On $S$-units for valuations of the second degree in hyperelliptic fields

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this paper we propose a new effective approach to the problem of finding and constructing non-trivial $S$-units of a hyperelliptic field $L$ for a set $S=S_h$ consisting of two conjugate valuations of the second degree. The results obtained are based on a deep connection between the problem of torsion in the Jacobians of hyperelliptic curves and the quasiperiodicity of continued $h$-fractions, that is, generalized functional continued fractions of special form constructed with respect to a valuation of the second degree. We find algorithms for searching for fundamental $S_h$-units which are comparable in effectiveness with known fast algorithms for two linear valuations.

About the authors

Gleb Vladimirovich Fedorov

Lomonosov Moscow State University; Scientific Research Institute for System Analysis of the Russian Academy of Sciences

Email: glebonyat@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Lecturer

References

  1. В. П. Платонов, “Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел”, УМН, 69:1(415) (2014), 3–38
  2. W. W. Adams, M. J. Razar, “Multiples of points on elliptic curves and continued fractions”, Proc. London Math. Soc. (3), 41:3 (1980), 481–498
  3. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Матем. сб., 209:4 (2018), 54–94
  4. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “$S$-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей”, Докл. РАН, 470:3 (2016), 260–265
  5. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “$S$-единицы и периодичность непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Докл. РАН, 465:5 (2015), 537–541
  6. В. В. Беняш-Кривец, В. П. Платонов, “Группы $S$-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби”, Матем. сб., 200:11 (2009), 15–44
  7. N. H. Abel, “Ueber die Integration der Differential-Formel $frac{rho dx }{ sqrt{R}}$, wenn $R$ und $rho$ ganze Functionen sind”, J. Reine Angew. Math., 1826:1 (1826), 185–221
  8. P. Tchebichef, “Sur l'integration de la differentielle $frac{x+A}{sqrt{x^4+alpha x^3+beta x^2+gamma x+delta}} dx$”, J. Math. Pures Appl. (2), 9 (1864), 225–241
  9. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “Новые порядки точек кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел”, Докл. РАН, 443:6 (2012), 664–667
  10. B. Mazur, “Rational points on modular curves”, Modular functions of one variable, V (Univ. Bonn, Bonn, 1976), Lecture Notes in Math., 601, Springer, Berlin, 1977, 107–148
  11. E. W. Howe, “Genus-2 Jacobians with torsion points of large order”, Bull. Lond. Math. Soc., 47:1 (2015), 127–135
  12. М. М. Петрунин, “Вычисление фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях рода 2 и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых”, Чебышевский сб., 16:4 (2015), 250–283
  13. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “Группы $S$-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Тр. МИАН, 302, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 354–376
  14. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Докл. РАН, 474:5 (2017), 540–544
  15. В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и представление Мамфорда”, Докл. РАН, 471:6 (2016), 640–644
  16. В. С. Жгун, “Обобщенные якобианы и непрерывные дроби в гиперэллиптических полях”, Чебышевский сб., 18:4 (2017), 209–221
  17. Г. В. Федоров, “Периодические непрерывные дроби и $S$-единицы с нормированиями второй степени в гиперэллиптических полях”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 282–297
  18. С. Ленг, Алгебра, Мир, М., 1968, 564 с.
  19. Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, Мир, М., 1988, 448 с.
  20. М. М. Петрунин, “$S$-единицы и периодичность квадратного корня в гиперэллиптических полях”, Докл. РАН, 474:2 (2017), 155–158
  21. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “$S$-единицы и периодичность в квадратичных функциональных полях”, УМН, 71:5(431) (2016), 181–182
  22. В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в эллиптических полях”, Докл. РАН, 475:2 (2017), 133–136
  23. В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант”, Докл. РАН, 482:2 (2018), 137–141
  24. В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением $sqrt{f}$”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613
  25. G. Faltings, “Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”, Invent. Math., 73:3 (1983), 349–366

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Fedorov G.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».