to now been far from completely solved.A surprising result was obtained in [1] for quadratic extensions defined by cubic polynomialswith coefficients in the field $\mathbb{Q}$ of rational numbers: except for trivial cases there areonly three (up to equivalence) cubic polynomials over $\mathbb{Q}$ whose square root has a periodic continued fraction expansion in the field $\mathbb{Q}((x))$ of formal power series.In view of the results in [1], we completely solve the classification problem for polynomials$f$ with periodic continued fraction expansion of $\sqrt{f}$ in elliptic fields with the field ofrational numbers as the field of constants.
Авторлар туралы
Vladimir Platonov
Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
Email: platonov@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Gleb Fedorov
Lomonosov Moscow State University; Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences
Email: glebonyat@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Lecturer
Әдебиет тізімі
- В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Матем. сб., 209:4 (2018), 54–94
- E. Artin, “Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. I”, Math. Z., 19:1 (1924), 153–206
- W. W. Adams, M. J. Razar, “Multiples of points on elliptic curves and continued fractions”, Proc. London Math. Soc. (3), 41:3 (1980), 481–498
- T. G. Berry, “On periodicity of continued fractions in hyperelliptic function fields”, Arch. Math. (Basel), 55:3 (1990), 259–266
- W. M. Schmidt, “On continued fractions and diophantine approximation in power series fields”, Acta Arith., 95:2 (2000), 139–166
- В. П. Платонов, “Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел”, УМН, 69:1(415) (2014), 3–38
- В. П. Платонов, “Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах”, Докл. РАН, 430:3 (2010), 318–320
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “Группы $S$-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 302, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 354–376
- В. В. Беняш-Кривец, В. П. Платонов, “Группы $S$-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби”, Матем. сб., 200:11 (2009), 15–44
- В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “$S$-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Докл. РАН, 465:5 (2015), 537–541
- В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и представление Мамфорда”, Докл. РАН, 471:6 (2016), 640–644
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “$S$-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей”, Докл. РАН, 470:3 (2016), 260–265
- Г. В. Федоров, “Об ограниченности длин периодов непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей над полем рациональных чисел”, Чебышевский сб., 20:4 (2019), 357–370
- В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях”, Докл. РАН, 475:2 (2017), 133–136
- D. S. Kubert, “Universal bounds on the torsion of elliptic curves”, Proc. London Math. Soc. (3), 33:2 (1976), 193–237
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, Ю. Н. Штейников, “О конечности числа эллиптических полей с заданными степенями $S$-единиц и периодическим разложением $sqrt{f}$”, Докл. РАН, 488:3 (2019), 237–242
- В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Докл. РАН, 474:5 (2017), 540–544
- A. J. van der Poorten, Xuan Chuong Tran, “Periodic continued fractions in elliptic function fields”, Algorithmic number theory (Sydney, 2002), Lecture Notes in Comput. Sci., 2369, Springer, Berlin, 2002, 390–404
- В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “Критерий периодичности непрерывных дробей ключевых элементов гиперэллиптических полей”, Чебышевский сб., 20:1 (2019), 248–260
- Г. В. Федоров, “О длине периода функциональной непрерывной дроби над числовым полем”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 495:1 (2020), 78–83
- В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О проблеме классификации периодических непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, УМН, 75:4(454) (2020), 211–212
- В. П. Платонов, В. С. Жгун, М. М. Петрунин, “О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь $sqrt{f}$ для кубических многочленов над числовыми полями”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 493:1 (2020), 32–37
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь $sqrt{f}$ для кубических многочленов над полями алгебраических чисел”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 495 (2020), 48–54
- В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант”, Докл. РАН, 482:2 (2018), 137–141
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением $sqrt{f}$”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613
- Г. В. Федоров, “Об $S$-единицах для нормирований второй степени в гиперэллиптических полях”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:2 (2020), 197–242
- Г. В. Федоров, “Периодические непрерывные дроби и $S$-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 282–297
- B. Mazur, “Rational points on modular curves”, Modular functions of one variable V (Univ. Bonn, Bonn, 1976), Lecture Notes in Math., 601, Springer, Berlin, 1977, 107–148
- Z. L. Scherr, Rational polynomial Pell equations, Ph.D. thesis, Univ. of Michigan, 2013, v+81 pp.